Zadanie 12. (1 pkt)
Funkcja liniowa
( )
f x
ax
b
jest rosnąca i ma dodatnie miejsce zerowe. Stąd wynika, że
A.
0
a
i
0
b
B.
0
a
i
0
b
C.
0
a
i
0
b
D.
0
a
i
0
b
Funkcja liniowa f(x)=ax+b jest rosnąca i ma dodatnie miejsce zerowe. Stąd wynika, że A. a>0 i b>0, B. a<0 i b<0, C. a<0 i b>0, D. a>0 i b<0. Zadanie zamknięte z matury poprawkowej z matematyki - sierpień 2014.
\\(a > 0\\) i \\(b < 0\\)
\nKrok 1: Kiedy funkcja liniowa jest rosnąca?
\nFunkcja \\(f(x) = ax + b\\) jest rosnąca wtedy i tylko wtedy, gdy współczynnik kierunkowy jest dodatni:
\\[a > 0\\]
Krok 2: Kiedy miejsce zerowe jest dodatnie?
\nMiejsce zerowe to \\(x_0\\) taki, że \\(f(x_0) = 0\\):
\\[ax_0 + b = 0 \\implies x_0 = -\\frac{b}{a}\\]
Warunek „dodatnie miejsce zerowe" to \\(x_0 > 0\\), czyli:
\\[-\\frac{b}{a} > 0\\]
Krok 3: Wyznaczamy znak \\(b\\)
\nWiemy już, że \\(a > 0\\). Zatem mianownik \\(a > 0\\), więc:
\\[-\\frac{b}{a} > 0 \\implies -b > 0 \\implies b < 0\\]
Wynik: \\(a > 0\\) i \\(b < 0\\), czyli odpowiedź D.
\nNarysujmy sytuację:
\nSkoro prosta rośnie i przecina oś \\(OX\\) w punkcie dodatnim \\((x_0, 0)\\) z \\(x_0 > 0\\), to:
\nProsta musi jeszcze „dojść" do miejsca zerowego - po lewej stronie od \\(x_0\\) jest poniżej osi \\(OX\\). W szczególności w punkcie \\(x = 0\\) funkcja przyjmuje wartość \\(f(0) = b\\), a skoro \\(0 < x_0\\), to:
\\[f(0) < f(x_0) = 0 \\implies b < 0\\]
Wynik: prosta rośnie (\\(a > 0\\)) i przecina oś \\(OY\\) poniżej zera (\\(b < 0\\)) → odpowiedź D.
\nW tym zadaniu nie używamy konkretnych wzorów z karty CKE - wystarczy definicja funkcji liniowej i interpretacja współczynników \\(a\\) (nachylenie) oraz \\(b\\) (wyraz wolny = wartość dla \\(x = 0\\)).
\n| Odp. | Błąd prowadzący do tej odpowiedzi |
| A | Uczeń poprawnie stwierdza \\(a > 0\\), ale myli „dodatnie miejsce zerowe" z „dodatnim wyrazem wolnym" i pisze \\(b > 0\\). To błąd - \\(b > 0\\) oznaczałoby, że prosta przecina oś \\(OY\\) powyżej zera, a więc miejsce zerowe byłoby ujemne (prosta musiałaby jeszcze spaść, lecz jest rosnąca - sprzeczność). |
| B | Uczeń stwierdza \\(a < 0\\) - co oznaczałoby funkcję malejącą, sprzeczną z treścią zadania. |
| C | Uczeń odwraca oba warunki: bierze \\(a < 0\\) (funkcja malejąca - błąd) i \\(b > 0\\). Podwójna pomyłka. |
⚠️ Uwaga: Najczęstszy błąd to mylenie znaku \\(b\\) ze znakiem miejsca zerowego. „Dodatnie miejsce zerowe" NIE oznacza \\(b > 0\\) - to wręcz odwrotnie! Wzór \\(x_0 = -\\frac{b}{a}\\) pokazuje, że przy \\(a > 0\\) miejsce zerowe jest dodatnie właśnie wtedy, gdy \\(b < 0\\).\n
⚠️ Uwaga: Pamiętaj, że \\(b = f(0)\\) to wartość funkcji w zerze (punkt przecięcia z osią \\(OY\\)), a nie miejsce zerowe. To dwa różne pojęcia!\n
⚠️ Uwaga: Zawsze sprawdzaj oba warunki niezależnie: osobno analizuj monotoniczność (znak \\(a\\)), osobno miejsce zerowe (znak \\(-b/a\\)).\n
Poprawna odpowiedź: D
\nFunkcja rosnąca \\(\\Rightarrow a > 0\\).
Miejsce zerowe: \\(f(x) = 0 \\Rightarrow ax + b = 0 \\Rightarrow x_0 = -\\dfrac{b}{a}\\).
Jeżeli \\(x_0 > 0\\) i \\(a > 0\\), to \\(-\\dfrac{b}{a} > 0\\), a więc \\(b < 0\\) (bo \\(a > 0\\) i ułamek dodatni).
\nZatem: \\(a > 0\\) i \\(b < 0\\).
\nFunkcja rosnąca o dodatnim miejscu zerowym: prosta wznosi się i przecina oś \\(OX\\) na prawo od zera. Taka prosta przecina oś \\(OY\\) poniżej zera (czyli \\(b = f(0) < 0\\)).
\n\\(f(x) = 2x - 4\\): rosnąca (\\(a = 2 > 0\\)), miejsce zerowe \\(x = 2 > 0\\), \\(b = -4 < 0\\) ✓.
\nPamiętaj: dla \\(ax + b = 0\\), miejsce zerowe \\(x_0 = -\\tfrac{b}{a}\\) - znaki \\(a\\) i \\(b\\) muszą być przeciwne, aby \\(x_0 > 0\\).
"}]}