{"id":"matematyka-2014-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad/13","paper_id":"matematyka-2014-sierpien-poprawkowa-podstawowa","number":"13","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"inne","year":2014,"month":"sierpien","level":"podstawowa","text":"Zadanie 13. (1 pkt)\nSuma dziesięciu początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego \n\nna\njest równa 35. Pierwszy\nwyraz\n1a tego ciągu jest równy 3. Wtedy\nA.\n10\n7\n2\n\na\nB.\n10\n4\n\na\nC.\n10 \na\n32\n5\nD.\n10\n32\n\na\nSuma dziesięciu początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego (a_n) jest równa 35. Pierwszy wyraz a_1 tego ciągu jest równy 3. Wtedy A. a_10 = 7/2, B. a_10 = 4, C. a_10 = 32/5, D. a_10 = 32. Zadanie zamknięte z matury poprawkowej z matematyki - sierpień 2014.","answer":"B","answer_text":null,"solution":"## Poprawna odpowiedź: B\n\n\\(a_{10} = 4\\)\n\n## Sposób 1 - wzór na sumę przez pierwszy i ostatni wyraz\n\nWzór na sumę \\(n\\) początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego:\n\\[S_n = \\frac{a_1 + a_n}{2} \\cdot n\\]\n\nWstawiamy dane: \\(S_{10} = 35\\), \\(n = 10\\), \\(a_1 = 3\\):\n\\[35 = \\frac{a_1 + a_{10}}{2} \\cdot 10\\]\n\\[35 = \\frac{3 + a_{10}}{2} \\cdot 10\\]\n\\[35 = 5(3 + a_{10})\\]\n\\[7 = 3 + a_{10}\\]\n\\[\\boxed{a_{10} = 4}\\]\n\n## Sposób 2 - przez wyznaczenie różnicy ciągu\n\nKorzystamy z drugiej postaci wzoru na sumę:\n\\[S_n = \\frac{2a_1 + (n-1)r}{2} \\cdot n\\]\n\nWstawiamy dane:\n\\[35 = \\frac{2 \\cdot 3 + 9r}{2} \\cdot 10\\]\n\\[35 = 5(6 + 9r)\\]\n\\[7 = 6 + 9r\\]\n\\[r = \\frac{1}{9}\\]\n\nTeraz wyznaczamy \\(a_{10}\\) ze wzoru na wyraz ogólny:\n\\[a_{10} = a_1 + 9r = 3 + 9 \\cdot \\frac{1}{9} = 3 + 1 = \\boxed{4}\\]\n\nWyniki obu sposobów się zgadzają. ✓\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 8 (Ciągi, s. 9-10)** - dwa wzory na sumę \\(n\\) wyrazów ciągu arytmetycznego:\n\\[S_n = \\frac{a_1 + a_n}{2} \\cdot n \\qquad \\text{(użyty w Sposób 1)}\\]\n\\[S_n = \\frac{2a_1 + (n-1)r}{2} \\cdot n \\qquad \\text{(użyty w Sposób 2)}\\]\n\nWzór na wyraz ogólny (użyty w Sposób 2):\n\\[a_n = a_1 + (n-1)r\\]\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Typowy błąd |\n| A | Mylne podstawienie \\(S_{10} = \\frac{a_1 + a_{10}}{2}\\) **bez mnożenia przez \\(n = 10\\)**; wychodzi \\(35 = \\frac{3 + a_{10}}{2}\\), stąd \\(a_{10} = 67\\) - nikt nie wybiera, ale prowadzi do błędnych przekształceń dających \\(\\frac{7}{2}\\) przy innej pomyłce |\n| C | Podzielenie \\(S_{10} = 35\\) przez \\(n = 10\\) i uznanie, że wynik \\(3{,}5\\) to **średnia = \\(a_{10}\\)** zamiast \\(\\frac{a_1 + a_{10}}{2}\\); prowadzi do \\(\\frac{32}{5}\\) |\n| D | Zapomnienie o dzieleniu przez 2 w wzorze: \\(35 = (3 + a_{10}) \\cdot 10\\), stąd \\(3 + a_{10} = 3{,}5\\) lub bezpośrednie obliczenie \\(35 - 3 = 32\\) |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Wzór \\(S_n = \\frac{a_1 + a_n}{2} \\cdot n\\) zawiera **trzy elementy**: suma pierwszego i ostatniego wyrazu, dzielenie przez 2, i mnożenie przez \\(n\\). Pominięcie któregokolwiek z nich to najczęstszy błąd.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** W tym zadaniu \\(a_{10}\\) to **dziesiąty wyraz**, nie suma. Nie wstawiaj \\(S_{10} = 35\\) jako \\(a_{10}\\)!\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Kuszący skrót - obliczenie \\(\\frac{S_{10}}{n} = \\frac{35}{10} = 3{,}5\\) - daje średnią arytmetyczną ciągu, czyli \\(\\frac{a_1 + a_{10}}{2}\\), a **nie sam \\(a_{10}\\)**. Z tej wartości dopiero wyznaczasz \\(a_{10} = 2 \\cdot 3{,}5 - 3 = 4\\).\n\n**Poprawna odpowiedź: B**\n\n### Sposób 1 - Wzór na sumę ciągu arytmetycznego\n\\(S_n = \\dfrac{a_1 + a_n}{2} \\cdot n\\).\nPodstawiamy \\(n = 10, S_{10} = 35, a_1 = 3\\):\n\\[35 = \\dfrac{3 + a_{10}}{2} \\cdot 10 = 5(3 + a_{10}).\\]\n\\[7 = 3 + a_{10} \\Rightarrow a_{10} = 4.\\]\n\n### Sposób 2 - Przez różnicę\n\\(S_{10} = \\dfrac{2a_1 + 9r}{2} \\cdot 10 = 5(2\\cdot 3 + 9r) = 30 + 45r = 35\\).\n\\(45r = 5 \\Rightarrow r = \\tfrac{1}{9}\\).\n\\(a_{10} = a_1 + 9r = 3 + 9 \\cdot \\tfrac{1}{9} = 3 + 1 = 4\\).\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **A. \\(\\tfrac{7}{2}\\):** błąd rachunkowy (ktoś uzyskał średnią arytmetyczną \\(\\tfrac{a_1+a_{10}}{2}\\) i ją podał).\n- **C. \\(\\tfrac{32}{5}\\):** błędne odjęcie \\(a_1\\) od sumy.\n- **D. \\(32\\):** \\(35 - 3 = 32\\) - błąd, ktoś uznał że \\(S_{10} - a_1 = a_{10}\\).\n\n**Pamiętaj:** \\(S_n = \\tfrac{a_1+a_n}{2}\\cdot n\\) - liczba wyrazów razy średnia pierwszego i ostatniego.","image":"img/matematyka-2014-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad-13.webp","solution_image":"img/matematyka-2014-sierpien-poprawkowa-podstawowa/sol-13.svg","topics":"ciagi","page_from":6,"source":"maturazai","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Inne · sierpień 2014 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Inne","text_html":"

Zadanie 13. (1 pkt)
Suma dziesięciu początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego 

na
jest równa 35. Pierwszy
wyraz
1a tego ciągu jest równy 3. Wtedy
A.
10
7
2

a
B.
10
4

a
C.
10 
a
32
5
D.
10
32

a
Suma dziesięciu początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego (a_n) jest równa 35. Pierwszy wyraz a_1 tego ciągu jest równy 3. Wtedy A. a_10 = 7/2, B. a_10 = 4, C. a_10 = 32/5, D. a_10 = 32. Zadanie zamknięte z matury poprawkowej z matematyki - sierpień 2014.

","solutions":[{"source":"site","label":"matematykaszkolna.pl","kind":"image","image":"/img/matematyka-2014-sierpien-poprawkowa-podstawowa/sol-13.svg"},{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"

Poprawna odpowiedź: B

\n

\\(a_{10} = 4\\)

\n

Sposób 1 - wzór na sumę przez pierwszy i ostatni wyraz

\n

Wzór na sumę \\(n\\) początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego:
\\[S_n = \\frac{a_1 + a_n}{2} \\cdot n\\]

\n

Wstawiamy dane: \\(S_{10} = 35\\), \\(n = 10\\), \\(a_1 = 3\\):
\\[35 = \\frac{a_1 + a_{10}}{2} \\cdot 10\\]
\\[35 = \\frac{3 + a_{10}}{2} \\cdot 10\\]
\\[35 = 5(3 + a_{10})\\]
\\[7 = 3 + a_{10}\\]
\\[\\boxed{a_{10} = 4}\\]

\n

Sposób 2 - przez wyznaczenie różnicy ciągu

\n

Korzystamy z drugiej postaci wzoru na sumę:
\\[S_n = \\frac{2a_1 + (n-1)r}{2} \\cdot n\\]

\n

Wstawiamy dane:
\\[35 = \\frac{2 \\cdot 3 + 9r}{2} \\cdot 10\\]
\\[35 = 5(6 + 9r)\\]
\\[7 = 6 + 9r\\]
\\[r = \\frac{1}{9}\\]

\n

Teraz wyznaczamy \\(a_{10}\\) ze wzoru na wyraz ogólny:
\\[a_{10} = a_1 + 9r = 3 + 9 \\cdot \\frac{1}{9} = 3 + 1 = \\boxed{4}\\]

\n

Wyniki obu sposobów się zgadzają. ✓

\n

Wzory z karty CKE

\n

Dział 8 (Ciągi, s. 9-10) - dwa wzory na sumę \\(n\\) wyrazów ciągu arytmetycznego:
\\[S_n = \\frac{a_1 + a_n}{2} \\cdot n \\qquad \\text{(użyty w Sposób 1)}\\]
\\[S_n = \\frac{2a_1 + (n-1)r}{2} \\cdot n \\qquad \\text{(użyty w Sposób 2)}\\]

\n

Wzór na wyraz ogólny (użyty w Sposób 2):
\\[a_n = a_1 + (n-1)r\\]

\n

Dlaczego inne odpowiedzi są błędne

\n

| Odp. | Typowy błąd |
| A | Mylne podstawienie \\(S_{10} = \\frac{a_1 + a_{10}}{2}\\) bez mnożenia przez \\(n = 10\\); wychodzi \\(35 = \\frac{3 + a_{10}}{2}\\), stąd \\(a_{10} = 67\\) - nikt nie wybiera, ale prowadzi do błędnych przekształceń dających \\(\\frac{7}{2}\\) przy innej pomyłce |
| C | Podzielenie \\(S_{10} = 35\\) przez \\(n = 10\\) i uznanie, że wynik \\(3{,}5\\) to średnia = \\(a_{10}\\) zamiast \\(\\frac{a_1 + a_{10}}{2}\\); prowadzi do \\(\\frac{32}{5}\\) |
| D | Zapomnienie o dzieleniu przez 2 w wzorze: \\(35 = (3 + a_{10}) \\cdot 10\\), stąd \\(3 + a_{10} = 3{,}5\\) lub bezpośrednie obliczenie \\(35 - 3 = 32\\) |

\n

Typowe pułapki i uwagi

\n
⚠️ Uwaga: Wzór \\(S_n = \\frac{a_1 + a_n}{2} \\cdot n\\) zawiera trzy elementy: suma pierwszego i ostatniego wyrazu, dzielenie przez 2, i mnożenie przez \\(n\\). Pominięcie któregokolwiek z nich to najczęstszy błąd.
\n
⚠️ Uwaga: W tym zadaniu \\(a_{10}\\) to dziesiąty wyraz, nie suma. Nie wstawiaj \\(S_{10} = 35\\) jako \\(a_{10}\\)!
\n
⚠️ Uwaga: Kuszący skrót - obliczenie \\(\\frac{S_{10}}{n} = \\frac{35}{10} = 3{,}5\\) - daje średnią arytmetyczną ciągu, czyli \\(\\frac{a_1 + a_{10}}{2}\\), a nie sam \\(a_{10}\\). Z tej wartości dopiero wyznaczasz \\(a_{10} = 2 \\cdot 3{,}5 - 3 = 4\\).
\n

Poprawna odpowiedź: B

\n
Sposób 1 - Wzór na sumę ciągu arytmetycznego
\n

\\(S_n = \\dfrac{a_1 + a_n}{2} \\cdot n\\).
Podstawiamy \\(n = 10, S_{10} = 35, a_1 = 3\\):
\\[35 = \\dfrac{3 + a_{10}}{2} \\cdot 10 = 5(3 + a_{10}).\\]
\\[7 = 3 + a_{10} \\Rightarrow a_{10} = 4.\\]

\n
Sposób 2 - Przez różnicę
\n

\\(S_{10} = \\dfrac{2a_1 + 9r}{2} \\cdot 10 = 5(2\\cdot 3 + 9r) = 30 + 45r = 35\\).
\\(45r = 5 \\Rightarrow r = \\tfrac{1}{9}\\).
\\(a_{10} = a_1 + 9r = 3 + 9 \\cdot \\tfrac{1}{9} = 3 + 1 = 4\\).

\n
Dlaczego inne odpowiedzi są błędne
\n\n

Pamiętaj: \\(S_n = \\tfrac{a_1+a_n}{2}\\cdot n\\) - liczba wyrazów razy średnia pierwszego i ostatniego.

"}]}