{"id":"matematyka-2014-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad/14","paper_id":"matematyka-2014-sierpien-poprawkowa-podstawowa","number":"14","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"inne","year":2014,"month":"sierpien","level":"podstawowa","text":"Zadanie 14. (1 pkt)\nCiąg geometryczny \n\nna\nokreślony jest wzorem\n3\n4\nn\nna \ndla\n1\nn . Iloraz tego ciągu jest\nrówny\nA.\n3\n\nB.\n3\n4\n\nC. 3\n4\nD. 3\nCiąg geometryczny (a_n) określony jest wzorem a_n = -{3^n/4} dla n>=1. Iloraz tego ciągu jest równy A. -3, B. -3/4, D. 3/4, D. 3","answer":"D","answer_text":null,"solution":"## Poprawna odpowiedź: D - iloraz równy \\(3\\)\n\n## Sposób 1 - definicja ilorazu ciągu geometrycznego\n\nIloraz ciągu geometrycznego to stały stosunek kolejnego wyrazu do poprzedniego:\n\\[q = \\frac{a_{n+1}}{a_n}\\]\n\nObliczamy \\(a_{n+1}\\), podstawiając \\(n+1\\) do wzoru ogólnego:\n\\[a_{n+1} = -\\frac{3^{n+1}}{4}\\]\n\nTeraz dzielimy:\n\\[q = \\frac{a_{n+1}}{a_n} = \\frac{-\\dfrac{3^{n+1}}{4}}{-\\dfrac{3^n}{4}}\\]\n\nUłamek podzielony przez ułamek - mnożymy przez odwrotność, minusy się skracają, czwórki się skracają:\n\\[q = \\frac{3^{n+1}}{3^n} = 3^{n+1-n} = 3^1 = \\mathbf{3}\\]\n\n**Iloraz tego ciągu wynosi \\(3\\).**\n\n## Sposób 2 - podstawienie dwóch kolejnych wyrazów\n\nObliczamy dwa pierwsze wyrazy ciągu:\n\n\\[a_1 = -\\frac{3^1}{4} = -\\frac{3}{4}\\]\n\n\\[a_2 = -\\frac{3^2}{4} = -\\frac{9}{4}\\]\n\nIloraz to:\n\\[q = \\frac{a_2}{a_1} = \\frac{-\\dfrac{9}{4}}{-\\dfrac{3}{4}} = \\frac{9}{4} \\cdot \\frac{4}{3} = \\frac{9}{3} = \\mathbf{3}\\]\n\nSprawdzamy jeszcze \\(a_3\\):\n\\[a_3 = -\\frac{3^3}{4} = -\\frac{27}{4}, \\qquad \\frac{a_3}{a_2} = \\frac{-\\frac{27}{4}}{-\\frac{9}{4}} = \\frac{27}{9} = 3 \\checkmark\\]\n\nIloraz jest stały i wynosi \\(\\mathbf{3}\\).\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 8 (Ciągi, s. 9-10)** - definicja ciągu geometrycznego i wzór na \\(n\\)-ty wyraz:\n\\[a_n = a_1 \\cdot q^{n-1}\\]\noraz własność: iloraz \\(q = \\dfrac{a_{n+1}}{a_n}\\) dla każdego \\(n \\geq 1\\).\n\nWłaśnie ten wzór zastosowaliśmy w obu sposobach - w Sposobie 1 bezpośrednio przez podzielenie wyrazów, w Sposobie 2 przez wyliczenie konkretnych wyrazów i wzięcie ich ilorazu.\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Typowy błąd |\n| A: \\(-3\\) | Uczeń bierze pod uwagę znak wyrazu (\\(a_n\\) jest ujemne) i myśli, że iloraz też musi być ujemny. Tymczasem iloraz \\(\\frac{a_{n+1}}{a_n} = \\frac{\\text{ujemna}}{\\text{ujemna}} = \\text{dodatnia}\\). |\n| B: \\(-\\dfrac{3}{4}\\) | Uczeń czyta \\(-\\dfrac{3}{4}\\) z mianownika wzoru, myląc mianownik z ilorazem. To jest wartość \\(a_1\\), nie iloraz. |\n| C: \\(\\dfrac{3}{4}\\) | Podobnie jak B - bierze \\(\\dfrac{3}{4}\\) (bez znaku minusa), myląc stały czynnik \\(\\frac{1}{4}\\) z ilorazem lub oblicza \\(\\frac{a_1}{a_2}\\) zamiast \\(\\frac{a_2}{a_1}\\) (odwrotnie). |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Iloraz ciągu geometrycznego to **zawsze** stosunek \\(\\dfrac{a_{n+1}}{a_n}\\), a nie odwrotnie. Jeśli pomylisz kolejność, dostaniesz \\(\\dfrac{1}{3}\\) (tu: C) zamiast \\(3\\).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Minusy w liczniku i mianowniku **skracają się**. Ciąg \\(\\left(-\\frac{3}{4}, -\\frac{9}{4}, -\\frac{27}{4}, \\ldots\\right)\\) ma wszystkie wyrazy ujemne, ale iloraz jest **dodatni** - bo dwa ujemne dzielone przez siebie dają plus.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Nie myl czynnika stałego \\(\\dfrac{1}{4}\\) z ilorazem. Iloraz to to, przez co **mnożymy**, żeby przejść od wyrazu do wyrazu - a \\(\\dfrac{1}{4}\\) jest tylko skalowaniem całego ciągu.\n\n**Poprawna odpowiedź: D**\n\n### Sposób 1 - Definicja ilorazu\nIloraz ciągu geometrycznego: \\(q = \\dfrac{a_{n+1}}{a_n}\\).\n\\[q = \\dfrac{-\\tfrac{3^{n+1}}{4}}{-\\tfrac{3^n}{4}} = \\dfrac{3^{n+1}}{3^n} = 3^{n+1-n} = 3.\\]\n\n### Sposób 2 - Obliczenie pierwszych wyrazów\n\\(a_1 = -\\tfrac{3}{4}, a_2 = -\\tfrac{9}{4}, a_3 = -\\tfrac{27}{4}\\).\n\\(q = \\dfrac{a_2}{a_1} = \\dfrac{-\\tfrac{9}{4}}{-\\tfrac{3}{4}} = \\dfrac{9}{3} = 3\\).\n\nSprawdzenie: \\(\\dfrac{a_3}{a_2} = \\dfrac{-\\tfrac{27}{4}}{-\\tfrac{9}{4}} = 3\\) ✓.\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **A. \\(-3\\):** błąd znaku - ktoś nie zauważył, że oba wyrazy są ujemne i ich iloraz dodatni.\n- **B. \\(-\\tfrac{3}{4}\\):** to \\(a_1\\), nie iloraz.\n- **C. \\(\\tfrac{3}{4}\\):** \\(|a_1|\\) - nie iloraz.\n\n**Pamiętaj:** iloraz (-) · (-) = +. W \\(a_n = -\\tfrac{3^n}{4}\\) znak minus jest stałym czynnikiem, znika przy dzieleniu.","image":"img/matematyka-2014-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad-14.webp","solution_image":"img/matematyka-2014-sierpien-poprawkowa-podstawowa/sol-14.svg","topics":"ciagi","page_from":6,"source":"maturazai","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Inne · sierpień 2014 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Inne","text_html":"<p>Zadanie 14. (1 pkt)<br>Ciąg geometryczny <br><br>na<br>określony jest wzorem<br>3<br>4<br>n<br>na <br>dla<br>1<br>n . Iloraz tego ciągu jest<br>równy<br>A.<br>3<br><br>B.<br>3<br>4<br><br>C. 3<br>4<br>D. 3<br>Ciąg geometryczny (a_n) określony jest wzorem a_n = -{3^n/4} dla n&gt;=1. Iloraz tego ciągu jest równy A. -3, B. -3/4, D. 3/4, D. 3</p>","solutions":[{"source":"site","label":"matematykaszkolna.pl","kind":"image","image":"/img/matematyka-2014-sierpien-poprawkowa-podstawowa/sol-14.svg"},{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"<h4>Poprawna odpowiedź: D - iloraz równy \\(3\\)</h4>\n<h4>Sposób 1 - definicja ilorazu ciągu geometrycznego</h4>\n<p>Iloraz ciągu geometrycznego to stały stosunek kolejnego wyrazu do poprzedniego:<br>\\[q = \\frac{a_{n+1}}{a_n}\\]</p>\n<p>Obliczamy \\(a_{n+1}\\), podstawiając \\(n+1\\) do wzoru ogólnego:<br>\\[a_{n+1} = -\\frac{3^{n+1}}{4}\\]</p>\n<p>Teraz dzielimy:<br>\\[q = \\frac{a_{n+1}}{a_n} = \\frac{-\\dfrac{3^{n+1}}{4}}{-\\dfrac{3^n}{4}}\\]</p>\n<p>Ułamek podzielony przez ułamek - mnożymy przez odwrotność, minusy się skracają, czwórki się skracają:<br>\\[q = \\frac{3^{n+1}}{3^n} = 3^{n+1-n} = 3^1 = \\mathbf{3}\\]</p>\n<p><strong>Iloraz tego ciągu wynosi \\(3\\).</strong></p>\n<h4>Sposób 2 - podstawienie dwóch kolejnych wyrazów</h4>\n<p>Obliczamy dwa pierwsze wyrazy ciągu:</p>\n<p>\\[a_1 = -\\frac{3^1}{4} = -\\frac{3}{4}\\]</p>\n<p>\\[a_2 = -\\frac{3^2}{4} = -\\frac{9}{4}\\]</p>\n<p>Iloraz to:<br>\\[q = \\frac{a_2}{a_1} = \\frac{-\\dfrac{9}{4}}{-\\dfrac{3}{4}} = \\frac{9}{4} \\cdot \\frac{4}{3} = \\frac{9}{3} = \\mathbf{3}\\]</p>\n<p>Sprawdzamy jeszcze \\(a_3\\):<br>\\[a_3 = -\\frac{3^3}{4} = -\\frac{27}{4}, \\qquad \\frac{a_3}{a_2} = \\frac{-\\frac{27}{4}}{-\\frac{9}{4}} = \\frac{27}{9} = 3 \\checkmark\\]</p>\n<p>Iloraz jest stały i wynosi \\(\\mathbf{3}\\).</p>\n<h4>Wzory z karty CKE</h4>\n<p><strong>Dział 8 (Ciągi, s. 9-10)</strong> - definicja ciągu geometrycznego i wzór na \\(n\\)-ty wyraz:<br>\\[a_n = a_1 \\cdot q^{n-1}\\]<br>oraz własność: iloraz \\(q = \\dfrac{a_{n+1}}{a_n}\\) dla każdego \\(n \\geq 1\\).</p>\n<p>Właśnie ten wzór zastosowaliśmy w obu sposobach - w Sposobie 1 bezpośrednio przez podzielenie wyrazów, w Sposobie 2 przez wyliczenie konkretnych wyrazów i wzięcie ich ilorazu.</p>\n<h4>Dlaczego inne odpowiedzi są błędne</h4>\n<p>| Odp. | Typowy błąd |<br>| A: \\(-3\\) | Uczeń bierze pod uwagę znak wyrazu (\\(a_n\\) jest ujemne) i myśli, że iloraz też musi być ujemny. Tymczasem iloraz \\(\\frac{a_{n+1}}{a_n} = \\frac{\\text{ujemna}}{\\text{ujemna}} = \\text{dodatnia}\\). |<br>| B: \\(-\\dfrac{3}{4}\\) | Uczeń czyta \\(-\\dfrac{3}{4}\\) z mianownika wzoru, myląc mianownik z ilorazem. To jest wartość \\(a_1\\), nie iloraz. |<br>| C: \\(\\dfrac{3}{4}\\) | Podobnie jak B - bierze \\(\\dfrac{3}{4}\\) (bez znaku minusa), myląc stały czynnik \\(\\frac{1}{4}\\) z ilorazem lub oblicza \\(\\frac{a_1}{a_2}\\) zamiast \\(\\frac{a_2}{a_1}\\) (odwrotnie). |</p>\n<h4>Typowe pułapki i uwagi</h4>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Iloraz ciągu geometrycznego to <strong>zawsze</strong> stosunek \\(\\dfrac{a_{n+1}}{a_n}\\), a nie odwrotnie. Jeśli pomylisz kolejność, dostaniesz \\(\\dfrac{1}{3}\\) (tu: C) zamiast \\(3\\).</blockquote>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Minusy w liczniku i mianowniku <strong>skracają się</strong>. Ciąg \\(\\left(-\\frac{3}{4}, -\\frac{9}{4}, -\\frac{27}{4}, \\ldots\\right)\\) ma wszystkie wyrazy ujemne, ale iloraz jest <strong>dodatni</strong> - bo dwa ujemne dzielone przez siebie dają plus.</blockquote>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Nie myl czynnika stałego \\(\\dfrac{1}{4}\\) z ilorazem. Iloraz to to, przez co <strong>mnożymy</strong>, żeby przejść od wyrazu do wyrazu - a \\(\\dfrac{1}{4}\\) jest tylko skalowaniem całego ciągu.</blockquote>\n<p><strong>Poprawna odpowiedź: D</strong></p>\n<h5>Sposób 1 - Definicja ilorazu</h5>\n<p>Iloraz ciągu geometrycznego: \\(q = \\dfrac{a_{n+1}}{a_n}\\).<br>\\[q = \\dfrac{-\\tfrac{3^{n+1}}{4}}{-\\tfrac{3^n}{4}} = \\dfrac{3^{n+1}}{3^n} = 3^{n+1-n} = 3.\\]</p>\n<h5>Sposób 2 - Obliczenie pierwszych wyrazów</h5>\n<p>\\(a_1 = -\\tfrac{3}{4}, a_2 = -\\tfrac{9}{4}, a_3 = -\\tfrac{27}{4}\\).<br>\\(q = \\dfrac{a_2}{a_1} = \\dfrac{-\\tfrac{9}{4}}{-\\tfrac{3}{4}} = \\dfrac{9}{3} = 3\\).</p>\n<p>Sprawdzenie: \\(\\dfrac{a_3}{a_2} = \\dfrac{-\\tfrac{27}{4}}{-\\tfrac{9}{4}} = 3\\) ✓.</p>\n<h5>Dlaczego inne odpowiedzi są błędne</h5>\n<ul><li><strong>A. \\(-3\\):</strong> błąd znaku - ktoś nie zauważył, że oba wyrazy są ujemne i ich iloraz dodatni.</li><li><strong>B. \\(-\\tfrac{3}{4}\\):</strong> to \\(a_1\\), nie iloraz.</li><li><strong>C. \\(\\tfrac{3}{4}\\):</strong> \\(|a_1|\\) - nie iloraz.</li></ul>\n<p><strong>Pamiętaj:</strong> iloraz (-) · (-) = +. W \\(a_n = -\\tfrac{3^n}{4}\\) znak minus jest stałym czynnikiem, znika przy dzieleniu.</p>"}]}