{"id":"matematyka-2014-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad/15","paper_id":"matematyka-2014-sierpien-poprawkowa-podstawowa","number":"15","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"inne","year":2014,"month":"sierpien","level":"podstawowa","text":"Zadanie 15. (1 pkt)\nKąt  jest ostry i spełniona jest równość 3tg\n2\n\n. Wtedy wartość wyrażenia sin\ncos\n\n\n\njest równa\nA. 1\nB.\n5 13\n26\nC. 5 13\n13\nD.\n5\nKąt alfa jest ostry i spełniona jest równość 3 * tg alfa = 2. Wtedy wartość wyrażenia sin alfa + cos alfa jest równa A. 1, B. 5 * pierwiastek z 13 / 26, C. 5 * pierwastek z 14 / 13, D. pierwiastek z 5.","answer":"C","answer_text":null,"solution":"## Poprawna odpowiedź: C - \\(\\dfrac{5\\sqrt{13}}{13}\\)\n\n## Sposób 1 - Proporcja sinusa i cosinusa z tangensa\n\nZ waruniku zadania:\n\\[3\\operatorname{tg}\\alpha = 2 \\implies \\operatorname{tg}\\alpha = \\frac{2}{3}\\]\n\nPonieważ \\(\\operatorname{tg}\\alpha = \\dfrac{\\sin\\alpha}{\\cos\\alpha} = \\dfrac{2}{3}\\), możemy zapisać:\n\\[\\sin\\alpha = 2k, \\quad \\cos\\alpha = 3k, \\quad \\text{dla pewnego } k > 0\\]\n(kąt ostry, więc obie funkcje dodatnie)\n\nTeraz korzystamy z jedynki trygonometrycznej:\n\\[\\sin^2\\alpha + \\cos^2\\alpha = 1\\]\n\\[(2k)^2 + (3k)^2 = 1\\]\n\\[4k^2 + 9k^2 = 1\\]\n\\[13k^2 = 1 \\implies k = \\frac{1}{\\sqrt{13}}\\]\n\nZatem:\n\\[\\sin\\alpha = \\frac{2}{\\sqrt{13}} = \\frac{2\\sqrt{13}}{13}, \\qquad \\cos\\alpha = \\frac{3}{\\sqrt{13}} = \\frac{3\\sqrt{13}}{13}\\]\n\nSzukana suma:\n\\[\\sin\\alpha + \\cos\\alpha = \\frac{2\\sqrt{13}}{13} + \\frac{3\\sqrt{13}}{13} = \\boxed{\\frac{5\\sqrt{13}}{13}}\\]\n\n## Sposób 2 - Kwadrat sumy i wzór na \\(\\sin 2\\alpha\\)\n\nPodnosimy szukaną sumę do kwadratu:\n\\[(\\sin\\alpha + \\cos\\alpha)^2 = \\sin^2\\alpha + 2\\sin\\alpha\\cos\\alpha + \\cos^2\\alpha = 1 + \\sin 2\\alpha\\]\n\nTeraz wyznaczamy \\(\\sin 2\\alpha = 2\\sin\\alpha\\cos\\alpha\\). Korzystając z \\(k = \\dfrac{1}{\\sqrt{13}}\\) (z Sposobu 1):\n\\[\\sin 2\\alpha = 2 \\cdot \\frac{2}{\\sqrt{13}} \\cdot \\frac{3}{\\sqrt{13}} = \\frac{12}{13}\\]\n\nZatem:\n\\[(\\sin\\alpha + \\cos\\alpha)^2 = 1 + \\frac{12}{13} = \\frac{25}{13}\\]\n\n\\[\\sin\\alpha + \\cos\\alpha = \\sqrt{\\frac{25}{13}} = \\frac{5}{\\sqrt{13}} = \\frac{5\\sqrt{13}}{13}\\]\n\n(Pierwiastek dodatni, bo \\(\\alpha\\) ostry, więc sinus i cosinus są dodatnie.)\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 9 (Trygonometria, s. 11-12)** - jedynka trygonometryczna:\n\\[\\sin^2\\alpha + \\cos^2\\alpha = 1\\]\nKluczowy wzór - pozwolił nam wyznaczyć \\(k\\) z równania \\(13k^2 = 1\\).\n\n**Dział 9 (Trygonometria, s. 13)** - sinus podwojonego kąta:\n\\[\\sin 2\\alpha = 2\\sin\\alpha\\cos\\alpha\\]\nUżyty w Sposobie 2 do obliczenia \\(\\sin 2\\alpha = \\dfrac{12}{13}\\).\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Typowy błąd |\n| **A** (\\(1\\)) | Pomylenie \\(\\sin^2\\alpha + \\cos^2\\alpha = 1\\) z \\(\\sin\\alpha + \\cos\\alpha = 1\\) - to zupełnie inne rzeczy! |\n| **B** \\(\\left(\\dfrac{5\\sqrt{13}}{26}\\right)\\) | Poprawna struktura, ale błąd rachunkowy: podstawienie \\((2k)^2 + (3k)^2 = 4\\) zamiast \\(= 1\\), co daje \\(k = \\dfrac{1}{2\\sqrt{13}}\\) i wynik dwa razy za mały |\n| **D** (\\(\\sqrt{5}\\)) | Błędne odczytanie zadania: wzięcie \\(\\operatorname{tg}\\alpha = 2\\) (zamiast \\(\\frac{2}{3}\\)) i użycie trójkąta \\(2\\text{-}1\\text{-}\\sqrt{5}\\), co daje \\(\\sin\\alpha + \\cos\\alpha = \\dfrac{3}{\\sqrt{5}}\\), po czym błędne uproszczenie do \\(\\sqrt{5}\\) |\n\n## Typowe pułapki\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Nie mylić \\(\\sin^2\\alpha + \\cos^2\\alpha = 1\\) z \\(\\sin\\alpha + \\cos\\alpha = 1\\). Jedynka trygonometryczna dotyczy **kwadratów** - suma sinusa i cosinusa może być dowolna (tu wychodzi ok. \\(1{,}387\\)).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Przy wyznaczaniu \\(k\\) z proporcji \\(\\sin\\alpha = 2k, \\cos\\alpha = 3k\\) pamiętaj, że \\(k > 0\\) dla kąta ostrego - nie odrzucaj rozwiązania ani nie bierz wartości bezwzględnej na końcu.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Zawsze **wymiernij mianownik** - wynik \\(\\dfrac{5}{\\sqrt{13}}\\) należy zapisać jako \\(\\dfrac{5\\sqrt{13}}{13}\\), inaczej możesz nie rozpoznać odpowiedzi na liście.\n\n**Poprawna odpowiedź: C**\n\n### Sposób 1 - Trójkąt prostokątny\nZ \\(3\\tg\\alpha = 2\\) dostajemy \\(\\tg\\alpha = \\tfrac{2}{3}\\).\n\nPrzyjmujemy przyprostokątne: naprzeciw \\(\\alpha\\) długość \\(2\\), przy \\(\\alpha\\) długość \\(3\\). Przeciwprostokątna: \\(\\sqrt{2^2 + 3^2} = \\sqrt{13}\\).\n\n\\[\\sin\\alpha = \\dfrac{2}{\\sqrt{13}},\\quad \\cos\\alpha = \\dfrac{3}{\\sqrt{13}}.\\]\n\\[\\sin\\alpha + \\cos\\alpha = \\dfrac{2+3}{\\sqrt{13}} = \\dfrac{5}{\\sqrt{13}} = \\dfrac{5\\sqrt{13}}{13}.\\]\n\n### Sposób 2 - Wzory trygonometryczne\n\\(\\sin^2\\alpha + \\cos^2\\alpha = 1\\) oraz \\(\\tg\\alpha = \\tfrac{\\sin\\alpha}{\\cos\\alpha} = \\tfrac{2}{3}\\) daje \\(\\sin\\alpha = \\tfrac{2}{3}\\cos\\alpha\\).\nPodstawienie: \\(\\tfrac{4}{9}\\cos^2\\alpha + \\cos^2\\alpha = 1 \\Rightarrow \\tfrac{13}{9}\\cos^2\\alpha = 1 \\Rightarrow \\cos\\alpha = \\tfrac{3}{\\sqrt{13}}\\) (kąt ostry), \\(\\sin\\alpha = \\tfrac{2}{\\sqrt{13}}\\). Suma \\(= \\tfrac{5\\sqrt{13}}{13}\\).\n\n### Usuwanie niewymierności\n\\(\\dfrac{5}{\\sqrt{13}} \\cdot \\dfrac{\\sqrt{13}}{\\sqrt{13}} = \\dfrac{5\\sqrt{13}}{13}\\).\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **A. \\(1\\):** \\(\\sin\\alpha + \\cos\\alpha = 1\\) tylko dla \\(\\alpha = 0\\) lub \\(\\tfrac{\\pi}{2}\\), nie ostry ogólny.\n- **B. \\(\\tfrac{5\\sqrt{13}}{26}\\):** wynik podzielony przez \\(2\\).\n- **D. \\(\\sqrt{5}\\):** \\(\\approx 2{,}24\\), ale \\(|\\sin\\alpha+\\cos\\alpha| \\le \\sqrt{2} \\approx 1{,}41\\), więc niemożliwe.","image":"img/matematyka-2014-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad-15.webp","solution_image":"img/matematyka-2014-sierpien-poprawkowa-podstawowa/sol-15.svg","topics":"trygonometria","page_from":6,"source":"maturazai","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Inne · sierpień 2014 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Inne","text_html":"

Zadanie 15. (1 pkt)
Kąt  jest ostry i spełniona jest równość 3tg
2

. Wtedy wartość wyrażenia sin
cos



jest równa
A. 1
B.
5 13
26
C. 5 13
13
D.
5
Kąt alfa jest ostry i spełniona jest równość 3 * tg alfa = 2. Wtedy wartość wyrażenia sin alfa + cos alfa jest równa A. 1, B. 5 * pierwiastek z 13 / 26, C. 5 * pierwastek z 14 / 13, D. pierwiastek z 5.

","solutions":[{"source":"site","label":"matematykaszkolna.pl","kind":"image","image":"/img/matematyka-2014-sierpien-poprawkowa-podstawowa/sol-15.svg"},{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"

Poprawna odpowiedź: C - \\(\\dfrac{5\\sqrt{13}}{13}\\)

\n

Sposób 1 - Proporcja sinusa i cosinusa z tangensa

\n

Z waruniku zadania:
\\[3\\operatorname{tg}\\alpha = 2 \\implies \\operatorname{tg}\\alpha = \\frac{2}{3}\\]

\n

Ponieważ \\(\\operatorname{tg}\\alpha = \\dfrac{\\sin\\alpha}{\\cos\\alpha} = \\dfrac{2}{3}\\), możemy zapisać:
\\[\\sin\\alpha = 2k, \\quad \\cos\\alpha = 3k, \\quad \\text{dla pewnego } k > 0\\]
(kąt ostry, więc obie funkcje dodatnie)

\n

Teraz korzystamy z jedynki trygonometrycznej:
\\[\\sin^2\\alpha + \\cos^2\\alpha = 1\\]
\\[(2k)^2 + (3k)^2 = 1\\]
\\[4k^2 + 9k^2 = 1\\]
\\[13k^2 = 1 \\implies k = \\frac{1}{\\sqrt{13}}\\]

\n

Zatem:
\\[\\sin\\alpha = \\frac{2}{\\sqrt{13}} = \\frac{2\\sqrt{13}}{13}, \\qquad \\cos\\alpha = \\frac{3}{\\sqrt{13}} = \\frac{3\\sqrt{13}}{13}\\]

\n

Szukana suma:
\\[\\sin\\alpha + \\cos\\alpha = \\frac{2\\sqrt{13}}{13} + \\frac{3\\sqrt{13}}{13} = \\boxed{\\frac{5\\sqrt{13}}{13}}\\]

\n

Sposób 2 - Kwadrat sumy i wzór na \\(\\sin 2\\alpha\\)

\n

Podnosimy szukaną sumę do kwadratu:
\\[(\\sin\\alpha + \\cos\\alpha)^2 = \\sin^2\\alpha + 2\\sin\\alpha\\cos\\alpha + \\cos^2\\alpha = 1 + \\sin 2\\alpha\\]

\n

Teraz wyznaczamy \\(\\sin 2\\alpha = 2\\sin\\alpha\\cos\\alpha\\). Korzystając z \\(k = \\dfrac{1}{\\sqrt{13}}\\) (z Sposobu 1):
\\[\\sin 2\\alpha = 2 \\cdot \\frac{2}{\\sqrt{13}} \\cdot \\frac{3}{\\sqrt{13}} = \\frac{12}{13}\\]

\n

Zatem:
\\[(\\sin\\alpha + \\cos\\alpha)^2 = 1 + \\frac{12}{13} = \\frac{25}{13}\\]

\n

\\[\\sin\\alpha + \\cos\\alpha = \\sqrt{\\frac{25}{13}} = \\frac{5}{\\sqrt{13}} = \\frac{5\\sqrt{13}}{13}\\]

\n

(Pierwiastek dodatni, bo \\(\\alpha\\) ostry, więc sinus i cosinus są dodatnie.)

\n

Wzory z karty CKE

\n

Dział 9 (Trygonometria, s. 11-12) - jedynka trygonometryczna:
\\[\\sin^2\\alpha + \\cos^2\\alpha = 1\\]
Kluczowy wzór - pozwolił nam wyznaczyć \\(k\\) z równania \\(13k^2 = 1\\).

\n

Dział 9 (Trygonometria, s. 13) - sinus podwojonego kąta:
\\[\\sin 2\\alpha = 2\\sin\\alpha\\cos\\alpha\\]
Użyty w Sposobie 2 do obliczenia \\(\\sin 2\\alpha = \\dfrac{12}{13}\\).

\n

Dlaczego inne odpowiedzi są błędne

\n

| Odp. | Typowy błąd |
| A (\\(1\\)) | Pomylenie \\(\\sin^2\\alpha + \\cos^2\\alpha = 1\\) z \\(\\sin\\alpha + \\cos\\alpha = 1\\) - to zupełnie inne rzeczy! |
| B \\(\\left(\\dfrac{5\\sqrt{13}}{26}\\right)\\) | Poprawna struktura, ale błąd rachunkowy: podstawienie \\((2k)^2 + (3k)^2 = 4\\) zamiast \\(= 1\\), co daje \\(k = \\dfrac{1}{2\\sqrt{13}}\\) i wynik dwa razy za mały |
| D (\\(\\sqrt{5}\\)) | Błędne odczytanie zadania: wzięcie \\(\\operatorname{tg}\\alpha = 2\\) (zamiast \\(\\frac{2}{3}\\)) i użycie trójkąta \\(2\\text{-}1\\text{-}\\sqrt{5}\\), co daje \\(\\sin\\alpha + \\cos\\alpha = \\dfrac{3}{\\sqrt{5}}\\), po czym błędne uproszczenie do \\(\\sqrt{5}\\) |

\n

Typowe pułapki

\n
⚠️ Uwaga: Nie mylić \\(\\sin^2\\alpha + \\cos^2\\alpha = 1\\) z \\(\\sin\\alpha + \\cos\\alpha = 1\\). Jedynka trygonometryczna dotyczy kwadratów - suma sinusa i cosinusa może być dowolna (tu wychodzi ok. \\(1{,}387\\)).
\n
⚠️ Uwaga: Przy wyznaczaniu \\(k\\) z proporcji \\(\\sin\\alpha = 2k, \\cos\\alpha = 3k\\) pamiętaj, że \\(k > 0\\) dla kąta ostrego - nie odrzucaj rozwiązania ani nie bierz wartości bezwzględnej na końcu.
\n
⚠️ Uwaga: Zawsze wymiernij mianownik - wynik \\(\\dfrac{5}{\\sqrt{13}}\\) należy zapisać jako \\(\\dfrac{5\\sqrt{13}}{13}\\), inaczej możesz nie rozpoznać odpowiedzi na liście.
\n

Poprawna odpowiedź: C

\n
Sposób 1 - Trójkąt prostokątny
\n

Z \\(3\\tg\\alpha = 2\\) dostajemy \\(\\tg\\alpha = \\tfrac{2}{3}\\).

\n

Przyjmujemy przyprostokątne: naprzeciw \\(\\alpha\\) długość \\(2\\), przy \\(\\alpha\\) długość \\(3\\). Przeciwprostokątna: \\(\\sqrt{2^2 + 3^2} = \\sqrt{13}\\).

\n

\\[\\sin\\alpha = \\dfrac{2}{\\sqrt{13}},\\quad \\cos\\alpha = \\dfrac{3}{\\sqrt{13}}.\\]
\\[\\sin\\alpha + \\cos\\alpha = \\dfrac{2+3}{\\sqrt{13}} = \\dfrac{5}{\\sqrt{13}} = \\dfrac{5\\sqrt{13}}{13}.\\]

\n
Sposób 2 - Wzory trygonometryczne
\n

\\(\\sin^2\\alpha + \\cos^2\\alpha = 1\\) oraz \\(\\tg\\alpha = \\tfrac{\\sin\\alpha}{\\cos\\alpha} = \\tfrac{2}{3}\\) daje \\(\\sin\\alpha = \\tfrac{2}{3}\\cos\\alpha\\).
Podstawienie: \\(\\tfrac{4}{9}\\cos^2\\alpha + \\cos^2\\alpha = 1 \\Rightarrow \\tfrac{13}{9}\\cos^2\\alpha = 1 \\Rightarrow \\cos\\alpha = \\tfrac{3}{\\sqrt{13}}\\) (kąt ostry), \\(\\sin\\alpha = \\tfrac{2}{\\sqrt{13}}\\). Suma \\(= \\tfrac{5\\sqrt{13}}{13}\\).

\n
Usuwanie niewymierności
\n

\\(\\dfrac{5}{\\sqrt{13}} \\cdot \\dfrac{\\sqrt{13}}{\\sqrt{13}} = \\dfrac{5\\sqrt{13}}{13}\\).

\n
Dlaczego inne odpowiedzi są błędne
\n"}]}