{"id":"matematyka-2014-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad/16","paper_id":"matematyka-2014-sierpien-poprawkowa-podstawowa","number":"16","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"inne","year":2014,"month":"sierpien","level":"podstawowa","text":"Zadanie 16. (1 pkt)\nPromień okręgu opisanego na trójkącie równobocznym jest równy 8. Wysokość tego trójkąta\njest równa\nA. 4 3\nB. 8 3\nC. 12\nD. 6\n\nPoziom podstawowy\n7\nBRUDNOPIS (nie podlega ocenie)\n\nPoziom podstawowy\n8\nPromień okręgu opisanego na trójkącie równobocznym jest równy 8. Wysokość tego trójkąta jest równa A. 4 * pierwiastek z 3, B. 8 * pierwiastek z 3, C. 12, D. 6.","answer":"C","answer_text":null,"solution":"## Poprawna odpowiedź: C - \\(12\\)\n\n## Sposób 1 - Wzór z karty CKE: \\(R = \\frac{2h}{3}\\)\n\nZ karty wzorów CKE (Dział 10, Planimetria) wiemy, że dla **trójkąta równobocznego**:\n\n\\[R = \\frac{2h}{3}\\]\n\ngdzie \\(R\\) to promień okręgu **opisanego**, a \\(h\\) to wysokość.\n\nMamy \\(R = 8\\), szukamy \\(h\\). Wystarczy odwrócić wzór:\n\n\\[h = \\frac{3R}{2}\\]\n\n\\[h = \\frac{3 \\cdot 8}{2} = \\frac{24}{2} = \\mathbf{12}\\]\n\n## Sposób 2 - Przez długość boku\n\nDla trójkąta równobocznego o boku \\(a\\) promień okręgu opisanego to:\n\n\\[R = \\frac{a\\sqrt{3}}{3}\\]\n\nWyznaczamy bok \\(a\\):\n\n\\[a = \\frac{3R}{\\sqrt{3}} = \\frac{3 \\cdot 8}{\\sqrt{3}} = \\frac{24}{\\sqrt{3}} = \\frac{24\\sqrt{3}}{3} = 8\\sqrt{3}\\]\n\nTeraz liczymy wysokość (ze wzoru na trójkąt równoboczny):\n\n\\[h = \\frac{a\\sqrt{3}}{2} = \\frac{8\\sqrt{3} \\cdot \\sqrt{3}}{2} = \\frac{8 \\cdot 3}{2} = \\frac{24}{2} = \\mathbf{12}\\]\n\nOba sposoby dają ten sam wynik - **wysokość wynosi \\(12\\)**.\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 10 (Planimetria, s. 15-16)** - Trójkąt równoboczny o boku \\(a\\):\n\n\\[h = \\frac{a\\sqrt{3}}{2}, \\qquad r = \\frac{h}{3}, \\qquad R = \\frac{2h}{3}\\]\n\nZ tych wzorów bezpośrednio wynika relacja \\(R = \\frac{2h}{3}\\), której użyliśmy w Sposobie 1.\n\nWarto też zapamiętać piękną relację: \\(r = \\frac{R}{2}\\) - promień okręgu wpisanego jest **dwa razy mniejszy** od promienia opisanego.\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Błąd prowadzący do tej odpowiedzi |\n| A: \\(4\\sqrt{3}\\) | Pomylono bok \\(a\\) z promieniem: wzięto \\(h = \\frac{R\\sqrt{3}}{2}\\) zamiast \\(h = \\frac{a\\sqrt{3}}{2}\\) (wstawiono \\(R\\) zamiast \\(a\\)) |\n| B: \\(8\\sqrt{3}\\) | Policzono poprawnie bok \\(a = 8\\sqrt{3}\\), ale zatrzymano się na wyniku i podano bok zamiast wysokości |\n| D: \\(6\\) | Użyto błędnego wzoru \\(h = \\frac{3R}{4}\\) zamiast \\(h = \\frac{3R}{2}\\) - pomylono mianownik |\n\n## Typowe pułapki i uwaga\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Promień okręgu **opisanego** (\\(R\\)) i **wpisanego** (\\(r\\)) to dwie różne wielkości. W zadaniu mowa o opisanym - nie mylić! Dla trójkąta równobocznego \\(r = \\frac{R}{2}\\), więc tu \\(r = 4\\).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Wzór \\(h = \\frac{a\\sqrt{3}}{2}\\) dotyczy boku \\(a\\), nie promienia \\(R\\). Podstawianie \\(R\\) zamiast \\(a\\) to najpopularniejszy błąd w tym zadaniu.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Środek ciężkości (= środek okręgu opisanego) dzieli wysokość w stosunku \\(2:1\\) od wierzchołka. Stąd \\(R = \\frac{2}{3}h\\) i \\(r = \\frac{1}{3}h\\) - warto zapamiętać te proporcje.\n\n**Poprawna odpowiedź: C**\n\n### Sposób 1 - Związek promienia z wysokością\nW trójkącie równobocznym środek okręgu opisanego leży w \\(\\tfrac{2}{3}\\) wysokości od wierzchołka (czyli w punkcie przecięcia środkowych = środku ciężkości).\nPromień opisany: \\(R = \\tfrac{2}{3} h\\), skąd \\(h = \\tfrac{3}{2} R = \\tfrac{3}{2}\\cdot 8 = 12\\).\n\n### Sposób 2 - Przez bok\nDla trójkąta równobocznego o boku \\(a\\): \\(R = \\tfrac{a\\sqrt{3}}{3}\\), \\(h = \\tfrac{a\\sqrt{3}}{2}\\).\nZ \\(R = 8\\): \\(a\\sqrt{3} = 24 \\Rightarrow a = 8\\sqrt{3}\\).\nWysokość: \\(h = \\tfrac{8\\sqrt{3}\\cdot \\sqrt{3}}{2} = \\tfrac{24}{2} = 12\\).\n\n### Sposób 3 - Stosunek \\(R\\) do \\(h\\)\nŚrodek ciężkości dzieli wysokość w stosunku \\(2:1\\) licząc od wierzchołka. Odcinek od wierzchołka do środka ciężkości ma długość \\(R = 8\\), co stanowi \\(\\tfrac{2}{3}\\) wysokości. Cała wysokość: \\(h = 8 \\cdot \\tfrac{3}{2} = 12\\).\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **A. \\(4\\sqrt{3} \\approx 6{,}93\\):** zbyt mała.\n- **B. \\(8\\sqrt{3} \\approx 13{,}86\\):** to długość boku, nie wysokości.\n- **D. \\(6\\):** to byłby promień wpisany \\(r = \\tfrac{a\\sqrt{3}}{6}\\) dla innego boku.\n\n**Pamiętaj:** \\(R_{\\text{opis}} = 2r_{\\text{wpis}} = \\tfrac{2}{3}h\\) w trójkącie równobocznym.","image":"img/matematyka-2014-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad-16.webp","solution_image":"img/matematyka-2014-sierpien-poprawkowa-podstawowa/sol-16.svg","topics":"planimetria","page_from":6,"source":"maturazai","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Inne · sierpień 2014 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Inne","text_html":"<p>Zadanie 16. (1 pkt)<br>Promień okręgu opisanego na trójkącie równobocznym jest równy 8. Wysokość tego trójkąta<br>jest równa<br>A. 4 3<br>B. 8 3<br>C. 12<br>D. 6</p>\n<p>Poziom podstawowy<br>7<br>BRUDNOPIS (nie podlega ocenie)</p>\n<p>Poziom podstawowy<br>8<br>Promień okręgu opisanego na trójkącie równobocznym jest równy 8. Wysokość tego trójkąta jest równa A. 4 * pierwiastek z 3, B. 8 * pierwiastek z 3, C. 12, D. 6.</p>","solutions":[{"source":"site","label":"matematykaszkolna.pl","kind":"image","image":"/img/matematyka-2014-sierpien-poprawkowa-podstawowa/sol-16.svg"},{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"<h4>Poprawna odpowiedź: C - \\(12\\)</h4>\n<h4>Sposób 1 - Wzór z karty CKE: \\(R = \\frac{2h}{3}\\)</h4>\n<p>Z karty wzorów CKE (Dział 10, Planimetria) wiemy, że dla <strong>trójkąta równobocznego</strong>:</p>\n<p>\\[R = \\frac{2h}{3}\\]</p>\n<p>gdzie \\(R\\) to promień okręgu <strong>opisanego</strong>, a \\(h\\) to wysokość.</p>\n<p>Mamy \\(R = 8\\), szukamy \\(h\\). Wystarczy odwrócić wzór:</p>\n<p>\\[h = \\frac{3R}{2}\\]</p>\n<p>\\[h = \\frac{3 \\cdot 8}{2} = \\frac{24}{2} = \\mathbf{12}\\]</p>\n<h4>Sposób 2 - Przez długość boku</h4>\n<p>Dla trójkąta równobocznego o boku \\(a\\) promień okręgu opisanego to:</p>\n<p>\\[R = \\frac{a\\sqrt{3}}{3}\\]</p>\n<p>Wyznaczamy bok \\(a\\):</p>\n<p>\\[a = \\frac{3R}{\\sqrt{3}} = \\frac{3 \\cdot 8}{\\sqrt{3}} = \\frac{24}{\\sqrt{3}} = \\frac{24\\sqrt{3}}{3} = 8\\sqrt{3}\\]</p>\n<p>Teraz liczymy wysokość (ze wzoru na trójkąt równoboczny):</p>\n<p>\\[h = \\frac{a\\sqrt{3}}{2} = \\frac{8\\sqrt{3} \\cdot \\sqrt{3}}{2} = \\frac{8 \\cdot 3}{2} = \\frac{24}{2} = \\mathbf{12}\\]</p>\n<p>Oba sposoby dają ten sam wynik - <strong>wysokość wynosi \\(12\\)</strong>.</p>\n<h4>Wzory z karty CKE</h4>\n<p><strong>Dział 10 (Planimetria, s. 15-16)</strong> - Trójkąt równoboczny o boku \\(a\\):</p>\n<p>\\[h = \\frac{a\\sqrt{3}}{2}, \\qquad r = \\frac{h}{3}, \\qquad R = \\frac{2h}{3}\\]</p>\n<p>Z tych wzorów bezpośrednio wynika relacja \\(R = \\frac{2h}{3}\\), której użyliśmy w Sposobie 1.</p>\n<p>Warto też zapamiętać piękną relację: \\(r = \\frac{R}{2}\\) - promień okręgu wpisanego jest <strong>dwa razy mniejszy</strong> od promienia opisanego.</p>\n<h4>Dlaczego inne odpowiedzi są błędne</h4>\n<p>| Odp. | Błąd prowadzący do tej odpowiedzi |<br>| A: \\(4\\sqrt{3}\\) | Pomylono bok \\(a\\) z promieniem: wzięto \\(h = \\frac{R\\sqrt{3}}{2}\\) zamiast \\(h = \\frac{a\\sqrt{3}}{2}\\) (wstawiono \\(R\\) zamiast \\(a\\)) |<br>| B: \\(8\\sqrt{3}\\) | Policzono poprawnie bok \\(a = 8\\sqrt{3}\\), ale zatrzymano się na wyniku i podano bok zamiast wysokości |<br>| D: \\(6\\) | Użyto błędnego wzoru \\(h = \\frac{3R}{4}\\) zamiast \\(h = \\frac{3R}{2}\\) - pomylono mianownik |</p>\n<h4>Typowe pułapki i uwaga</h4>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Promień okręgu <strong>opisanego</strong> (\\(R\\)) i <strong>wpisanego</strong> (\\(r\\)) to dwie różne wielkości. W zadaniu mowa o opisanym - nie mylić! Dla trójkąta równobocznego \\(r = \\frac{R}{2}\\), więc tu \\(r = 4\\).</blockquote>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Wzór \\(h = \\frac{a\\sqrt{3}}{2}\\) dotyczy boku \\(a\\), nie promienia \\(R\\). Podstawianie \\(R\\) zamiast \\(a\\) to najpopularniejszy błąd w tym zadaniu.</blockquote>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Środek ciężkości (= środek okręgu opisanego) dzieli wysokość w stosunku \\(2:1\\) od wierzchołka. Stąd \\(R = \\frac{2}{3}h\\) i \\(r = \\frac{1}{3}h\\) - warto zapamiętać te proporcje.</blockquote>\n<p><strong>Poprawna odpowiedź: C</strong></p>\n<h5>Sposób 1 - Związek promienia z wysokością</h5>\n<p>W trójkącie równobocznym środek okręgu opisanego leży w \\(\\tfrac{2}{3}\\) wysokości od wierzchołka (czyli w punkcie przecięcia środkowych = środku ciężkości).<br>Promień opisany: \\(R = \\tfrac{2}{3} h\\), skąd \\(h = \\tfrac{3}{2} R = \\tfrac{3}{2}\\cdot 8 = 12\\).</p>\n<h5>Sposób 2 - Przez bok</h5>\n<p>Dla trójkąta równobocznego o boku \\(a\\): \\(R = \\tfrac{a\\sqrt{3}}{3}\\), \\(h = \\tfrac{a\\sqrt{3}}{2}\\).<br>Z \\(R = 8\\): \\(a\\sqrt{3} = 24 \\Rightarrow a = 8\\sqrt{3}\\).<br>Wysokość: \\(h = \\tfrac{8\\sqrt{3}\\cdot \\sqrt{3}}{2} = \\tfrac{24}{2} = 12\\).</p>\n<h5>Sposób 3 - Stosunek \\(R\\) do \\(h\\)</h5>\n<p>Środek ciężkości dzieli wysokość w stosunku \\(2:1\\) licząc od wierzchołka. Odcinek od wierzchołka do środka ciężkości ma długość \\(R = 8\\), co stanowi \\(\\tfrac{2}{3}\\) wysokości. Cała wysokość: \\(h = 8 \\cdot \\tfrac{3}{2} = 12\\).</p>\n<h5>Dlaczego inne odpowiedzi są błędne</h5>\n<ul><li><strong>A. \\(4\\sqrt{3} \\approx 6{,}93\\):</strong> zbyt mała.</li><li><strong>B. \\(8\\sqrt{3} \\approx 13{,}86\\):</strong> to długość boku, nie wysokości.</li><li><strong>D. \\(6\\):</strong> to byłby promień wpisany \\(r = \\tfrac{a\\sqrt{3}}{6}\\) dla innego boku.</li></ul>\n<p><strong>Pamiętaj:</strong> \\(R_{\\text{opis}} = 2r_{\\text{wpis}} = \\tfrac{2}{3}h\\) w trójkącie równobocznym.</p>"}]}