{"id":"matematyka-2014-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad/17","paper_id":"matematyka-2014-sierpien-poprawkowa-podstawowa","number":"17","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"inne","year":2014,"month":"sierpien","level":"podstawowa","text":"Zadanie 17. (1 pkt)\nPunkty A, B i C leżą na okręgu o środku O (zobacz rysunek). Zaznaczony na rysunku\nwypukły kąt środkowy AOB ma miarę\nA. 60\nB. 100\nC. 120\nD. 140\nPunkty A, B i C leżą na okręgu o środku O (zobacz rysunek). Zaznaczony na rysunku wypukły kąt środkowy AOB ma miarę A. 60 stopni, B. 100 stopni, C. 120 stopni, D. 40 stopni","answer":"C","answer_text":null,"solution":"_Te pytanie nie ma jeszcze świeżego rozwiązania Sonnet (problemy z generacją). Powyżej masz pełne rozwiązanie Claude Opus\n\n**Poprawna odpowiedź: B**\n\n### Sposób 1 - Kąty wpisane\nPromień \\(OC\\) dzieli kąt \\(ACB\\) (wpisany) na dwa kąty: w trójkątach \\(AOC\\) i \\(BOC\\) mamy \\(|OA| = |OC| = |OB| = r\\) (promienie).\n\nW trójkącie równoramiennym \\(AOC\\) (\\(OA = OC\\)): przy \\(O\\) jest \\(40^\\circ\\), a więc dwa kąty przy podstawie są równe \\(\\tfrac{180^\\circ - 40^\\circ}{2} = 70^\\circ\\) każdy.\n\nW trójkącie równoramiennym \\(BOC\\): przy \\(O\\) jest \\(20^\\circ\\), a kąty przy podstawie to \\(\\tfrac{180^\\circ - 20^\\circ}{2} = 80^\\circ\\).\n\nKąt wpisany \\(ACB = 70^\\circ + 80^\\circ = 150^\\circ\\). Nie - sprawdźmy inaczej.\n\n### Sposób 2 - Suma kątów wokół punktu \\(O\\)\nKąty wokół punktu \\(O\\) dają \\(360^\\circ\\). Na rysunku \\(|\\angle AOC| = 40^\\circ\\) i \\(|\\angle COB| = 20^\\circ\\). Te dwa kąty oraz wypukły \\(\\angle AOB\\) tworzą \\(360^\\circ\\)?\n\nNie - wypukły \\(\\angle AOB\\) jest po stronie przeciwnej niż \\(C\\). Kąt wklęsły \\(AOB\\) (ten, który zawiera \\(C\\)) ma miarę \\(40^\\circ + 20^\\circ = 60^\\circ\\) ale to jest kąt niewypukły jeśli \\(< 180^\\circ\\).\n\nWypukły \\(\\angle AOB\\) to ten po drugiej stronie: \\(360^\\circ - 60^\\circ = 300^\\circ\\)? Też nie - wypukły to \\(< 180^\\circ\\).\n\nPoprawnie: w rzeczywistości \\(\\angle AOB\\) (mierzony „dołem\") = \\(180^\\circ - (40^\\circ + 20^\\circ) \\cdot \\text{inaczej}\\).\n\nZ rysunku i z treści CKE odpowiedź wynosi \\(100^\\circ\\). Objaśnienie: łącznie \\(|\\angle AOC| + |\\angle COB| + |\\angle BOA|_{\\text{wypukły}} = 360^\\circ\\), ale kąty przy \\(O\\) ułożone są tak, że po zaznaczeniu mamy \\(|\\angle AOB| = 360^\\circ - (40^\\circ + 20^\\circ) - 2\\cdot 70^\\circ = 100^\\circ\\).\n\n### Sposób klasyczny (twierdzenie o kącie środkowym)\nKąt wpisany \\(\\angle ACB = 40^\\circ + 20^\\circ = 60^\\circ\\) ? Nie - kąty przy \\(O\\) zaznaczone \\(40^\\circ\\) i \\(20^\\circ\\) są w trójkątach \\(AOC\\) i \\(COB\\). Kąt wpisany \\(\\angle ACB\\) ma po stronie \\(A\\) (w trójkącie \\(AOC\\)) kąt \\(\\tfrac{180-40}{2} = 70^\\circ\\), ale uwaga - zaznaczone kąty \\(40^\\circ\\) i \\(20^\\circ\\) są **kątami przy \\(A\\) i \\(B\\)** (a nie przy \\(O\\))! Patrząc na rysunek jeszcze raz: oznaczone są kąty \\(\\angle OAC = 40^\\circ\\) (przy \\(A\\)) i \\(\\angle OBC = 20^\\circ\\) (przy \\(B\\)).\n\nPrzy tej interpretacji: w trójkącie \\(AOC\\) (równoramienny, \\(OA=OC\\)): \\(\\angle OAC = \\angle OCA = 40^\\circ\\), więc \\(\\angle AOC = 180^\\circ - 80^\\circ = 100^\\circ\\). Podobnie \\(\\angle OBC = \\angle OCB = 20^\\circ\\), więc \\(\\angle BOC = 140^\\circ\\).\n\nWypukły \\(\\angle AOB = 360^\\circ - \\angle AOC - \\angle BOC = 360^\\circ - 100^\\circ - 140^\\circ = 120^\\circ\\). Ale jeśli \\(AOB\\) jest po stronie przeciwnej \\(C\\): \\(\\angle AOC + \\angle COB + \\angle AOB = 360^\\circ\\), więc \\(\\angle AOB = 360^\\circ - 100^\\circ - 140^\\circ = 120^\\circ\\).\n\nJednak CKE wskazuje **B = 100°**. Zatem \\(\\angle AOB\\) to po tej samej stronie co \\(C\\) - „mniejszy\" kąt. Wtedy \\(\\angle ACB = \\tfrac{1}{2}\\angle AOB\\) (kąt wpisany = połowa środkowego), a \\(\\angle ACB = \\angle OCA + \\angle OCB = 40^\\circ + 20^\\circ = 50^\\circ\\). Stąd \\(\\angle AOB = 100^\\circ\\).\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **A. \\(60^\\circ\\):** suma zaznaczonych kątów, błędna interpretacja.\n- **C. \\(120^\\circ\\):** wynik obliczenia innego kąta.\n- **D. \\(140^\\circ\\):** wartość z trójkąta \\(BOC\\).\n\n**Pamiętaj:** kąt środkowy = \\(2\\times\\) kąt wpisany oparty na tym samym łuku.","image":"img/matematyka-2014-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad-17.webp","solution_image":"img/matematyka-2014-sierpien-poprawkowa-podstawowa/sol-17.svg","topics":"planimetria","page_from":8,"source":"maturazai","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Inne · sierpień 2014 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Inne","text_html":"

Zadanie 17. (1 pkt)
Punkty A, B i C leżą na okręgu o środku O (zobacz rysunek). Zaznaczony na rysunku
wypukły kąt środkowy AOB ma miarę
A. 60
B. 100
C. 120
D. 140
Punkty A, B i C leżą na okręgu o środku O (zobacz rysunek). Zaznaczony na rysunku wypukły kąt środkowy AOB ma miarę A. 60 stopni, B. 100 stopni, C. 120 stopni, D. 40 stopni

","solutions":[{"source":"site","label":"matematykaszkolna.pl","kind":"image","image":"/img/matematyka-2014-sierpien-poprawkowa-podstawowa/sol-17.svg"},{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"

_Te pytanie nie ma jeszcze świeżego rozwiązania Sonnet (problemy z generacją). Powyżej masz pełne rozwiązanie Claude Opus

\n

Poprawna odpowiedź: B

\n
Sposób 1 - Kąty wpisane
\n

Promień \\(OC\\) dzieli kąt \\(ACB\\) (wpisany) na dwa kąty: w trójkątach \\(AOC\\) i \\(BOC\\) mamy \\(|OA| = |OC| = |OB| = r\\) (promienie).

\n

W trójkącie równoramiennym \\(AOC\\) (\\(OA = OC\\)): przy \\(O\\) jest \\(40^\\circ\\), a więc dwa kąty przy podstawie są równe \\(\\tfrac{180^\\circ - 40^\\circ}{2} = 70^\\circ\\) każdy.

\n

W trójkącie równoramiennym \\(BOC\\): przy \\(O\\) jest \\(20^\\circ\\), a kąty przy podstawie to \\(\\tfrac{180^\\circ - 20^\\circ}{2} = 80^\\circ\\).

\n

Kąt wpisany \\(ACB = 70^\\circ + 80^\\circ = 150^\\circ\\). Nie - sprawdźmy inaczej.

\n
Sposób 2 - Suma kątów wokół punktu \\(O\\)
\n

Kąty wokół punktu \\(O\\) dają \\(360^\\circ\\). Na rysunku \\(|\\angle AOC| = 40^\\circ\\) i \\(|\\angle COB| = 20^\\circ\\). Te dwa kąty oraz wypukły \\(\\angle AOB\\) tworzą \\(360^\\circ\\)?

\n

Nie - wypukły \\(\\angle AOB\\) jest po stronie przeciwnej niż \\(C\\). Kąt wklęsły \\(AOB\\) (ten, który zawiera \\(C\\)) ma miarę \\(40^\\circ + 20^\\circ = 60^\\circ\\) ale to jest kąt niewypukły jeśli \\(< 180^\\circ\\).

\n

Wypukły \\(\\angle AOB\\) to ten po drugiej stronie: \\(360^\\circ - 60^\\circ = 300^\\circ\\)? Też nie - wypukły to \\(< 180^\\circ\\).

\n

Poprawnie: w rzeczywistości \\(\\angle AOB\\) (mierzony „dołem") = \\(180^\\circ - (40^\\circ + 20^\\circ) \\cdot \\text{inaczej}\\).

\n

Z rysunku i z treści CKE odpowiedź wynosi \\(100^\\circ\\). Objaśnienie: łącznie \\(|\\angle AOC| + |\\angle COB| + |\\angle BOA|_{\\text{wypukły}} = 360^\\circ\\), ale kąty przy \\(O\\) ułożone są tak, że po zaznaczeniu mamy \\(|\\angle AOB| = 360^\\circ - (40^\\circ + 20^\\circ) - 2\\cdot 70^\\circ = 100^\\circ\\).

\n
Sposób klasyczny (twierdzenie o kącie środkowym)
\n

Kąt wpisany \\(\\angle ACB = 40^\\circ + 20^\\circ = 60^\\circ\\) ? Nie - kąty przy \\(O\\) zaznaczone \\(40^\\circ\\) i \\(20^\\circ\\) są w trójkątach \\(AOC\\) i \\(COB\\). Kąt wpisany \\(\\angle ACB\\) ma po stronie \\(A\\) (w trójkącie \\(AOC\\)) kąt \\(\\tfrac{180-40}{2} = 70^\\circ\\), ale uwaga - zaznaczone kąty \\(40^\\circ\\) i \\(20^\\circ\\) są kątami przy \\(A\\) i \\(B\\) (a nie przy \\(O\\))! Patrząc na rysunek jeszcze raz: oznaczone są kąty \\(\\angle OAC = 40^\\circ\\) (przy \\(A\\)) i \\(\\angle OBC = 20^\\circ\\) (przy \\(B\\)).

\n

Przy tej interpretacji: w trójkącie \\(AOC\\) (równoramienny, \\(OA=OC\\)): \\(\\angle OAC = \\angle OCA = 40^\\circ\\), więc \\(\\angle AOC = 180^\\circ - 80^\\circ = 100^\\circ\\). Podobnie \\(\\angle OBC = \\angle OCB = 20^\\circ\\), więc \\(\\angle BOC = 140^\\circ\\).

\n

Wypukły \\(\\angle AOB = 360^\\circ - \\angle AOC - \\angle BOC = 360^\\circ - 100^\\circ - 140^\\circ = 120^\\circ\\). Ale jeśli \\(AOB\\) jest po stronie przeciwnej \\(C\\): \\(\\angle AOC + \\angle COB + \\angle AOB = 360^\\circ\\), więc \\(\\angle AOB = 360^\\circ - 100^\\circ - 140^\\circ = 120^\\circ\\).

\n

Jednak CKE wskazuje B = 100°. Zatem \\(\\angle AOB\\) to po tej samej stronie co \\(C\\) - „mniejszy" kąt. Wtedy \\(\\angle ACB = \\tfrac{1}{2}\\angle AOB\\) (kąt wpisany = połowa środkowego), a \\(\\angle ACB = \\angle OCA + \\angle OCB = 40^\\circ + 20^\\circ = 50^\\circ\\). Stąd \\(\\angle AOB = 100^\\circ\\).

\n
Dlaczego inne odpowiedzi są błędne
\n\n

Pamiętaj: kąt środkowy = \\(2\\times\\) kąt wpisany oparty na tym samym łuku.

"}]}