Zadanie 18. (1 pkt)
Odcinki BC i DE są równoległe i
4
AE
,
3
DE
(zobacz rysunek). Punkt D jest środkiem
odcinka AB. Długość odcinka BC jest równa
A. 4
B. 6
C. 8
D. 16
Odcinki BC i DE są równoległe i |AE| = 4, |DE| = 3 (zobacz rysunek). Punkt D jest środkiem odcinka AB. Długość odcinka BC jest równa A. 4, B. 6, C. 8, D. 6.
72(km/h)
5
90 (km/h)
Co mamy:
\nKrok 1 - Skala podobieństwa.
\nPonieważ \\(D\\) jest środkiem \\(AB\\):
\\[\\frac{|AD|}{|AB|} = \\frac{1}{2}\\]
Krok 2 - Podobieństwo trójkątów.
\nSkoro \\(DE \\parallel BC\\), to trójkąt \\(ADE\\) jest podobny do trójkąta \\(ABC\\) (kąt \\(A\\) wspólny + kąty odpowiednie przy \\(DE \\parallel BC\\) są równe → kąt-kąt):
\\[\\triangle ADE \\sim \\triangle ABC\\]
Skala podobieństwa wynosi:
\\[k = \\frac{|AD|}{|AB|} = \\frac{1}{2}\\]
Krok 3 - Wyznaczenie \\(|BC|\\).
\nZ podobieństwa odpowiadające boki są proporcjonalne:
\\[\\frac{|DE|}{|BC|} = k = \\frac{1}{2}\\]
\\[|BC| = \\frac{|DE|}{k} = \\frac{3}{\\frac{1}{2}} = 3 \\cdot 2 = \\mathbf{6}\\]
Twierdzenie Talesa mówi: jeśli prosta \\(DE\\) przecina boki trójkąta i jest równoległa do podstawy, to dzieli te boki w tym samym stosunku.
\nProsta \\(DE \\parallel BC\\) przecina \\(AB\\) w punkcie \\(D\\) i \\(AC\\) w punkcie \\(E\\). Zatem:
\\[\\frac{|AD|}{|AB|} = \\frac{|AE|}{|AC|}\\]
Skoro \\(D\\) jest środkiem \\(AB\\), to \\(\\frac{|AD|}{|AB|} = \\frac{1}{2}\\), więc:
\\[\\frac{|AE|}{|AC|} = \\frac{1}{2} \\implies |AC| = 2 \\cdot |AE| = 2 \\cdot 4 = 8\\]
Stąd \\(|EC| = |AC| - |AE| = 8 - 4 = 4\\).
\nDla boków równoległych \\(DE\\) i \\(BC\\):
\\[\\frac{|DE|}{|BC|} = \\frac{|AD|}{|AB|} = \\frac{1}{2} \\implies |BC| = 2 \\cdot |DE| = 2 \\cdot 3 = \\mathbf{6}\\]
Oba sposoby dają ten sam wynik ✓
\nDział 10 (Planimetria, s. 18) - Twierdzenie Talesa:
\nJeśli \\(\\dfrac{|AD|}{|AB|} = \\dfrac{|AE|}{|AC|}\\), to \\(DE \\parallel BC\\)\n
Użyliśmy tej własności w obu sposobach - z równoległości \\(DE \\parallel BC\\) wnioskowaliśmy o proporcjonalności odcinków i skali podobieństwa.
\nKarta nie zawiera oddzielnego wzoru na podobieństwo trójkątów, ale twierdzenie Talesa (s. 18) jest jego fundamentem.
\n| Odp. | Błąd prowadzący do tej odpowiedzi |
| A - \\(4\\) | Uczeń przepisuje \\(\\|AE\\| = 4\\) jako wynik, myląc dany odcinek z szukanym \\(\\|BC\\|\\) |
| C - \\(8\\) | Uczeń podwaja \\(\\|AE\\|\\) zamiast \\(\\|DE\\|\\): \\(2 \\cdot 4 = 8\\) - pomylenie, który odcinek jest podobny do \\(BC\\) |
| D - \\(16\\) | Uczeń mnoży \\(\\|AE\\| \\cdot \\|DE\\| = 4 \\cdot 3 = 12\\) lub stosuje błędne kwadratowanie skali: \\(4^2 = 16\\) |
⚠️ Uwaga: Skala podobieństwa \\(k = \\frac{1}{2}\\) mówi, że \\(DE\\) jest dwa razy krótsze od \\(BC\\), a nie odwrotnie. Łatwo tu odwrócić proporcję i wyjść z \\(|BC| = \\frac{3}{2}\\).\n
⚠️ Uwaga: Dane \\(|AE| = 4\\) służy tylko do sprawdzenia spójności rysunku (i dotyczy boku \\(AC\\)), ale nie jest potrzebne do obliczenia \\(|BC\\)|. Wystarczy wiedzieć, że \\(D\\) jest środkiem \\(AB\\), żeby mieć skalę \\(\\frac{1}{2}\\).\n
⚠️ Uwaga: Warunek „\\(D\\) jest środkiem \\(AB\\)" jest kluczowy - gdyby \\(D\\) dzielił \\(AB\\) w innym stosunku (np. \\(1:3\\)), wynik byłby zupełnie inny.\n
Poprawna odpowiedź: B
\nSkoro \\(DE \\parallel BC\\), to trójkąt \\(ADE\\) jest podobny do trójkąta \\(ABC\\).
\\(D\\) - środek \\(AB\\), więc \\(|AD| = \\tfrac{1}{2}|AB|\\). Skala podobieństwa:
\\[k = \\dfrac{|AD|}{|AB|} = \\dfrac{1}{2}.\\]
Z podobieństwa:
\\[\\dfrac{|DE|}{|BC|} = k = \\dfrac{1}{2}\\]
\\[|BC| = 2 \\cdot |DE| = 2 \\cdot 3 = 6.\\]
\\(DE\\) jest linią środkową w trójkącie \\(ABC\\)? Warunki: \\(D\\) - środek \\(AB\\), a przy \\(DE \\parallel BC\\) punkt \\(E\\) musi być środkiem \\(AC\\). Wtedy \\(|DE| = \\tfrac{1}{2}|BC|\\), skąd \\(|BC| = 2|DE| = 6\\).
\n(Informacja \\(|AE| = 4\\) jest dodatkowa - sprawdzamy: jeśli \\(E\\) to środek \\(AC\\), to \\(|AC| = 8\\).)
\nPamiętaj: linia środkowa trójkąta jest równoległa do trzeciego boku i ma połowę jego długości.
"}]}