{"id":"matematyka-2014-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad/19","paper_id":"matematyka-2014-sierpien-poprawkowa-podstawowa","number":"19","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"inne","year":2014,"month":"sierpien","level":"podstawowa","text":"Zadanie 19. (1 pkt)\nDane są równania czterech prostych:\nProstopadłe są proste\nA. l i n\nB. l i m\nC. k i n\nD. k i m\nl:\n2\n5\ny\nx\n\n\nm:\n2\n3\ny\nx\n\n\nn:\n2\n5\ny\nx\n\n\nk:\n1\n5\n2\n\n\ny\nx\nA\nE\nC\nD\nB\n3\n4\nA\n40\nB\nC\nO\n20\n\nPoziom podstawowy\n9\nBRUDNOPIS (nie podlega ocenie)\n\nPoziom podstawowy\n10\nDane są równania czterech prostych: k: y = 1/2x+5, l: y = 2x+5, m: y = -2x+3, n: y = 2x-5. Prostopadłe są proste A. l i n, B. l i m, C. k i n, D. k i m.","answer":"D","answer_text":null,"solution":"## Poprawna odpowiedź: D\n\nProste \\(k\\) i \\(m\\) są prostopadłe.\n\n## Sposób 1 - Warunek prostopadłości przez współczynniki kierunkowe\n\n**Kluczowy fakt:** Dwie proste są prostopadłe wtedy i tylko wtedy, gdy iloczyn ich współczynników kierunkowych wynosi \\(-1\\):\n\\[a_1 \\cdot a_2 = -1\\]\n\nWypisujemy współczynniki kierunkowe czterech prostych:\n\n| Prosta | Równanie | Współczynnik kierunkowy |\n| \\(k\\) | \\(y = \\frac{1}{2}x + 5\\) | \\(a_k = \\frac{1}{2}\\) |\n| \\(l\\) | \\(y = 2x + 5\\) | \\(a_l = 2\\) |\n| \\(m\\) | \\(y = -2x + 3\\) | \\(a_m = -2\\) |\n| \\(n\\) | \\(y = 2x - 5\\) | \\(a_n = 2\\) |\n\nSprawdzamy każdą parę z odpowiedzi:\n\n**Odp. A** - \\(l\\) i \\(n\\):\n\\[a_l \\cdot a_n = 2 \\cdot 2 = 4 \\neq -1\\]\nNie są prostopadłe (są równoległe!).\n\n**Odp. B** - \\(l\\) i \\(m\\):\n\\[a_l \\cdot a_m = 2 \\cdot (-2) = -4 \\neq -1\\]\nNie są prostopadłe.\n\n**Odp. C** - \\(k\\) i \\(n\\):\n\\[a_k \\cdot a_n = \\frac{1}{2} \\cdot 2 = 1 \\neq -1\\]\nNie są prostopadłe (są równoległe w sensie tego warunku).\n\n**Odp. D** - \\(k\\) i \\(m\\):\n\\[a_k \\cdot a_m = \\frac{1}{2} \\cdot (-2) = -1 \\checkmark\\]\n\n**Proste \\(k\\) i \\(m\\) są prostopadłe.**\n\n## Sposób 2 - Interpretacja geometryczna współczynników\n\nZamiast sprawdzać wszystkie pary, wystarczy zauważyć jedno kluczowe spostrzeżenie.\n\n**Co wiemy z geometrii:** Jeśli prosta ma nachylenie \\(a\\), to prosta do niej prostopadła ma nachylenie \\(-\\frac{1}{a}\\) (odwrotność ze zmianą znaku).\n\nSzukamy pary, gdzie jeden współczynnik jest odwrotnością drugiego ze zmianą znaku:\n\n\\[a_k = \\frac{1}{2} \\implies \\text{prosta prostopadła ma } a = -\\frac{1}{\\frac{1}{2}} = -2 = a_m \\checkmark\\]\n\nOd razu widzimy, że prosta \\(m\\) (ze współczynnikiem \\(-2\\)) jest prostopadła do prostej \\(k\\) (ze współczynnikiem \\(\\frac{1}{2}\\)).\n\n**Weryfikacja:** nachylenia \\(k\\) i \\(m\\) to odpowiednio \\(\\frac{1}{2}\\) i \\(-2\\) - są to liczby przeciwne i odwrotne (jeden jest odwrotnością drugiego ze zmianą znaku), co jest klasyczną cechą prostych prostopadłych.\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 11 (Geometria analityczna, s. 22-25)** - warunek prostopadłości prostych:\n\\[a_1 \\cdot a_2 = -1\\]\nUżyliśmy tego warunku w Sposobie 1, sprawdzając iloczyn współczynników kierunkowych każdej pary prostych.\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Para | Błąd |\n| A | \\(l\\) i \\(n\\) | Obie mają współczynnik \\(2\\) - są **równoległe**, nie prostopadłe. Mylenie równoległości z prostopadłością. |\n| B | \\(l\\) i \\(m\\) | \\(2 \\cdot (-2) = -4\\), nie \\(-1\\). Błąd: wystarczy że jeden współczynnik jest ujemny - uczeń myśli „minus, to prostopadłe\". |\n| C | \\(k\\) i \\(n\\) | \\(\\frac{1}{2} \\cdot 2 = 1\\), nie \\(-1\\). Wynik to \\(+1\\), a nie \\(-1\\) - brakuje minusa. Typowa pomyłka: „iloczyn wynosi 1, więc chyba prostopadłe\". |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Warunek prostopadłości to \\(a_1 \\cdot a_2 = -1\\), a **nie** \\(a_1 \\cdot a_2 = 1\\). Wynik musi być ujemny!\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Proste \\(l\\) i \\(n\\) mają ten sam współczynnik kierunkowy \\(2\\) (różnią się tylko wyrazem wolnym) - są **równoległe**. Nie mylić równoległości z prostopadłością!\n\n> ⚠️ **Uwaga:** \\(2 \\cdot (-2) = -4 \\neq -1\\) - to częsty błąd. Sam ujemny iloczyn nie wystarczy - musi wynosić dokładnie \\(-1\\). Sprawdzaj zawsze obliczeniem, nie „na oko\".\n\n**Poprawna odpowiedź: D**\n\n### Sposób 1 - Warunek prostopadłości\nDwie proste o równaniach \\(y = a_1 x + b_1\\) i \\(y = a_2 x + b_2\\) są prostopadłe, gdy \\(a_1 \\cdot a_2 = -1\\).\n\nWspółczynniki kierunkowe:\n- \\(k: a_k = \\tfrac{1}{2}\\)\n- \\(l: a_l = 2\\)\n- \\(m: a_m = -2\\)\n- \\(n: a_n = 2\\)\n\nSprawdzamy pary:\n- **A.** \\(a_l \\cdot a_n = 2 \\cdot 2 = 4\\) ✗ (to proste równoległe).\n- **B.** \\(a_l \\cdot a_m = 2 \\cdot (-2) = -4\\) ✗\n- **C.** \\(a_k \\cdot a_n = \\tfrac{1}{2} \\cdot 2 = 1\\) ✗\n- **D.** \\(a_k \\cdot a_m = \\tfrac{1}{2} \\cdot (-2) = -1\\) ✓ - **prostopadłe**.\n\n### Sposób 2 - Reguła odwrotności z minusem\nJeśli jedna prosta ma współczynnik \\(a\\), prosta prostopadła ma \\(-\\tfrac{1}{a}\\).\nDla \\(k: a = \\tfrac{1}{2}\\) \\(\\Rightarrow\\) prostopadła ma \\(-2\\) = \\(a_m\\). Zgadza się \\(k \\perp m\\).\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **A. \\(l\\) i \\(n\\):** te same współczynniki (\\(2\\)), więc równoległe.\n- **B. \\(l\\) i \\(m\\):** \\(2\\cdot(-2) = -4 \\ne -1\\).\n- **C. \\(k\\) i \\(n\\):** \\(\\tfrac{1}{2}\\cdot 2 = 1 \\ne -1\\).\n\n**Pamiętaj:** dla prostopadłości iloczyn \\(a_1 a_2 = -1\\) (czyli nie tylko przeciwne znaki - trzeba też odwrotności).","image":"img/matematyka-2014-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad-19.webp","solution_image":"img/matematyka-2014-sierpien-poprawkowa-podstawowa/sol-19.svg","topics":"analityczna","page_from":8,"source":"maturazai","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Inne · sierpień 2014 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Inne","text_html":"<p>Zadanie 19. (1 pkt)<br>Dane są równania czterech prostych:<br>Prostopadłe są proste<br>A. l i n<br>B. l i m<br>C. k i n<br>D. k i m<br>l:<br>2<br>5<br>y<br>x<br><br><br>m:<br>2<br>3<br>y<br>x<br><br><br>n:<br>2<br>5<br>y<br>x<br><br><br>k:<br>1<br>5<br>2<br><br><br>y<br>x<br>A<br>E<br>C<br>D<br>B<br>3<br>4<br>A<br>40<br>B<br>C<br>O<br>20</p>\n<p>Poziom podstawowy<br>9<br>BRUDNOPIS (nie podlega ocenie)</p>\n<p>Poziom podstawowy<br>10<br>Dane są równania czterech prostych: k: y = 1/2x+5, l: y = 2x+5, m: y = -2x+3, n: y = 2x-5. Prostopadłe są proste A. l i n, B. l i m, C. k i n, D. k i m.</p>","solutions":[{"source":"site","label":"matematykaszkolna.pl","kind":"image","image":"/img/matematyka-2014-sierpien-poprawkowa-podstawowa/sol-19.svg"},{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"<h4>Poprawna odpowiedź: D</h4>\n<p>Proste \\(k\\) i \\(m\\) są prostopadłe.</p>\n<h4>Sposób 1 - Warunek prostopadłości przez współczynniki kierunkowe</h4>\n<p><strong>Kluczowy fakt:</strong> Dwie proste są prostopadłe wtedy i tylko wtedy, gdy iloczyn ich współczynników kierunkowych wynosi \\(-1\\):<br>\\[a_1 \\cdot a_2 = -1\\]</p>\n<p>Wypisujemy współczynniki kierunkowe czterech prostych:</p>\n<p>| Prosta | Równanie | Współczynnik kierunkowy |<br>| \\(k\\) | \\(y = \\frac{1}{2}x + 5\\) | \\(a_k = \\frac{1}{2}\\) |<br>| \\(l\\) | \\(y = 2x + 5\\) | \\(a_l = 2\\) |<br>| \\(m\\) | \\(y = -2x + 3\\) | \\(a_m = -2\\) |<br>| \\(n\\) | \\(y = 2x - 5\\) | \\(a_n = 2\\) |</p>\n<p>Sprawdzamy każdą parę z odpowiedzi:</p>\n<p><strong>Odp. A</strong> - \\(l\\) i \\(n\\):<br>\\[a_l \\cdot a_n = 2 \\cdot 2 = 4 \\neq -1\\]<br>Nie są prostopadłe (są równoległe!).</p>\n<p><strong>Odp. B</strong> - \\(l\\) i \\(m\\):<br>\\[a_l \\cdot a_m = 2 \\cdot (-2) = -4 \\neq -1\\]<br>Nie są prostopadłe.</p>\n<p><strong>Odp. C</strong> - \\(k\\) i \\(n\\):<br>\\[a_k \\cdot a_n = \\frac{1}{2} \\cdot 2 = 1 \\neq -1\\]<br>Nie są prostopadłe (są równoległe w sensie tego warunku).</p>\n<p><strong>Odp. D</strong> - \\(k\\) i \\(m\\):<br>\\[a_k \\cdot a_m = \\frac{1}{2} \\cdot (-2) = -1 \\checkmark\\]</p>\n<p><strong>Proste \\(k\\) i \\(m\\) są prostopadłe.</strong></p>\n<h4>Sposób 2 - Interpretacja geometryczna współczynników</h4>\n<p>Zamiast sprawdzać wszystkie pary, wystarczy zauważyć jedno kluczowe spostrzeżenie.</p>\n<p><strong>Co wiemy z geometrii:</strong> Jeśli prosta ma nachylenie \\(a\\), to prosta do niej prostopadła ma nachylenie \\(-\\frac{1}{a}\\) (odwrotność ze zmianą znaku).</p>\n<p>Szukamy pary, gdzie jeden współczynnik jest odwrotnością drugiego ze zmianą znaku:</p>\n<p>\\[a_k = \\frac{1}{2} \\implies \\text{prosta prostopadła ma } a = -\\frac{1}{\\frac{1}{2}} = -2 = a_m \\checkmark\\]</p>\n<p>Od razu widzimy, że prosta \\(m\\) (ze współczynnikiem \\(-2\\)) jest prostopadła do prostej \\(k\\) (ze współczynnikiem \\(\\frac{1}{2}\\)).</p>\n<p><strong>Weryfikacja:</strong> nachylenia \\(k\\) i \\(m\\) to odpowiednio \\(\\frac{1}{2}\\) i \\(-2\\) - są to liczby przeciwne i odwrotne (jeden jest odwrotnością drugiego ze zmianą znaku), co jest klasyczną cechą prostych prostopadłych.</p>\n<h4>Wzory z karty CKE</h4>\n<p><strong>Dział 11 (Geometria analityczna, s. 22-25)</strong> - warunek prostopadłości prostych:<br>\\[a_1 \\cdot a_2 = -1\\]<br>Użyliśmy tego warunku w Sposobie 1, sprawdzając iloczyn współczynników kierunkowych każdej pary prostych.</p>\n<h4>Dlaczego inne odpowiedzi są błędne</h4>\n<p>| Odp. | Para | Błąd |<br>| A | \\(l\\) i \\(n\\) | Obie mają współczynnik \\(2\\) - są <strong>równoległe</strong>, nie prostopadłe. Mylenie równoległości z prostopadłością. |<br>| B | \\(l\\) i \\(m\\) | \\(2 \\cdot (-2) = -4\\), nie \\(-1\\). Błąd: wystarczy że jeden współczynnik jest ujemny - uczeń myśli „minus, to prostopadłe&quot;. |<br>| C | \\(k\\) i \\(n\\) | \\(\\frac{1}{2} \\cdot 2 = 1\\), nie \\(-1\\). Wynik to \\(+1\\), a nie \\(-1\\) - brakuje minusa. Typowa pomyłka: „iloczyn wynosi 1, więc chyba prostopadłe&quot;. |</p>\n<h4>Typowe pułapki i uwagi</h4>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Warunek prostopadłości to \\(a_1 \\cdot a_2 = -1\\), a <strong>nie</strong> \\(a_1 \\cdot a_2 = 1\\). Wynik musi być ujemny!</blockquote>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Proste \\(l\\) i \\(n\\) mają ten sam współczynnik kierunkowy \\(2\\) (różnią się tylko wyrazem wolnym) - są <strong>równoległe</strong>. Nie mylić równoległości z prostopadłością!</blockquote>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> \\(2 \\cdot (-2) = -4 \\neq -1\\) - to częsty błąd. Sam ujemny iloczyn nie wystarczy - musi wynosić dokładnie \\(-1\\). Sprawdzaj zawsze obliczeniem, nie „na oko&quot;.</blockquote>\n<p><strong>Poprawna odpowiedź: D</strong></p>\n<h5>Sposób 1 - Warunek prostopadłości</h5>\n<p>Dwie proste o równaniach \\(y = a_1 x + b_1\\) i \\(y = a_2 x + b_2\\) są prostopadłe, gdy \\(a_1 \\cdot a_2 = -1\\).</p>\n<p>Współczynniki kierunkowe:</p>\n<ul><li>\\(k: a_k = \\tfrac{1}{2}\\)</li><li>\\(l: a_l = 2\\)</li><li>\\(m: a_m = -2\\)</li><li>\\(n: a_n = 2\\)</li></ul>\n<p>Sprawdzamy pary:</p>\n<ul><li><strong>A.</strong> \\(a_l \\cdot a_n = 2 \\cdot 2 = 4\\) ✗ (to proste równoległe).</li><li><strong>B.</strong> \\(a_l \\cdot a_m = 2 \\cdot (-2) = -4\\) ✗</li><li><strong>C.</strong> \\(a_k \\cdot a_n = \\tfrac{1}{2} \\cdot 2 = 1\\) ✗</li><li><strong>D.</strong> \\(a_k \\cdot a_m = \\tfrac{1}{2} \\cdot (-2) = -1\\) ✓ - <strong>prostopadłe</strong>.</li></ul>\n<h5>Sposób 2 - Reguła odwrotności z minusem</h5>\n<p>Jeśli jedna prosta ma współczynnik \\(a\\), prosta prostopadła ma \\(-\\tfrac{1}{a}\\).<br>Dla \\(k: a = \\tfrac{1}{2}\\) \\(\\Rightarrow\\) prostopadła ma \\(-2\\) = \\(a_m\\). Zgadza się \\(k \\perp m\\).</p>\n<h5>Dlaczego inne odpowiedzi są błędne</h5>\n<ul><li><strong>A. \\(l\\) i \\(n\\):</strong> te same współczynniki (\\(2\\)), więc równoległe.</li><li><strong>B. \\(l\\) i \\(m\\):</strong> \\(2\\cdot(-2) = -4 \\ne -1\\).</li><li><strong>C. \\(k\\) i \\(n\\):</strong> \\(\\tfrac{1}{2}\\cdot 2 = 1 \\ne -1\\).</li></ul>\n<p><strong>Pamiętaj:</strong> dla prostopadłości iloczyn \\(a_1 a_2 = -1\\) (czyli nie tylko przeciwne znaki - trzeba też odwrotności).</p>"}]}