{"id":"matematyka-2014-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad/20","paper_id":"matematyka-2014-sierpien-poprawkowa-podstawowa","number":"20","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"inne","year":2014,"month":"sierpien","level":"podstawowa","text":"Zadanie 20. (1 pkt)\nPunkt\n\n\n1, 0\n\nP\nleży na okręgu o promieniu 3. Równanie tego okręgu może mieć postać\nA. \n\n2\n2\n1\n9\n\n\n\nx\ny\nB.\n\n\n2\n2\n2\n3\n\n\n\nx\ny\nC. \n\n\n\n2\n2\n1\n3\n9\n\n\n\n\nx\ny\nD. \n\n2\n2\n1\n3\n\n\n\nx\ny\nPunkt P = (-1,0) leży na okręgu o promieniu 3. Równanie tego okręgu może mieć postać A. (x+1)^2 + y^2 = 9, B. x^2 + (y - pierwiastek z 2)^2 = 3, C. (x+1)^2 + (y+3)^2 = 9, D. (x+1)^2 + y^2 = 3.","answer":"C","answer_text":null,"solution":"## Poprawna odpowiedź: C\n\n\\[(x+1)^2 + (y+3)^2 = 9\\]\n\nPunkt \\(P = (-1, 0)\\) leży na tym okręgu, a jego promień wynosi \\(3\\).\n\n## Sposób 1 - Sprawdzenie warunków: promień i przynależność punktu\n\nRównanie okręgu o środku \\(S = (a, b)\\) i promieniu \\(r\\) ma postać:\n\\[(x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2\\]\n\nMamy dwa warunki do spełnienia jednocześnie:\n1. **Promień = 3**, więc \\(r^2 = 9\\)\n2. **Punkt \\(P = (-1, 0)\\) leży na okręgu**, czyli po podstawieniu \\(x = -1\\), \\(y = 0\\) równanie jest spełnione\n\nSprawdzamy każdą odpowiedź:\n\n**A.** \\((x+1)^2 + y^2 = 9\\)\nŚrodek: \\((-1, 0)\\), promień: \\(3\\) ✓\nPodstawiam \\(P = (-1, 0)\\):\n\\[(-1+1)^2 + 0^2 = 0 + 0 = 0 \\neq 9\\]\nPunkt \\(P\\) **nie leży** na okręgu - to środek! ✗\n\n**B.** \\(x^2 + (y - \\sqrt{2})^2 = 3\\)\n\\(r^2 = 3\\), więc \\(r = \\sqrt{3} \\neq 3\\) ✗\n\n**C.** \\((x+1)^2 + (y+3)^2 = 9\\)\nŚrodek: \\((-1, -3)\\), promień: \\(3\\) ✓\nPodstawiam \\(P = (-1, 0)\\):\n\\[(-1+1)^2 + (0+3)^2 = 0 + 9 = 9\\] ✓\n**Oba warunki spełnione!**\n\n**D.** \\((x+1)^2 + y^2 = 3\\)\n\\(r^2 = 3\\), więc \\(r = \\sqrt{3} \\neq 3\\) ✗\n\n## Sposób 2 - Geometryczna interpretacja (odległość punktu od środka = promień)\n\nPunkt leży na okręgu wtedy i tylko wtedy, gdy jego odległość od środka jest równa promieniowi.\n\nDla odpowiedzi **C**: środek \\(S = (-1, -3)\\), punkt \\(P = (-1, 0)\\):\n\\[|SP| = \\sqrt{(-1-(-1))^2 + (0-(-3))^2} = \\sqrt{0^2 + 3^2} = \\sqrt{9} = 3\\]\n\nOdległość punktu \\(P\\) od środka wynosi dokładnie \\(3\\) - równa promieniowi. ✓\n\nGeometrycznie: środek \\(S = (-1, -3)\\) leży bezpośrednio **pod** punktem \\(P = (-1, -3+3)\\), oddalony o \\(3\\) jednostki w pionie - to elegancki szczególny przypadek.\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 11 (Geometria analityczna, s. 22-25)** - równanie okręgu o środku \\(S = (a, b)\\) i promieniu \\(r\\):\n\\[(x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2\\]\nUżyliśmy tego wzoru w Sposobie 1 do identyfikacji środka i promienia z każdej odpowiedzi.\n\n**Dział 11 (s. 22)** - odległość między punktami:\n\\[|SP| = \\sqrt{(x_S - x_P)^2 + (y_S - y_P)^2}\\]\nUżyliśmy w Sposobie 2 do weryfikacji, że \\(P\\) leży na okręgu z odpowiedzi C.\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Błąd |\n| A | Środek okręgu to \\((-1, 0)\\) - czyli dokładnie punkt \\(P\\). Punkt na okręgu **nie może być jego środkiem** (odległość od środka do siebie = 0, nie 3). |\n| B | Nie czytamy dobrze równania: \\(r^2 = 3\\), więc \\(r = \\sqrt{3} \\approx 1{,}73\\), a nie \\(3\\). Mylenie \\(r\\) z \\(r^2\\). |\n| D | Tak samo jak B: \\(r^2 = 3\\), więc \\(r = \\sqrt{3}\\). Dodatkowo środek to \\((-1, 0)\\) - tak jak w A, punkt \\(P\\) byłby środkiem. |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** W równaniu \\((x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2\\) po prawej stronie stoi \\(r^2\\), nie \\(r\\). Promień = 3 oznacza \\(r^2 = 9\\), nie \\(r^2 = 3\\)! To najczęstszy błąd w tym typie zadań.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Jeśli punkt \\(P\\) pokrywa się ze środkiem okręgu, NIE leży na okręgu - leży wewnątrz. Sprawdzaj podstawiając do równania, a nie tylko \"patrząc\" na liczby w nawiasach.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Znak w równaniu okręgu jest odwrotny do współrzędnych środka: \\((x+1)^2\\) odpowiada środkowi o \\(x_S = -1\\), a \\((y+3)^2\\) odpowiada \\(y_S = -3\\).\n\n**Poprawna odpowiedź: C**\n\n### Sposób 1 - Dwa warunki\nRównanie okręgu o środku \\((a, b)\\) i promieniu \\(r\\): \\((x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2\\).\n\nPotrzebujemy: \\(r^2 = 9\\) (bo \\(r = 3\\)) **oraz** \\(P = (-1, 0)\\) leży na okręgu.\n\nSprawdzamy każdą odpowiedź:\n- **A.** \\((x+1)^2 + y^2 = 9\\): środek \\((-1,0)\\), \\(r = 3\\). Punkt \\(P = (-1,0)\\): \\((0)^2 + 0^2 = 0 \\ne 9\\). \\(P\\) leży **w środku**, nie na okręgu ✗\n- **B.** \\(x^2 + (y-\\sqrt{2})^2 = 3\\): \\(r = \\sqrt{3}\\), nie \\(3\\) ✗\n- **C.** \\((x+1)^2 + (y+3)^2 = 9\\): środek \\((-1,-3)\\), \\(r = 3\\). Sprawdzenie \\(P = (-1,0)\\): \\(0 + 9 = 9\\) ✓\n- **D.** \\((x+1)^2 + y^2 = 3\\): \\(r = \\sqrt{3}\\), nie \\(3\\) ✗\n\n### Sposób 2 - Obliczenie odległości\nDla \\(P = (-1, 0)\\) i środka \\(S = (-1, -3)\\) (odp. C):\n\\(|PS| = \\sqrt{(-1-(-1))^2 + (0-(-3))^2} = \\sqrt{0+9} = 3\\) ✓.\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **A.** Punkt \\(P\\) = środek, nie leży na okręgu.\n- **B, D.** Promień \\(\\sqrt{3}\\), nie \\(3\\).\n\n**Pamiętaj:** po prawej stronie równania \\(x^2+y^2=r^2\\) stoi \\(r^2\\), nie \\(r\\). Aby \\(r = 3\\), musi być \\(9\\).","image":"img/matematyka-2014-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad-20.webp","solution_image":"img/matematyka-2014-sierpien-poprawkowa-podstawowa/sol-20.svg","topics":"analityczna","page_from":10,"source":"maturazai","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Inne · sierpień 2014 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Inne","text_html":"<p>Zadanie 20. (1 pkt)<br>Punkt<br><br><br>1, 0<br><br>P<br>leży na okręgu o promieniu 3. Równanie tego okręgu może mieć postać<br>A. <br><br>2<br>2<br>1<br>9<br><br><br><br>x<br>y<br>B.<br><br><br>2<br>2<br>2<br>3<br><br><br><br>x<br>y<br>C. <br><br><br><br>2<br>2<br>1<br>3<br>9<br><br><br><br><br>x<br>y<br>D. <br><br>2<br>2<br>1<br>3<br><br><br><br>x<br>y<br>Punkt P = (-1,0) leży na okręgu o promieniu 3. Równanie tego okręgu może mieć postać A. (x+1)^2 + y^2 = 9, B. x^2 + (y - pierwiastek z 2)^2 = 3, C. (x+1)^2 + (y+3)^2 = 9, D. (x+1)^2 + y^2 = 3.</p>","solutions":[{"source":"site","label":"matematykaszkolna.pl","kind":"image","image":"/img/matematyka-2014-sierpien-poprawkowa-podstawowa/sol-20.svg"},{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"<h4>Poprawna odpowiedź: C</h4>\n<p>\\[(x+1)^2 + (y+3)^2 = 9\\]</p>\n<p>Punkt \\(P = (-1, 0)\\) leży na tym okręgu, a jego promień wynosi \\(3\\).</p>\n<h4>Sposób 1 - Sprawdzenie warunków: promień i przynależność punktu</h4>\n<p>Równanie okręgu o środku \\(S = (a, b)\\) i promieniu \\(r\\) ma postać:<br>\\[(x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2\\]</p>\n<p>Mamy dwa warunki do spełnienia jednocześnie:</p>\n<ol><li><strong>Promień = 3</strong>, więc \\(r^2 = 9\\)</li><li><strong>Punkt \\(P = (-1, 0)\\) leży na okręgu</strong>, czyli po podstawieniu \\(x = -1\\), \\(y = 0\\) równanie jest spełnione</li></ol>\n<p>Sprawdzamy każdą odpowiedź:</p>\n<p><strong>A.</strong> \\((x+1)^2 + y^2 = 9\\)<br>Środek: \\((-1, 0)\\), promień: \\(3\\) ✓<br>Podstawiam \\(P = (-1, 0)\\):<br>\\[(-1+1)^2 + 0^2 = 0 + 0 = 0 \\neq 9\\]<br>Punkt \\(P\\) <strong>nie leży</strong> na okręgu - to środek! ✗</p>\n<p><strong>B.</strong> \\(x^2 + (y - \\sqrt{2})^2 = 3\\)<br>\\(r^2 = 3\\), więc \\(r = \\sqrt{3} \\neq 3\\) ✗</p>\n<p><strong>C.</strong> \\((x+1)^2 + (y+3)^2 = 9\\)<br>Środek: \\((-1, -3)\\), promień: \\(3\\) ✓<br>Podstawiam \\(P = (-1, 0)\\):<br>\\[(-1+1)^2 + (0+3)^2 = 0 + 9 = 9\\] ✓<br><strong>Oba warunki spełnione!</strong></p>\n<p><strong>D.</strong> \\((x+1)^2 + y^2 = 3\\)<br>\\(r^2 = 3\\), więc \\(r = \\sqrt{3} \\neq 3\\) ✗</p>\n<h4>Sposób 2 - Geometryczna interpretacja (odległość punktu od środka = promień)</h4>\n<p>Punkt leży na okręgu wtedy i tylko wtedy, gdy jego odległość od środka jest równa promieniowi.</p>\n<p>Dla odpowiedzi <strong>C</strong>: środek \\(S = (-1, -3)\\), punkt \\(P = (-1, 0)\\):<br>\\[|SP| = \\sqrt{(-1-(-1))^2 + (0-(-3))^2} = \\sqrt{0^2 + 3^2} = \\sqrt{9} = 3\\]</p>\n<p>Odległość punktu \\(P\\) od środka wynosi dokładnie \\(3\\) - równa promieniowi. ✓</p>\n<p>Geometrycznie: środek \\(S = (-1, -3)\\) leży bezpośrednio <strong>pod</strong> punktem \\(P = (-1, -3+3)\\), oddalony o \\(3\\) jednostki w pionie - to elegancki szczególny przypadek.</p>\n<h4>Wzory z karty CKE</h4>\n<p><strong>Dział 11 (Geometria analityczna, s. 22-25)</strong> - równanie okręgu o środku \\(S = (a, b)\\) i promieniu \\(r\\):<br>\\[(x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2\\]<br>Użyliśmy tego wzoru w Sposobie 1 do identyfikacji środka i promienia z każdej odpowiedzi.</p>\n<p><strong>Dział 11 (s. 22)</strong> - odległość między punktami:<br>\\[|SP| = \\sqrt{(x_S - x_P)^2 + (y_S - y_P)^2}\\]<br>Użyliśmy w Sposobie 2 do weryfikacji, że \\(P\\) leży na okręgu z odpowiedzi C.</p>\n<h4>Dlaczego inne odpowiedzi są błędne</h4>\n<p>| Odp. | Błąd |<br>| A | Środek okręgu to \\((-1, 0)\\) - czyli dokładnie punkt \\(P\\). Punkt na okręgu <strong>nie może być jego środkiem</strong> (odległość od środka do siebie = 0, nie 3). |<br>| B | Nie czytamy dobrze równania: \\(r^2 = 3\\), więc \\(r = \\sqrt{3} \\approx 1{,}73\\), a nie \\(3\\). Mylenie \\(r\\) z \\(r^2\\). |<br>| D | Tak samo jak B: \\(r^2 = 3\\), więc \\(r = \\sqrt{3}\\). Dodatkowo środek to \\((-1, 0)\\) - tak jak w A, punkt \\(P\\) byłby środkiem. |</p>\n<h4>Typowe pułapki i uwagi</h4>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> W równaniu \\((x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2\\) po prawej stronie stoi \\(r^2\\), nie \\(r\\). Promień = 3 oznacza \\(r^2 = 9\\), nie \\(r^2 = 3\\)! To najczęstszy błąd w tym typie zadań.</blockquote>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Jeśli punkt \\(P\\) pokrywa się ze środkiem okręgu, NIE leży na okręgu - leży wewnątrz. Sprawdzaj podstawiając do równania, a nie tylko &quot;patrząc&quot; na liczby w nawiasach.</blockquote>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Znak w równaniu okręgu jest odwrotny do współrzędnych środka: \\((x+1)^2\\) odpowiada środkowi o \\(x_S = -1\\), a \\((y+3)^2\\) odpowiada \\(y_S = -3\\).</blockquote>\n<p><strong>Poprawna odpowiedź: C</strong></p>\n<h5>Sposób 1 - Dwa warunki</h5>\n<p>Równanie okręgu o środku \\((a, b)\\) i promieniu \\(r\\): \\((x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2\\).</p>\n<p>Potrzebujemy: \\(r^2 = 9\\) (bo \\(r = 3\\)) <strong>oraz</strong> \\(P = (-1, 0)\\) leży na okręgu.</p>\n<p>Sprawdzamy każdą odpowiedź:</p>\n<ul><li><strong>A.</strong> \\((x+1)^2 + y^2 = 9\\): środek \\((-1,0)\\), \\(r = 3\\). Punkt \\(P = (-1,0)\\): \\((0)^2 + 0^2 = 0 \\ne 9\\). \\(P\\) leży <strong>w środku</strong>, nie na okręgu ✗</li><li><strong>B.</strong> \\(x^2 + (y-\\sqrt{2})^2 = 3\\): \\(r = \\sqrt{3}\\), nie \\(3\\) ✗</li><li><strong>C.</strong> \\((x+1)^2 + (y+3)^2 = 9\\): środek \\((-1,-3)\\), \\(r = 3\\). Sprawdzenie \\(P = (-1,0)\\): \\(0 + 9 = 9\\) ✓</li><li><strong>D.</strong> \\((x+1)^2 + y^2 = 3\\): \\(r = \\sqrt{3}\\), nie \\(3\\) ✗</li></ul>\n<h5>Sposób 2 - Obliczenie odległości</h5>\n<p>Dla \\(P = (-1, 0)\\) i środka \\(S = (-1, -3)\\) (odp. C):<br>\\(|PS| = \\sqrt{(-1-(-1))^2 + (0-(-3))^2} = \\sqrt{0+9} = 3\\) ✓.</p>\n<h5>Dlaczego inne odpowiedzi są błędne</h5>\n<ul><li><strong>A.</strong> Punkt \\(P\\) = środek, nie leży na okręgu.</li><li><strong>B, D.</strong> Promień \\(\\sqrt{3}\\), nie \\(3\\).</li></ul>\n<p><strong>Pamiętaj:</strong> po prawej stronie równania \\(x^2+y^2=r^2\\) stoi \\(r^2\\), nie \\(r\\). Aby \\(r = 3\\), musi być \\(9\\).</p>"}]}