{"id":"matematyka-2014-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad/21","paper_id":"matematyka-2014-sierpien-poprawkowa-podstawowa","number":"21","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"inne","year":2014,"month":"sierpien","level":"podstawowa","text":"Zadanie 21. (1 pkt)\nPunkty\n\n\n13, 12\nA \n\ni\n\n\n15,8\nC \nsą przeciwległymi wierzchołkami kwadratu ABCD.\nPrzekątne tego kwadratu przecinają się w punkcie\nA.\n\n\n2, 20\nS \n\nB.\n\n\n14,10\n\nS\nC.\n\n\n14, 2\nS \n\nD.\n\n\n28, 4\nS \n\nPunkty A=(13,-12) i C=(15,8) są przeciwległymi wierzchołkami kwadratu ABCD. Przekątne tego kwadratu przecinają się w punkcie A. S=(2,-20), B. S=(14,10), C. S=(14,-2), D. S=(28,-4).","answer":"C","answer_text":null,"solution":"## Poprawna odpowiedź: C - \\(S = (14, -2)\\)\n\n## Sposób 1 - Środek odcinka AC\n\nPrzekątne kwadratu przecinają się **w swoich środkach** (kwadrat to szczególny przypadek prostokąta). Skoro \\(A\\) i \\(C\\) są **przeciwległymi wierzchołkami**, to odcinek \\(AC\\) jest przekątną kwadratu. Punkt przecięcia przekątnych to środek \\(AC\\).\n\nKorzystamy ze wzoru na środek odcinka:\n\n\\[S = \\left(\\frac{x_A + x_C}{2},\\; \\frac{y_A + y_C}{2}\\right)\\]\n\nPodstawiamy \\(A = (13, -12)\\) i \\(C = (15, 8)\\):\n\n\\[x_S = \\frac{13 + 15}{2} = \\frac{28}{2} = 14\\]\n\n\\[y_S = \\frac{-12 + 8}{2} = \\frac{-4}{2} = -2\\]\n\n**Punkt przecięcia przekątnych: \\(S = (14, -2)\\).**\n\n## Sposób 2 - Weryfikacja przez symetrię (sprawdzenie, że \\(A\\) i \\(C\\) leżą symetrycznie względem \\(S\\))\n\nJeśli \\(S = (14, -2)\\) jest rzeczywiście środkiem \\(AC\\), to punkt \\(A = (13, -12)\\) i punkt \\(C = (15, 8)\\) powinny być symetrycznie po obu stronach \\(S\\).\n\nSprawdzamy wektor \\(\\overrightarrow{SA}\\):\n\n\\[\\overrightarrow{SA} = [13 - 14,\\; -12 - (-2)] = [-1,\\; -10]\\]\n\nSprawdzamy wektor \\(\\overrightarrow{SC}\\):\n\n\\[\\overrightarrow{SC} = [15 - 14,\\; 8 - (-2)] = [1,\\; 10]\\]\n\nMamy \\(\\overrightarrow{SC} = -\\overrightarrow{SA}\\) - wektory mają **tę samą długość i przeciwne zwroty**, co potwierdza, że \\(S\\) jest środkiem odcinka \\(AC\\). ✓\n\n**Wynik potwierdzony: \\(S = (14, -2)\\).**\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 11 (Geometria analityczna, s. 22-25)** - wzór na środek odcinka:\n\\[x_S = \\frac{x_A + x_B}{2}, \\quad y_S = \\frac{y_A + y_B}{2}\\]\nUżyliśmy tego wzoru bezpośrednio, traktując \\(A\\) i \\(C\\) jako końce przekątnej.\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Błąd prowadzący do tej odpowiedzi |\n| A | \\(S = (2, -20)\\) - odjęto współrzędne zamiast dodać: \\(13 - 15 = -2\\), \\(-12 - 8 = -20\\), a do tego zapomniano podzielić przez 2 |\n| B | \\(S = (14, 10)\\) - współrzędna \\(x\\) poprawna, ale \\(y\\): wzięto \\(\\frac{-12 + 8}{2}\\) ze złym znakiem, licząc \\(\\frac{12 + 8}{2} = 10\\) (zgubiono minus przy \\(-12\\)) |\n| D | \\(S = (28, -4)\\) - poprawnie dodano współrzędne, ale **zapomniano podzielić przez 2**: \\(13 + 15 = 28\\), \\(-12 + 8 = -4\\) |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Najczęstszy błąd to zapomnienie podzielenia przez 2 - dostajemy wtedy \\((28, -4)\\) zamiast \\((14, -2)\\). Wzór to **średnia** współrzędnych, nie ich suma!\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Uważaj na znaki ujemne - \\(\\frac{-12 + 8}{2} = \\frac{-4}{2} = -2\\), nie \\(+2\\). Zgubienie minusa przy \\(-12\\) to klasyczna pomyłka arytmetyczna.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Fakt, że punkt przecięcia przekątnych kwadratu jest środkiem **każdej** z przekątnych, wynika z własności prostokąta. Nie trzeba wyznaczać wierzchołków \\(B\\) i \\(D\\) - wystarczy jeden odcinek \\(AC\\).\n\n**Poprawna odpowiedź: C**\n\n### Sposób 1 - Środek przekątnej\nW kwadracie przekątne dzielą się na pół i przecinają w środku kwadratu. Środek odcinka \\(AC\\) (przekątnej):\n\\[S = \\left(\\dfrac{x_A + x_C}{2}, \\dfrac{y_A + y_C}{2}\\right) = \\left(\\dfrac{13+15}{2}, \\dfrac{-12+8}{2}\\right) = (14, -2).\\]\n\n### Sposób 2 - Sprawdzenie\nOdległości \\(|SA|\\) i \\(|SC|\\):\n\\(|SA| = \\sqrt{(13-14)^2 + (-12-(-2))^2} = \\sqrt{1 + 100} = \\sqrt{101}\\).\n\\(|SC| = \\sqrt{(15-14)^2 + (8-(-2))^2} = \\sqrt{1 + 100} = \\sqrt{101}\\) ✓\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **A. \\((2, -20)\\):** ktoś odjął zamiast dodać.\n- **B. \\((14, 10)\\):** dobra współrzędna \\(x\\), ale zła \\(y\\) (dodawanie bezwzględnych wartości).\n- **D. \\((28, -4)\\):** to \\(A + C\\) bez dzielenia przez \\(2\\).\n\n**Pamiętaj:** środek odcinka to **średnia arytmetyczna** współrzędnych końców (osobno dla \\(x\\) i \\(y\\)).","image":"img/matematyka-2014-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad-21.webp","solution_image":"img/matematyka-2014-sierpien-poprawkowa-podstawowa/sol-21.svg","topics":"analityczna","page_from":10,"source":"maturazai","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Inne · sierpień 2014 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Inne","text_html":"<p>Zadanie 21. (1 pkt)<br>Punkty<br><br><br>13, 12<br>A <br><br>i<br><br><br>15,8<br>C <br>są przeciwległymi wierzchołkami kwadratu ABCD.<br>Przekątne tego kwadratu przecinają się w punkcie<br>A.<br><br><br>2, 20<br>S <br><br>B.<br><br><br>14,10<br><br>S<br>C.<br><br><br>14, 2<br>S <br><br>D.<br><br><br>28, 4<br>S <br><br>Punkty A=(13,-12) i C=(15,8) są przeciwległymi wierzchołkami kwadratu ABCD. Przekątne tego kwadratu przecinają się w punkcie A. S=(2,-20), B. S=(14,10), C. S=(14,-2), D. S=(28,-4).</p>","solutions":[{"source":"site","label":"matematykaszkolna.pl","kind":"image","image":"/img/matematyka-2014-sierpien-poprawkowa-podstawowa/sol-21.svg"},{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"<h4>Poprawna odpowiedź: C - \\(S = (14, -2)\\)</h4>\n<h4>Sposób 1 - Środek odcinka AC</h4>\n<p>Przekątne kwadratu przecinają się <strong>w swoich środkach</strong> (kwadrat to szczególny przypadek prostokąta). Skoro \\(A\\) i \\(C\\) są <strong>przeciwległymi wierzchołkami</strong>, to odcinek \\(AC\\) jest przekątną kwadratu. Punkt przecięcia przekątnych to środek \\(AC\\).</p>\n<p>Korzystamy ze wzoru na środek odcinka:</p>\n<p>\\[S = \\left(\\frac{x_A + x_C}{2},\\; \\frac{y_A + y_C}{2}\\right)\\]</p>\n<p>Podstawiamy \\(A = (13, -12)\\) i \\(C = (15, 8)\\):</p>\n<p>\\[x_S = \\frac{13 + 15}{2} = \\frac{28}{2} = 14\\]</p>\n<p>\\[y_S = \\frac{-12 + 8}{2} = \\frac{-4}{2} = -2\\]</p>\n<p><strong>Punkt przecięcia przekątnych: \\(S = (14, -2)\\).</strong></p>\n<h4>Sposób 2 - Weryfikacja przez symetrię (sprawdzenie, że \\(A\\) i \\(C\\) leżą symetrycznie względem \\(S\\))</h4>\n<p>Jeśli \\(S = (14, -2)\\) jest rzeczywiście środkiem \\(AC\\), to punkt \\(A = (13, -12)\\) i punkt \\(C = (15, 8)\\) powinny być symetrycznie po obu stronach \\(S\\).</p>\n<p>Sprawdzamy wektor \\(\\overrightarrow{SA}\\):</p>\n<p>\\[\\overrightarrow{SA} = [13 - 14,\\; -12 - (-2)] = [-1,\\; -10]\\]</p>\n<p>Sprawdzamy wektor \\(\\overrightarrow{SC}\\):</p>\n<p>\\[\\overrightarrow{SC} = [15 - 14,\\; 8 - (-2)] = [1,\\; 10]\\]</p>\n<p>Mamy \\(\\overrightarrow{SC} = -\\overrightarrow{SA}\\) - wektory mają <strong>tę samą długość i przeciwne zwroty</strong>, co potwierdza, że \\(S\\) jest środkiem odcinka \\(AC\\). ✓</p>\n<p><strong>Wynik potwierdzony: \\(S = (14, -2)\\).</strong></p>\n<h4>Wzory z karty CKE</h4>\n<p><strong>Dział 11 (Geometria analityczna, s. 22-25)</strong> - wzór na środek odcinka:<br>\\[x_S = \\frac{x_A + x_B}{2}, \\quad y_S = \\frac{y_A + y_B}{2}\\]<br>Użyliśmy tego wzoru bezpośrednio, traktując \\(A\\) i \\(C\\) jako końce przekątnej.</p>\n<h4>Dlaczego inne odpowiedzi są błędne</h4>\n<p>| Odp. | Błąd prowadzący do tej odpowiedzi |<br>| A | \\(S = (2, -20)\\) - odjęto współrzędne zamiast dodać: \\(13 - 15 = -2\\), \\(-12 - 8 = -20\\), a do tego zapomniano podzielić przez 2 |<br>| B | \\(S = (14, 10)\\) - współrzędna \\(x\\) poprawna, ale \\(y\\): wzięto \\(\\frac{-12 + 8}{2}\\) ze złym znakiem, licząc \\(\\frac{12 + 8}{2} = 10\\) (zgubiono minus przy \\(-12\\)) |<br>| D | \\(S = (28, -4)\\) - poprawnie dodano współrzędne, ale <strong>zapomniano podzielić przez 2</strong>: \\(13 + 15 = 28\\), \\(-12 + 8 = -4\\) |</p>\n<h4>Typowe pułapki i uwagi</h4>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Najczęstszy błąd to zapomnienie podzielenia przez 2 - dostajemy wtedy \\((28, -4)\\) zamiast \\((14, -2)\\). Wzór to <strong>średnia</strong> współrzędnych, nie ich suma!</blockquote>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Uważaj na znaki ujemne - \\(\\frac{-12 + 8}{2} = \\frac{-4}{2} = -2\\), nie \\(+2\\). Zgubienie minusa przy \\(-12\\) to klasyczna pomyłka arytmetyczna.</blockquote>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Fakt, że punkt przecięcia przekątnych kwadratu jest środkiem <strong>każdej</strong> z przekątnych, wynika z własności prostokąta. Nie trzeba wyznaczać wierzchołków \\(B\\) i \\(D\\) - wystarczy jeden odcinek \\(AC\\).</blockquote>\n<p><strong>Poprawna odpowiedź: C</strong></p>\n<h5>Sposób 1 - Środek przekątnej</h5>\n<p>W kwadracie przekątne dzielą się na pół i przecinają w środku kwadratu. Środek odcinka \\(AC\\) (przekątnej):<br>\\[S = \\left(\\dfrac{x_A + x_C}{2}, \\dfrac{y_A + y_C}{2}\\right) = \\left(\\dfrac{13+15}{2}, \\dfrac{-12+8}{2}\\right) = (14, -2).\\]</p>\n<h5>Sposób 2 - Sprawdzenie</h5>\n<p>Odległości \\(|SA|\\) i \\(|SC|\\):<br>\\(|SA| = \\sqrt{(13-14)^2 + (-12-(-2))^2} = \\sqrt{1 + 100} = \\sqrt{101}\\).<br>\\(|SC| = \\sqrt{(15-14)^2 + (8-(-2))^2} = \\sqrt{1 + 100} = \\sqrt{101}\\) ✓</p>\n<h5>Dlaczego inne odpowiedzi są błędne</h5>\n<ul><li><strong>A. \\((2, -20)\\):</strong> ktoś odjął zamiast dodać.</li><li><strong>B. \\((14, 10)\\):</strong> dobra współrzędna \\(x\\), ale zła \\(y\\) (dodawanie bezwzględnych wartości).</li><li><strong>D. \\((28, -4)\\):</strong> to \\(A + C\\) bez dzielenia przez \\(2\\).</li></ul>\n<p><strong>Pamiętaj:</strong> środek odcinka to <strong>średnia arytmetyczna</strong> współrzędnych końców (osobno dla \\(x\\) i \\(y\\)).</p>"}]}