{"id":"matematyka-2014-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad/22","paper_id":"matematyka-2014-sierpien-poprawkowa-podstawowa","number":"22","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"inne","year":2014,"month":"sierpien","level":"podstawowa","text":"Zadanie 22. (1 pkt)\nPole powierzchni całkowitej walca, którego przekrojem osiowym jest kwadrat o boku\ndługości 4, jest równe\nA. 256\nB. 128\nC. 48\nD. 24\nPole powierzchni całkowitej walca, którego przekrojem osiowym jest kwadrat o boku długości 4, jest równe A. 256pi, B. 128pi, C. 48pi, D. 24pi","answer":"D","answer_text":"\na\n,\nOE \n, SO\n\nH","solution":"## Poprawna odpowiedź: D - \\(24\\pi\\)\n\n## Sposób 1 - Ze wzoru na pole powierzchni całkowitej walca\n\n**Odczytujemy wymiary walca z informacji o przekroju osiowym.**\n\nPrzekrój osiowy walca to prostokąt, którego:\n- szerokość = **średnica podstawy** = \\(2r\\)\n- wysokość = **wysokość walca** = \\(h\\)\n\nSkoro przekrój osiowy jest **kwadratem o boku 4**, to:\n\\[2r = 4 \\implies r = 2, \\quad h = 4\\]\n\nStosujemy wzór na pole powierzchni całkowitej walca:\n\\[P_c = 2\\pi r(r + h)\\]\n\nPodstawiamy \\(r = 2\\), \\(h = 4\\):\n\\[P_c = 2\\pi \\cdot 2 \\cdot (2 + 4) = 2\\pi \\cdot 2 \\cdot 6 = \\mathbf{24\\pi}\\]\n\n## Sposób 2 - Rozkład na składowe (pole podstaw + pole boczne)\n\nLiczymy każdą część osobno, żeby zobaczyć skąd bierze się wynik:\n\n**Dwie podstawy** (dwa koła o promieniu \\(r = 2\\)):\n\\[P_{\\text{podstawy}} = 2 \\cdot \\pi r^2 = 2 \\cdot \\pi \\cdot 4 = 8\\pi\\]\n\n**Pole boczne** (rozwinięcie to prostokąt: obwód podstawy × wysokość):\n\\[P_b = 2\\pi r \\cdot h = 2\\pi \\cdot 2 \\cdot 4 = 16\\pi\\]\n\n**Suma:**\n\\[P_c = P_{\\text{podstawy}} + P_b = 8\\pi + 16\\pi = \\mathbf{24\\pi}\\]\n\nWynik zgodny - odpowiedź **D**.\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 12 (Stereometria, s. 26-28)** - pole powierzchni całkowitej walca:\n\\[P_c = 2\\pi r(r + h)\\]\nlub równoważnie: \\(P_b = 2\\pi rh\\), \\(P_c = P_b + 2\\pi r^2\\)\n\nUżyliśmy tego wzoru bezpośrednio - wystarczyło poprawnie odczytać \\(r\\) i \\(h\\) z opisu przekroju osiowego.\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Typowy błąd |\n| A \\((256\\pi)\\) | Użyto \\(r = 4\\) zamiast \\(r = 2\\) - wzięto **bok kwadratu jako promień**, a nie jako średnicę. Potem \\(2\\pi \\cdot 4(4+4) = 64\\pi\\) lub np. policzono \\(\\pi \\cdot 4^4\\) bez sensu fizycznego. |\n| B \\((128\\pi)\\) | Wzięto \\(r = 4\\) (bok = promień): \\(2\\pi \\cdot 4 \\cdot (4 + 4) = 64\\pi \\cdot 2 = \\) - różne błędy przy \\(r = 4\\), np. \\(2\\pi \\cdot 4 \\cdot (4 + 4) = 64\\pi\\), albo pominięto czynnik i wynik wyszedł 128π. |\n| C \\((48\\pi)\\) | Policzono poprawnie \\(P_b = 16\\pi\\), ale do podstaw wzięto \\(\\pi r^2\\) zamiast \\(2\\pi r^2\\), czyli zapomniano, że walec ma **dwie** podstawy, nie jedną. \\(16\\pi + 2 \\cdot \\pi \\cdot 4 = 16\\pi + 8\\pi = 24\\pi\\) - zatem C sugeruje błąd \\(r = 4\\) w podstawach: \\(2\\pi \\cdot 4^2 = 32\\pi\\), \\(32\\pi + 16\\pi = 48\\pi\\). |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Przekrój osiowy to prostokąt o szerokości równej **średnicy** (nie promieniowi!). Jeśli kwadrat ma bok 4, to \\(r = 2\\), nie \\(r = 4\\). To najczęstszy błąd w tym zadaniu.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Walec ma **dwie** podstawy kołowe - pamiętaj o czynni ku \\(2\\pi r^2\\) w polu całkowitym. Pominięcie jednej podstawy to typowy błąd przy rozkładaniu wzoru na części.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Wzór \\(P_c = 2\\pi r(r+h)\\) jest na karcie CKE - nie trzeba go pamiętać, wystarczy umieć go zastosować z właściwymi wartościami \\(r\\) i \\(h\\).\n\n**Poprawna odpowiedź: D**\n\n### Sposób 1 - Wymiary z przekroju osiowego\nPrzekrój osiowy walca to prostokąt o wymiarach: średnica podstawy \\(\\times\\) wysokość. Skoro to kwadrat o boku \\(4\\):\n- średnica: \\(2r = 4 \\Rightarrow r = 2\\),\n- wysokość: \\(H = 4\\).\n\n### Pole powierzchni całkowitej walca\n\\[P_c = 2\\pi r^2 + 2\\pi r H = 2\\pi r (r + H).\\]\nPodstawiamy \\(r = 2, H = 4\\):\n\\[P_c = 2\\pi \\cdot 2 \\cdot (2 + 4) = 4\\pi \\cdot 6 = 24\\pi.\\]\n\n### Sposób 2 - Składniki osobno\nPodstawa (dwie): \\(2\\pi r^2 = 2\\pi \\cdot 4 = 8\\pi\\).\nPowierzchnia boczna: \\(2\\pi r H = 2\\pi \\cdot 2 \\cdot 4 = 16\\pi\\).\nRazem: \\(8\\pi + 16\\pi = 24\\pi\\).\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **A. \\(256\\pi\\):** zupełnie za duża - \\(4^4\\pi\\)?\n- **B. \\(128\\pi\\):** dwukrotnie za duża.\n- **C. \\(48\\pi\\):** dwukrotnie za duża - ktoś użył średnicy (\\(4\\)) zamiast promienia (\\(2\\)).\n\n**Pamiętaj:** w przekroju osiowym walca pojawia się **średnica**, nie promień - musimy ją podzielić przez \\(2\\), aby uzyskać \\(r\\).","image":"img/matematyka-2014-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad-22.webp","solution_image":"img/matematyka-2014-sierpien-poprawkowa-podstawowa/sol-22.svg","topics":"stereometria","page_from":10,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Inne · sierpień 2014 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Inne","text_html":"<p>Zadanie 22. (1 pkt)<br>Pole powierzchni całkowitej walca, którego przekrojem osiowym jest kwadrat o boku<br>długości 4, jest równe<br>A. 256<br>B. 128<br>C. 48<br>D. 24<br>Pole powierzchni całkowitej walca, którego przekrojem osiowym jest kwadrat o boku długości 4, jest równe A. 256pi, B. 128pi, C. 48pi, D. 24pi</p>","answer_text_html":"<p><br>a<br>,<br>OE <br>, SO<br><br>H</p>","solutions":[{"source":"site","label":"matematykaszkolna.pl","kind":"image","image":"/img/matematyka-2014-sierpien-poprawkowa-podstawowa/sol-22.svg"},{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"<h4>Poprawna odpowiedź: D - \\(24\\pi\\)</h4>\n<h4>Sposób 1 - Ze wzoru na pole powierzchni całkowitej walca</h4>\n<p><strong>Odczytujemy wymiary walca z informacji o przekroju osiowym.</strong></p>\n<p>Przekrój osiowy walca to prostokąt, którego:</p>\n<ul><li>szerokość = <strong>średnica podstawy</strong> = \\(2r\\)</li><li>wysokość = <strong>wysokość walca</strong> = \\(h\\)</li></ul>\n<p>Skoro przekrój osiowy jest <strong>kwadratem o boku 4</strong>, to:<br>\\[2r = 4 \\implies r = 2, \\quad h = 4\\]</p>\n<p>Stosujemy wzór na pole powierzchni całkowitej walca:<br>\\[P_c = 2\\pi r(r + h)\\]</p>\n<p>Podstawiamy \\(r = 2\\), \\(h = 4\\):<br>\\[P_c = 2\\pi \\cdot 2 \\cdot (2 + 4) = 2\\pi \\cdot 2 \\cdot 6 = \\mathbf{24\\pi}\\]</p>\n<h4>Sposób 2 - Rozkład na składowe (pole podstaw + pole boczne)</h4>\n<p>Liczymy każdą część osobno, żeby zobaczyć skąd bierze się wynik:</p>\n<p><strong>Dwie podstawy</strong> (dwa koła o promieniu \\(r = 2\\)):<br>\\[P_{\\text{podstawy}} = 2 \\cdot \\pi r^2 = 2 \\cdot \\pi \\cdot 4 = 8\\pi\\]</p>\n<p><strong>Pole boczne</strong> (rozwinięcie to prostokąt: obwód podstawy × wysokość):<br>\\[P_b = 2\\pi r \\cdot h = 2\\pi \\cdot 2 \\cdot 4 = 16\\pi\\]</p>\n<p><strong>Suma:</strong><br>\\[P_c = P_{\\text{podstawy}} + P_b = 8\\pi + 16\\pi = \\mathbf{24\\pi}\\]</p>\n<p>Wynik zgodny - odpowiedź <strong>D</strong>.</p>\n<h4>Wzory z karty CKE</h4>\n<p><strong>Dział 12 (Stereometria, s. 26-28)</strong> - pole powierzchni całkowitej walca:<br>\\[P_c = 2\\pi r(r + h)\\]<br>lub równoważnie: \\(P_b = 2\\pi rh\\), \\(P_c = P_b + 2\\pi r^2\\)</p>\n<p>Użyliśmy tego wzoru bezpośrednio - wystarczyło poprawnie odczytać \\(r\\) i \\(h\\) z opisu przekroju osiowego.</p>\n<h4>Dlaczego inne odpowiedzi są błędne</h4>\n<p>| Odp. | Typowy błąd |<br>| A \\((256\\pi)\\) | Użyto \\(r = 4\\) zamiast \\(r = 2\\) - wzięto <strong>bok kwadratu jako promień</strong>, a nie jako średnicę. Potem \\(2\\pi \\cdot 4(4+4) = 64\\pi\\) lub np. policzono \\(\\pi \\cdot 4^4\\) bez sensu fizycznego. |<br>| B \\((128\\pi)\\) | Wzięto \\(r = 4\\) (bok = promień): \\(2\\pi \\cdot 4 \\cdot (4 + 4) = 64\\pi \\cdot 2 = \\) - różne błędy przy \\(r = 4\\), np. \\(2\\pi \\cdot 4 \\cdot (4 + 4) = 64\\pi\\), albo pominięto czynnik i wynik wyszedł 128π. |<br>| C \\((48\\pi)\\) | Policzono poprawnie \\(P_b = 16\\pi\\), ale do podstaw wzięto \\(\\pi r^2\\) zamiast \\(2\\pi r^2\\), czyli zapomniano, że walec ma <strong>dwie</strong> podstawy, nie jedną. \\(16\\pi + 2 \\cdot \\pi \\cdot 4 = 16\\pi + 8\\pi = 24\\pi\\) - zatem C sugeruje błąd \\(r = 4\\) w podstawach: \\(2\\pi \\cdot 4^2 = 32\\pi\\), \\(32\\pi + 16\\pi = 48\\pi\\). |</p>\n<h4>Typowe pułapki i uwagi</h4>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Przekrój osiowy to prostokąt o szerokości równej <strong>średnicy</strong> (nie promieniowi!). Jeśli kwadrat ma bok 4, to \\(r = 2\\), nie \\(r = 4\\). To najczęstszy błąd w tym zadaniu.</blockquote>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Walec ma <strong>dwie</strong> podstawy kołowe - pamiętaj o czynni ku \\(2\\pi r^2\\) w polu całkowitym. Pominięcie jednej podstawy to typowy błąd przy rozkładaniu wzoru na części.</blockquote>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Wzór \\(P_c = 2\\pi r(r+h)\\) jest na karcie CKE - nie trzeba go pamiętać, wystarczy umieć go zastosować z właściwymi wartościami \\(r\\) i \\(h\\).</blockquote>\n<p><strong>Poprawna odpowiedź: D</strong></p>\n<h5>Sposób 1 - Wymiary z przekroju osiowego</h5>\n<p>Przekrój osiowy walca to prostokąt o wymiarach: średnica podstawy \\(\\times\\) wysokość. Skoro to kwadrat o boku \\(4\\):</p>\n<ul><li>średnica: \\(2r = 4 \\Rightarrow r = 2\\),</li><li>wysokość: \\(H = 4\\).</li></ul>\n<h5>Pole powierzchni całkowitej walca</h5>\n<p>\\[P_c = 2\\pi r^2 + 2\\pi r H = 2\\pi r (r + H).\\]<br>Podstawiamy \\(r = 2, H = 4\\):<br>\\[P_c = 2\\pi \\cdot 2 \\cdot (2 + 4) = 4\\pi \\cdot 6 = 24\\pi.\\]</p>\n<h5>Sposób 2 - Składniki osobno</h5>\n<p>Podstawa (dwie): \\(2\\pi r^2 = 2\\pi \\cdot 4 = 8\\pi\\).<br>Powierzchnia boczna: \\(2\\pi r H = 2\\pi \\cdot 2 \\cdot 4 = 16\\pi\\).<br>Razem: \\(8\\pi + 16\\pi = 24\\pi\\).</p>\n<h5>Dlaczego inne odpowiedzi są błędne</h5>\n<ul><li><strong>A. \\(256\\pi\\):</strong> zupełnie za duża - \\(4^4\\pi\\)?</li><li><strong>B. \\(128\\pi\\):</strong> dwukrotnie za duża.</li><li><strong>C. \\(48\\pi\\):</strong> dwukrotnie za duża - ktoś użył średnicy (\\(4\\)) zamiast promienia (\\(2\\)).</li></ul>\n<p><strong>Pamiętaj:</strong> w przekroju osiowym walca pojawia się <strong>średnica</strong>, nie promień - musimy ją podzielić przez \\(2\\), aby uzyskać \\(r\\).</p>"}]}