{"id":"matematyka-2014-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad/23","paper_id":"matematyka-2014-sierpien-poprawkowa-podstawowa","number":"23","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"inne","year":2014,"month":"sierpien","level":"podstawowa","text":"Zadanie 23. (1 pkt)\nOstrosłup i graniastosłup mają równe pola podstaw i równe wysokości. Objętość ostrosłupa\njest równa 81 3 . Objętość graniastosłupa jest równa\nA. 27\nB. 27 3\nC. 243\nD. 243 3\nOstrosłup i graniastosłup mają równe pola podstaw i równe wysokości. Objętość ostrosłupa jest równa 81 * pierwiastek z 3. Objętość graniastosłupa jest równa A. 27, B. 27 * pierwiastek z 4, C. 243, D. 243 * pierwiastek z 3.","answer":"D","answer_text":null,"solution":"## Poprawna odpowiedź: D - \\(243\\sqrt{3}\\)\n\n## Sposób 1 - Bezpośredni związek objętości\n\n**Kluczowa obserwacja:** Objętość ostrosłupa i graniastosłupa zależą od tych samych dwóch wielkości - pola podstawy \\(P\\) i wysokości \\(h\\).\n\nWzory:\n\\[V_{\\text{ostrosłup}} = \\frac{1}{3} \\cdot P \\cdot h\\]\n\\[V_{\\text{graniastosłup}} = P \\cdot h\\]\n\nSkoro ostrosłup i graniastosłup mają **równe pola podstaw** i **równe wysokości**, to iloczyn \\(P \\cdot h\\) jest dla obu taki sam. Stąd:\n\n\\[V_{\\text{graniastosłup}} = 3 \\cdot V_{\\text{ostrosłup}}\\]\n\nPodstawiamy daną objętość ostrosłupa:\n\n\\[V_{\\text{graniastosłup}} = 3 \\cdot 81\\sqrt{3} = \\boxed{243\\sqrt{3}}\\]\n\n## Sposób 2 - Wyznaczenie \\(P \\cdot h\\) wprost\n\nKorzystamy ze wzoru na objętość ostrosłupa i wyznaczamy \\(P \\cdot h\\):\n\n\\[V_{\\text{ostrosłup}} = \\frac{1}{3} \\cdot P \\cdot h = 81\\sqrt{3}\\]\n\n\\[P \\cdot h = 3 \\cdot 81\\sqrt{3} = 243\\sqrt{3}\\]\n\nObjętość graniastosłupa to dokładnie \\(P \\cdot h\\):\n\n\\[V_{\\text{graniastosłup}} = P \\cdot h = \\boxed{243\\sqrt{3}}\\]\n\nWynik zgodny - odpowiedź **D**.\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 12 (Stereometria, s. 26-28)**:\n\n- Graniastosłup prosty:\n\\[V = P_p \\cdot h\\]\n- Ostrosłup:\n\\[V = \\frac{1}{3} P_p \\cdot h\\]\n\nCałe rozwiązanie opiera się na tych dwóch wzorach i ich stosunku.\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Typowy błąd |\n| A - \\(27\\) | Podzielono objętość ostrosłupa przez \\(3\\) zamiast pomnożyć: \\(81\\sqrt{3} \\div 3 = 27\\sqrt{3}\\), a potem jeszcze zgubiono \\(\\sqrt{3}\\) |\n| B - \\(27\\sqrt{3}\\) | Podzielono przez \\(3\\) zamiast pomnożyć przez \\(3\\) - odwrócono zależność (mylnie przyjęto, że graniastosłup jest \\(\\frac{1}{3}\\) ostrosłupa) |\n| C - \\(243\\) | Pomnożono poprawnie przez \\(3\\), ale zgubiono \\(\\sqrt{3}\\): \\(3 \\cdot 81 = 243\\), co jest błędem rachunkowym |\n\n## Typowe pułapki\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Czynnik \\(\\frac{1}{3}\\) jest w ostrosłupie - graniastosłup jest **3 razy większy**, nie mniejszy. Łatwo odwrócić kierunek relacji pod presją czasu.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Nie wolno gubić \\(\\sqrt{3}\\) przy mnożeniu: \\(3 \\cdot 81\\sqrt{3} = 243\\sqrt{3}\\), a nie \\(243\\). To sprawdzaj oddzielnie: najpierw liczba całkowita, potem czynnik z pierwiastkiem.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Wzór na ostrosłup działa dla **każdego** ostrosłupa (trójkątnego, czworokątnego, sześciokątnego ) - nie musisz wiedzieć, jakiego rodzaju jest podstawa. Wystarczy sam fakt równości pól podstaw i wysokości.\n\n**Poprawna odpowiedź: D**\n\n### Sposób 1 - Wzory na objętość\nObjętość ostrosłupa: \\(V_o = \\tfrac{1}{3}P_p \\cdot H\\).\nObjętość graniastosłupa: \\(V_g = P_p \\cdot H\\) (ta sama \\(P_p\\), ta sama \\(H\\)).\n\nZauważamy: \\(V_g = 3 V_o\\). Dla \\(V_o = 81\\sqrt{3}\\):\n\\[V_g = 3 \\cdot 81\\sqrt{3} = 243\\sqrt{3}.\\]\n\n### Sposób 2 - Stosunek objętości\nPrzy równych podstawach i wysokościach, ostrosłup ma objętość **trzykrotnie mniejszą** niż graniastosłup (stąd czynnik \\(\\tfrac{1}{3}\\) w wzorze).\nWięc \\(V_g = 3 V_o = 3 \\cdot 81\\sqrt{3} = 243\\sqrt{3}\\).\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **A. \\(27\\):** ktoś podzielił przez \\(3\\), stracił \\(\\sqrt{3}\\).\n- **B. \\(27\\sqrt{3}\\):** wynik podzielony przez \\(3\\) zamiast pomnożony.\n- **C. \\(243\\):** dobre \\(243\\), ale bez \\(\\sqrt{3}\\).\n\n**Pamiętaj:** \\(V_{\\text{ostros\\l{}up}} = \\tfrac{1}{3} V_{\\text{graniastos\\l{}up}}\\) przy tych samych podstawach i wysokościach.","image":"img/matematyka-2014-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad-23.webp","solution_image":"img/matematyka-2014-sierpien-poprawkowa-podstawowa/sol-23.svg","topics":"stereometria","page_from":10,"source":"maturazai","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Inne · sierpień 2014 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Inne","text_html":"<p>Zadanie 23. (1 pkt)<br>Ostrosłup i graniastosłup mają równe pola podstaw i równe wysokości. Objętość ostrosłupa<br>jest równa 81 3 . Objętość graniastosłupa jest równa<br>A. 27<br>B. 27 3<br>C. 243<br>D. 243 3<br>Ostrosłup i graniastosłup mają równe pola podstaw i równe wysokości. Objętość ostrosłupa jest równa 81 * pierwiastek z 3. Objętość graniastosłupa jest równa A. 27, B. 27 * pierwiastek z 4, C. 243, D. 243 * pierwiastek z 3.</p>","solutions":[{"source":"site","label":"matematykaszkolna.pl","kind":"image","image":"/img/matematyka-2014-sierpien-poprawkowa-podstawowa/sol-23.svg"},{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"<h4>Poprawna odpowiedź: D - \\(243\\sqrt{3}\\)</h4>\n<h4>Sposób 1 - Bezpośredni związek objętości</h4>\n<p><strong>Kluczowa obserwacja:</strong> Objętość ostrosłupa i graniastosłupa zależą od tych samych dwóch wielkości - pola podstawy \\(P\\) i wysokości \\(h\\).</p>\n<p>Wzory:<br>\\[V_{\\text{ostrosłup}} = \\frac{1}{3} \\cdot P \\cdot h\\]<br>\\[V_{\\text{graniastosłup}} = P \\cdot h\\]</p>\n<p>Skoro ostrosłup i graniastosłup mają <strong>równe pola podstaw</strong> i <strong>równe wysokości</strong>, to iloczyn \\(P \\cdot h\\) jest dla obu taki sam. Stąd:</p>\n<p>\\[V_{\\text{graniastosłup}} = 3 \\cdot V_{\\text{ostrosłup}}\\]</p>\n<p>Podstawiamy daną objętość ostrosłupa:</p>\n<p>\\[V_{\\text{graniastosłup}} = 3 \\cdot 81\\sqrt{3} = \\boxed{243\\sqrt{3}}\\]</p>\n<h4>Sposób 2 - Wyznaczenie \\(P \\cdot h\\) wprost</h4>\n<p>Korzystamy ze wzoru na objętość ostrosłupa i wyznaczamy \\(P \\cdot h\\):</p>\n<p>\\[V_{\\text{ostrosłup}} = \\frac{1}{3} \\cdot P \\cdot h = 81\\sqrt{3}\\]</p>\n<p>\\[P \\cdot h = 3 \\cdot 81\\sqrt{3} = 243\\sqrt{3}\\]</p>\n<p>Objętość graniastosłupa to dokładnie \\(P \\cdot h\\):</p>\n<p>\\[V_{\\text{graniastosłup}} = P \\cdot h = \\boxed{243\\sqrt{3}}\\]</p>\n<p>Wynik zgodny - odpowiedź <strong>D</strong>.</p>\n<h4>Wzory z karty CKE</h4>\n<p><strong>Dział 12 (Stereometria, s. 26-28)</strong>:</p>\n<ul><li>Graniastosłup prosty:</li></ul>\n<p>\\[V = P_p \\cdot h\\]</p>\n<ul><li>Ostrosłup:</li></ul>\n<p>\\[V = \\frac{1}{3} P_p \\cdot h\\]</p>\n<p>Całe rozwiązanie opiera się na tych dwóch wzorach i ich stosunku.</p>\n<h4>Dlaczego inne odpowiedzi są błędne</h4>\n<p>| Odp. | Typowy błąd |<br>| A - \\(27\\) | Podzielono objętość ostrosłupa przez \\(3\\) zamiast pomnożyć: \\(81\\sqrt{3} \\div 3 = 27\\sqrt{3}\\), a potem jeszcze zgubiono \\(\\sqrt{3}\\) |<br>| B - \\(27\\sqrt{3}\\) | Podzielono przez \\(3\\) zamiast pomnożyć przez \\(3\\) - odwrócono zależność (mylnie przyjęto, że graniastosłup jest \\(\\frac{1}{3}\\) ostrosłupa) |<br>| C - \\(243\\) | Pomnożono poprawnie przez \\(3\\), ale zgubiono \\(\\sqrt{3}\\): \\(3 \\cdot 81 = 243\\), co jest błędem rachunkowym |</p>\n<h4>Typowe pułapki</h4>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Czynnik \\(\\frac{1}{3}\\) jest w ostrosłupie - graniastosłup jest <strong>3 razy większy</strong>, nie mniejszy. Łatwo odwrócić kierunek relacji pod presją czasu.</blockquote>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Nie wolno gubić \\(\\sqrt{3}\\) przy mnożeniu: \\(3 \\cdot 81\\sqrt{3} = 243\\sqrt{3}\\), a nie \\(243\\). To sprawdzaj oddzielnie: najpierw liczba całkowita, potem czynnik z pierwiastkiem.</blockquote>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Wzór na ostrosłup działa dla <strong>każdego</strong> ostrosłupa (trójkątnego, czworokątnego, sześciokątnego ) - nie musisz wiedzieć, jakiego rodzaju jest podstawa. Wystarczy sam fakt równości pól podstaw i wysokości.</blockquote>\n<p><strong>Poprawna odpowiedź: D</strong></p>\n<h5>Sposób 1 - Wzory na objętość</h5>\n<p>Objętość ostrosłupa: \\(V_o = \\tfrac{1}{3}P_p \\cdot H\\).<br>Objętość graniastosłupa: \\(V_g = P_p \\cdot H\\) (ta sama \\(P_p\\), ta sama \\(H\\)).</p>\n<p>Zauważamy: \\(V_g = 3 V_o\\). Dla \\(V_o = 81\\sqrt{3}\\):<br>\\[V_g = 3 \\cdot 81\\sqrt{3} = 243\\sqrt{3}.\\]</p>\n<h5>Sposób 2 - Stosunek objętości</h5>\n<p>Przy równych podstawach i wysokościach, ostrosłup ma objętość <strong>trzykrotnie mniejszą</strong> niż graniastosłup (stąd czynnik \\(\\tfrac{1}{3}\\) w wzorze).<br>Więc \\(V_g = 3 V_o = 3 \\cdot 81\\sqrt{3} = 243\\sqrt{3}\\).</p>\n<h5>Dlaczego inne odpowiedzi są błędne</h5>\n<ul><li><strong>A. \\(27\\):</strong> ktoś podzielił przez \\(3\\), stracił \\(\\sqrt{3}\\).</li><li><strong>B. \\(27\\sqrt{3}\\):</strong> wynik podzielony przez \\(3\\) zamiast pomnożony.</li><li><strong>C. \\(243\\):</strong> dobre \\(243\\), ale bez \\(\\sqrt{3}\\).</li></ul>\n<p><strong>Pamiętaj:</strong> \\(V_{\\text{ostros\\l{}up}} = \\tfrac{1}{3} V_{\\text{graniastos\\l{}up}}\\) przy tych samych podstawach i wysokościach.</p>"}]}