Zadanie 24. (1 pkt)
Rzucamy trzy razy symetryczną monetą. Prawdopodobieństwo otrzymania co najmniej jednej
reszki jest równe
A. 7
8
B.
1
2
C. 1
4
D. 1
8
Rzucamy trzy razy symetryczną monetą. Prawdopodobieństwo otrzymania co najmniej jednej reszki jest równe A. 7/8, B. 1/2, C. 1/4, D. 1/8.
72
n
2
120
n
72
24
n
3
3
n
2
5
n
3
24
l
Zdarzenie „co najmniej jedna reszka" jest dopełnieniem zdarzenia „zero resztek" (czyli same orły).
\nKrok 1. Policzmy prawdopodobieństwo zdarzenia przeciwnego - że nie wypadnie żadna reszka (czyli za każdym razem wypadnie orzeł):
\n\\[P(\\text{brak reszki}) = \\frac{1}{2} \\cdot \\frac{1}{2} \\cdot \\frac{1}{2} = \\frac{1}{8}\\]
\nKrok 2. Stosujemy wzór na dopełnienie:
\n\\[P(\\text{co najmniej jedna reszka}) = 1 - P(\\text{brak reszki}) = 1 - \\frac{1}{8} = \\frac{7}{8}\\]
\nOdpowiedź: \\(\\dfrac{7}{8}\\)
\nWypisujemy wszystkie możliwe wyniki trzech rzutów (O = orzeł, R = reszka). Przestrzeń próby ma \\(2^3 = 8\\) równie prawdopodobnych wyników:
\n| Wynik | Liczba reszek |
| OOO | 0 ← jedyny bez reszki |
| OOR | 1 |
| ORO | 1 |
| ROO | 1 |
| ORR | 2 |
| ROR | 2 |
| RRO | 2 |
| RRR | 3 |
Zdarzeń z co najmniej jedną reszką jest 7 (wszystkie poza OOO).
\n\\[P(\\text{co najmniej jedna reszka}) = \\frac{7}{8}\\]
\nOdpowiedź potwierdzona: \\(\\dfrac{7}{8}\\)
\nDział 14 (Rachunek prawdopodobieństwa, s. 29-30)
\nWzór na zdarzenie dopełniające:
\\[P(A') = 1 - P(A)\\]
Użyliśmy go w Sposobie 1 - zamiast liczyć 7 korzystnych przypadków, policzyliśmy 1 przypadek niekorzystny i odjęliśmy od 1.
Prawdopodobieństwo klasyczne:
\\[P(A) = \\frac{|A|}{|\\Omega|}\\]
Użyliśmy go w Sposobie 2 - liczba korzystnych wyników (7) podzielona przez liczbę wszystkich wyników (8).
| Odp. | Typowy błąd |
| B - \\(\\frac{1}{2}\\) | Uczeń myśli: „reszka lub orzeł to 50/50, więc \\(\\frac{1}{2}\\)". Ignoruje to, że pytamy o 3 rzuty łącznie. |
| C - \\(\\frac{1}{4}\\) | Uczeń liczy \\(P(\\text{dokładnie jedna reszka})\\) dla jednego rzutu z trzech: \\(\\frac{1}{2} \\cdot \\frac{1}{4}\\) - bałagan w rachunkach. |
| D - \\(\\frac{1}{8}\\) | Uczeń poprawnie liczy \\(P(\\text{zero resztek}) = \\frac{1}{8}\\), ale zapomina odjąć od 1 i podaje wynik zdarzenia przeciwnego zamiast pytanego. |
⚠️ Uwaga: „Co najmniej jedna" oznacza 1, 2 lub 3 reszki - to aż 7 spośród 8 przypadków. Uczniowie często zaniżają wynik, bo intuicja podpowiada, że „co najmniej raz się uda" to mniej niż 50%.\n
⚠️ Uwaga: Metoda dopełnienia jest wielokrotnie szybsza niż bezpośrednie liczenie. Zawsze gdy w treści pojawia się „co najmniej jeden/jedna/jedno", natychmiast myśl o dopełnieniu.\n
⚠️ Uwaga: Rzuty monetą są niezależne, więc prawdopodobieństwa mnożymy: \\(\\frac{1}{2} \\cdot \\frac{1}{2} \\cdot \\frac{1}{2} = \\frac{1}{8}\\). Nie dodajemy!\n
Poprawna odpowiedź: A
\nZdarzenie „co najmniej jedna reszka" to przeciwieństwo do „same orły":
\\[P(\\text{co najmniej 1 reszka}) = 1 - P(\\text{same orły}).\\]
\\(P(\\text{same orły}) = \\left(\\tfrac{1}{2}\\right)^3 = \\tfrac{1}{8}\\).
\n\\[P(A) = 1 - \\tfrac{1}{8} = \\tfrac{7}{8}.\\]
\n\\(|\\Omega| = 2^3 = 8\\) (OOO, OOR, ORO, ROO, ORR, ROR, RRO, RRR).
Sprzyjające (przynajmniej jedna reszka): wszystkie oprócz OOO. Razem \\(7\\) zdarzeń.
\\(P(A) = \\tfrac{7}{8}\\).
Pamiętaj: „co najmniej jeden" często łatwiej obliczyć przez przeciwieństwo „ani jeden".
"}]}