{"id":"matematyka-2014-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad/25","paper_id":"matematyka-2014-sierpien-poprawkowa-podstawowa","number":"25","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"inne","year":2014,"month":"sierpien","level":"podstawowa","text":"Zadanie 25. (1 pkt)\nŚrednia arytmetyczna liczb: x , 13, 7 , 5, 5, 3, 2 , 11 jest równa 7. Mediana tego zestawu\nliczb jest równa\nA. 6\nB. 7\nC. 10\nD. 5\n4\n\nPoziom podstawowy\n11\nBRUDNOPIS (nie podlega ocenie)\n\nPoziom podstawowy\n12\nZADANIA OTWARTE\nRozwiązania zadań o numerach od 26. do 34. należy zapisać\nw wyznaczonych miejscach pod treścią zadania.\nŚrednia arytmetyczna liczb: x, 13, 7, 5, 5, 3, 2, 11 jest równa 7. Mediana tego zestawu liczb jest równa A. 6, B. 7, C. 10, D. 5","answer":"A","answer_text":null,"solution":"## Poprawna odpowiedź: A - mediana wynosi \\(6\\)\n\n## Sposób 1 - wyznaczenie \\(x\\) ze średniej, potem sortowanie\n\n**Krok 1: Znajdź \\(x\\) ze wzoru na średnią arytmetyczną.**\n\nMamy 8 liczb: \\(x, 13, 7, 5, 5, 3, 2, 11\\). Ich średnia wynosi \\(7\\), więc:\n\n\\[\\frac{x + 13 + 7 + 5 + 5 + 3 + 2 + 11}{8} = 7\\]\n\n\\[\\frac{x + 46}{8} = 7\\]\n\n\\[x + 46 = 56\\]\n\n\\[x = 10\\]\n\n**Krok 2: Posortuj zestaw rosnąco.**\n\nZestaw to: \\(10, 13, 7, 5, 5, 3, 2, 11\\)\n\nPo posortowaniu:\n\\[2,\\ 3,\\ 5,\\ 5,\\ 7,\\ 10,\\ 11,\\ 13\\]\n\n**Krok 3: Wyznacz medianę.**\n\nMamy **8 liczb** (liczba parzysta), więc mediana to **średnia arytmetyczna 4. i 5. wyrazu**:\n\n\\[\\text{Mediana} = \\frac{a_4 + a_5}{2} = \\frac{5 + 7}{2} = \\frac{12}{2} = \\mathbf{6}\\]\n\n## Sposób 2 - weryfikacja przez podstawienie\n\nSprawdźmy, czy \\(x = 10\\) faktycznie daje średnią \\(7\\):\n\n\\[2 + 3 + 5 + 5 + 7 + 10 + 11 + 13 = 56\\]\n\n\\[\\frac{56}{8} = 7\\ ✓\\]\n\nMediana = \\(\\frac{5+7}{2} = 6\\) - potwierdzamy wynik.\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 15 (Parametry danych statystycznych, s. 31-32)**\n\nŚrednia arytmetyczna:\n\\[\\bar{a} = \\frac{a_1 + a_2 + \\ldots + a_n}{n}\\]\nUżyta w Kroku 1 do wyznaczenia nieznanej liczby \\(x\\).\n\nMediana: środkowy wyraz dla nieparzystego \\(n\\), lub **średnia dwóch środkowych** dla parzystego \\(n\\).\nUżyta w Kroku 3 - mamy \\(n = 8\\) (parzyste), więc bierzemy wyraz 4. i 5.\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Typowy błąd |\n| B - \\(7\\) | Uczeń myli medianę ze średnią - \"skoro średnia to 7, to i mediana to 7\". To nieprawda, mediana i średnia to różne pojęcia! |\n| C - \\(10\\) | Uczeń wyznacza \\(x = 10\\) poprawnie, ale myśli, że znaleziona \"brakująca liczba\" jest medianą - bez sortowania. |\n| D - \\(5\\) | Uczeń sortuje poprawnie, ale bierze tylko **4. wyraz** \\((5)\\) zamiast uśredniać 4. i 5. wyraz. Błąd przy parzystej liczbie danych. |\n\n## Typowe pułapki i uwaga\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Przy **parzystej** liczbie danych mediany **nie można** odczytać jako jednego wyrazu - zawsze uśredniamy dwa środkowe. Dla \\(n = 8\\) środkowe to wyraz 4. i 5., nie wyraz 4. ani nie wyraz \\(\\frac{n}{2} = 4\\) jako indeks.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Medianę wyznaczamy zawsze **po posortowaniu** zestawu - jeśli zapomnisz posortować, wynik będzie losowy i błędny.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Zestaw zawiera **dwie piątki** - \\(5, 5\\). To normalne i nie zmienia sposobu liczenia. Nie pomijaj powtórzeń przy sortowaniu!\n\n**Poprawna odpowiedź: A**\n\n### Sposób 1 - Znajdujemy \\(x\\) ze średniej\nŚrednia \\(= \\dfrac{x + 13 + 7 + 5 + 5 + 3 + 2 + 11}{8} = 7\\).\nSuma znanych: \\(13 + 7 + 5 + 5 + 3 + 2 + 11 = 46\\).\n\\(x + 46 = 56 \\Rightarrow x = 10\\).\n\n### Mediana\nZestaw: \\(10, 13, 7, 5, 5, 3, 2, 11\\). Sortujemy: \\(2, 3, 5, 5, 7, 10, 11, 13\\).\n\nLiczba elementów = \\(8\\) (parzysta). Mediana to średnia dwóch środkowych (\\(4\\)-tego i \\(5\\)-tego):\n\\[\\text{Me} = \\dfrac{5 + 7}{2} = 6.\\]\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **B. \\(7\\):** tyle wynosi średnia, nie mediana.\n- **C. \\(10\\):** to wartość \\(x\\), nie mediana.\n- **D. \\(5\\):** to \\(4\\)-ty element, ale mediana to średnia \\(4\\)-tego i \\(5\\)-tego.\n\n**Pamiętaj:** dla parzystej liczby danych mediana to **średnia** dwóch środkowych po posortowaniu.","image":"img/matematyka-2014-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad-25.webp","solution_image":"img/matematyka-2014-sierpien-poprawkowa-podstawowa/sol-25.svg","topics":"prawdopodobienstwo","page_from":10,"source":"maturazai","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Inne · sierpień 2014 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Inne","text_html":"<p>Zadanie 25. (1 pkt)<br>Średnia arytmetyczna liczb: x , 13, 7 , 5, 5, 3, 2 , 11 jest równa 7. Mediana tego zestawu<br>liczb jest równa<br>A. 6<br>B. 7<br>C. 10<br>D. 5<br>4</p>\n<p>Poziom podstawowy<br>11<br>BRUDNOPIS (nie podlega ocenie)</p>\n<p>Poziom podstawowy<br>12<br>ZADANIA OTWARTE<br>Rozwiązania zadań o numerach od 26. do 34. należy zapisać<br>w wyznaczonych miejscach pod treścią zadania.<br>Średnia arytmetyczna liczb: x, 13, 7, 5, 5, 3, 2, 11 jest równa 7. Mediana tego zestawu liczb jest równa A. 6, B. 7, C. 10, D. 5</p>","solutions":[{"source":"site","label":"matematykaszkolna.pl","kind":"image","image":"/img/matematyka-2014-sierpien-poprawkowa-podstawowa/sol-25.svg"},{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"<h4>Poprawna odpowiedź: A - mediana wynosi \\(6\\)</h4>\n<h4>Sposób 1 - wyznaczenie \\(x\\) ze średniej, potem sortowanie</h4>\n<p><strong>Krok 1: Znajdź \\(x\\) ze wzoru na średnią arytmetyczną.</strong></p>\n<p>Mamy 8 liczb: \\(x, 13, 7, 5, 5, 3, 2, 11\\). Ich średnia wynosi \\(7\\), więc:</p>\n<p>\\[\\frac{x + 13 + 7 + 5 + 5 + 3 + 2 + 11}{8} = 7\\]</p>\n<p>\\[\\frac{x + 46}{8} = 7\\]</p>\n<p>\\[x + 46 = 56\\]</p>\n<p>\\[x = 10\\]</p>\n<p><strong>Krok 2: Posortuj zestaw rosnąco.</strong></p>\n<p>Zestaw to: \\(10, 13, 7, 5, 5, 3, 2, 11\\)</p>\n<p>Po posortowaniu:<br>\\[2,\\ 3,\\ 5,\\ 5,\\ 7,\\ 10,\\ 11,\\ 13\\]</p>\n<p><strong>Krok 3: Wyznacz medianę.</strong></p>\n<p>Mamy <strong>8 liczb</strong> (liczba parzysta), więc mediana to <strong>średnia arytmetyczna 4. i 5. wyrazu</strong>:</p>\n<p>\\[\\text{Mediana} = \\frac{a_4 + a_5}{2} = \\frac{5 + 7}{2} = \\frac{12}{2} = \\mathbf{6}\\]</p>\n<h4>Sposób 2 - weryfikacja przez podstawienie</h4>\n<p>Sprawdźmy, czy \\(x = 10\\) faktycznie daje średnią \\(7\\):</p>\n<p>\\[2 + 3 + 5 + 5 + 7 + 10 + 11 + 13 = 56\\]</p>\n<p>\\[\\frac{56}{8} = 7\\ ✓\\]</p>\n<p>Mediana = \\(\\frac{5+7}{2} = 6\\) - potwierdzamy wynik.</p>\n<h4>Wzory z karty CKE</h4>\n<p><strong>Dział 15 (Parametry danych statystycznych, s. 31-32)</strong></p>\n<p>Średnia arytmetyczna:<br>\\[\\bar{a} = \\frac{a_1 + a_2 + \\ldots + a_n}{n}\\]<br>Użyta w Kroku 1 do wyznaczenia nieznanej liczby \\(x\\).</p>\n<p>Mediana: środkowy wyraz dla nieparzystego \\(n\\), lub <strong>średnia dwóch środkowych</strong> dla parzystego \\(n\\).<br>Użyta w Kroku 3 - mamy \\(n = 8\\) (parzyste), więc bierzemy wyraz 4. i 5.</p>\n<h4>Dlaczego inne odpowiedzi są błędne</h4>\n<p>| Odp. | Typowy błąd |<br>| B - \\(7\\) | Uczeń myli medianę ze średnią - &quot;skoro średnia to 7, to i mediana to 7&quot;. To nieprawda, mediana i średnia to różne pojęcia! |<br>| C - \\(10\\) | Uczeń wyznacza \\(x = 10\\) poprawnie, ale myśli, że znaleziona &quot;brakująca liczba&quot; jest medianą - bez sortowania. |<br>| D - \\(5\\) | Uczeń sortuje poprawnie, ale bierze tylko <strong>4. wyraz</strong> \\((5)\\) zamiast uśredniać 4. i 5. wyraz. Błąd przy parzystej liczbie danych. |</p>\n<h4>Typowe pułapki i uwaga</h4>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Przy <strong>parzystej</strong> liczbie danych mediany <strong>nie można</strong> odczytać jako jednego wyrazu - zawsze uśredniamy dwa środkowe. Dla \\(n = 8\\) środkowe to wyraz 4. i 5., nie wyraz 4. ani nie wyraz \\(\\frac{n}{2} = 4\\) jako indeks.</blockquote>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Medianę wyznaczamy zawsze <strong>po posortowaniu</strong> zestawu - jeśli zapomnisz posortować, wynik będzie losowy i błędny.</blockquote>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Zestaw zawiera <strong>dwie piątki</strong> - \\(5, 5\\). To normalne i nie zmienia sposobu liczenia. Nie pomijaj powtórzeń przy sortowaniu!</blockquote>\n<p><strong>Poprawna odpowiedź: A</strong></p>\n<h5>Sposób 1 - Znajdujemy \\(x\\) ze średniej</h5>\n<p>Średnia \\(= \\dfrac{x + 13 + 7 + 5 + 5 + 3 + 2 + 11}{8} = 7\\).<br>Suma znanych: \\(13 + 7 + 5 + 5 + 3 + 2 + 11 = 46\\).<br>\\(x + 46 = 56 \\Rightarrow x = 10\\).</p>\n<h5>Mediana</h5>\n<p>Zestaw: \\(10, 13, 7, 5, 5, 3, 2, 11\\). Sortujemy: \\(2, 3, 5, 5, 7, 10, 11, 13\\).</p>\n<p>Liczba elementów = \\(8\\) (parzysta). Mediana to średnia dwóch środkowych (\\(4\\)-tego i \\(5\\)-tego):<br>\\[\\text{Me} = \\dfrac{5 + 7}{2} = 6.\\]</p>\n<h5>Dlaczego inne odpowiedzi są błędne</h5>\n<ul><li><strong>B. \\(7\\):</strong> tyle wynosi średnia, nie mediana.</li><li><strong>C. \\(10\\):</strong> to wartość \\(x\\), nie mediana.</li><li><strong>D. \\(5\\):</strong> to \\(4\\)-ty element, ale mediana to średnia \\(4\\)-tego i \\(5\\)-tego.</li></ul>\n<p><strong>Pamiętaj:</strong> dla parzystej liczby danych mediana to <strong>średnia</strong> dwóch środkowych po posortowaniu.</p>"}]}