{"id":"matematyka-2014-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad/26","paper_id":"matematyka-2014-sierpien-poprawkowa-podstawowa","number":"26","points":2,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"inne","year":2014,"month":"sierpien","level":"podstawowa","text":"Zadanie 26. (2 pkt)\nRozwiąż nierówność\n2\n5\n14\n0\nx\nx\n\n\n\n\nOdpowiedź:\n\nPoziom podstawowy\n13\nNierówność kwadratowa -2x^2-x+3 < 0. Zadanie z matury poprawkowej z matematyki - sierpień 2014.","answer":null,"answer_text":null,"solution":"## Poprawna odpowiedź:\n\n\\[x \\in (-\\infty, -7) \\cup (2, +\\infty)\\]\n\n## Sposób 1 - wyznaczenie miejsc zerowych i analiza znaku paraboli\n\n**Krok 1: Wyznacz miejsca zerowe trójmianu.**\n\nRozwiązujemy równanie \\(-x^2 - 5x + 14 = 0\\).\n\nObliczamy wyróżnik:\n\\[\\Delta = (-5)^2 - 4 \\cdot (-1) \\cdot 14 = 25 + 56 = 81\\]\n\\[\\sqrt{\\Delta} = 9\\]\n\nMiejsca zerowe:\n\\[x_1 = \\frac{-(-5) - 9}{2 \\cdot (-1)} = \\frac{5 - 9}{-2} = \\frac{-4}{-2} = \\mathbf{2}\\]\n\\[x_2 = \\frac{-(-5) + 9}{2 \\cdot (-1)} = \\frac{5 + 9}{-2} = \\frac{14}{-2} = \\mathbf{-7}\\]\n\n**Krok 2: Określ kształt paraboli.**\n\nWspółczynnik przy \\(x^2\\) to \\(a = -1 < 0\\), więc **parabola jest skierowana ramionami w dół** (kształt ∩).\n\n**Krok 3: Odczytaj rozwiązanie nierówności.**\n\nParabola skierowana w dół jest **ujemna** (poniżej osi \\(OX\\)) **na zewnątrz** miejsc zerowych:\n\n\\[f(x) < 0 \\iff x < -7 \\quad \\text{lub} \\quad x > 2\\]\n\n**Odpowiedź:** \\(x \\in (-\\infty, -7) \\cup (2, +\\infty)\\)\n\n## Sposób 2 - mnożenie przez \\(-1\\) i zamiana znaku nierówności\n\nZamiast liczyć miejsca zerowe od razu, możemy przepisać nierówność do wygodniejszej postaci.\n\n**Krok 1: Pomnóż obie strony przez \\(-1\\) - pamiętaj o odwróceniu znaku nierówności!**\n\n\\[-x^2 - 5x + 14 < 0 \\quad \\xrightarrow{\\cdot(-1)} \\quad x^2 + 5x - 14 > 0\\]\n\n**Krok 2: Wyznacz miejsca zerowe trójmianu \\(x^2 + 5x - 14\\).**\n\nSzukamy dwóch liczb, których suma wynosi \\(5\\), a iloczyn \\(-14\\). Takie liczby to \\(7\\) i \\(-2\\):\n\\[x^2 + 5x - 14 = (x + 7)(x - 2)\\]\n\nMiejsca zerowe: \\(x_1 = -7\\), \\(x_2 = 2\\).\n\n**Krok 3: Rozwiąż nierówność \\((x+7)(x-2) > 0\\).**\n\nIloczyn dwóch czynników jest dodatni, gdy **oba mają ten sam znak**:\n\n| Przedział | \\(x + 7\\) | \\(x - 2\\) | Iloczyn |\n| \\(x < -7\\) | \\(-\\) | \\(-\\) | \\(+\\) ✓ |\n| \\(-7 < x < 2\\) | \\(+\\) | \\(-\\) | \\(-\\) ✗ |\n| \\(x > 2\\) | \\(+\\) | \\(+\\) | \\(+\\) ✓ |\n\n**Odpowiedź:** \\(x \\in (-\\infty, -7) \\cup (2, +\\infty)\\) - zgodna z Metodą 1. ✓\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 7 (Funkcja kwadratowa, s. 7-9)**\n\nWyróżnik i miejsca zerowe:\n\\[\\Delta = b^2 - 4ac, \\qquad x_{1,2} = \\frac{-b \\pm \\sqrt{\\Delta}}{2a}\\]\n\nUżyliśmy w Sposobie 1 do wyznaczenia \\(x_1 = -7\\) i \\(x_2 = 2\\).\n\nZnajomość paraboli: gdy \\(a < 0\\), wykres jest skierowany ramionami w dół - to klucz do odczytu znaku funkcji.\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Gdy mnożysz lub dzielisz nierówność przez **liczbę ujemną**, musisz **odwrócić znak nierówności** (\\(<\\) zamienia się w \\(>\\)). To najczęstszy błąd w tym zadaniu - pominięcie zamiany znaku przy mnożeniu przez \\(-1\\).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Parabola skierowana w **dół** (\\(a < 0\\)) jest ujemna **na zewnątrz** pierwiastków, a dodatnia **między** pierwiastkami - odwrotnie niż parabola skierowana w górę. Nie mieszaj tych przypadków!\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Końce przedziałów \\(-7\\) i \\(2\\) **nie należą** do rozwiązania (nierówność ostra \\(<\\), nie \\(\\leq\\)), więc piszemy przedziały otwarte \\((-\\infty, -7)\\) i \\((2, +\\infty)\\).\n\n**Odpowiedź: \\(x \\in (-\\infty, -7) \\cup (2, +\\infty)\\)**\n\n### Sposób 1 - Wzory na pierwiastki\nZ trójmianu \\(-x^2 - 5x + 14\\): \\(a = -1, b = -5, c = 14\\).\nWyróżnik: \\(\\Delta = b^2 - 4ac = 25 - 4\\cdot(-1)\\cdot 14 = 25 + 56 = 81\\).\n\\(\\sqrt{\\Delta} = 9\\).\n\\[x_1 = \\dfrac{-b - \\sqrt{\\Delta}}{2a} = \\dfrac{5 - 9}{-2} = \\dfrac{-4}{-2} = 2.\\]\n\\[x_2 = \\dfrac{-b + \\sqrt{\\Delta}}{2a} = \\dfrac{5 + 9}{-2} = \\dfrac{14}{-2} = -7.\\]\n\nParabola \\(y = -x^2 - 5x + 14\\) ma ramiona skierowane **w dół** (\\(a < 0\\)) i miejsca zerowe \\(x = -7\\) oraz \\(x = 2\\).\n\nNierówność \\(-x^2 - 5x + 14 < 0\\) oznacza, że szukamy \\(x\\), dla których wartość trójmianu jest **ujemna** - parabola w dół jest ujemna **poza** pierwiastkami:\n\\[x \\in (-\\infty, -7) \\cup (2, +\\infty).\\]\n\n### Sposób 2 - Przekształcenie do \\(a > 0\\)\nMnożymy obie strony przez \\(-1\\) (zmiana zwrotu nierówności):\n\\[x^2 + 5x - 14 > 0.\\]\nPierwiastki: \\(\\Delta = 25 + 56 = 81\\), \\(x = \\tfrac{-5 \\pm 9}{2}\\), czyli \\(x_1 = -7, x_2 = 2\\).\n\nParabola w górę, \\(> 0\\) **poza** pierwiastkami: \\(x \\in (-\\infty, -7) \\cup (2, +\\infty)\\).\n\n### Sposób 3 - Rozkład na czynniki\n\\(-x^2 - 5x + 14 = -(x^2 + 5x - 14) = -(x + 7)(x - 2).\\)\n\\(-(x+7)(x-2) < 0 \\iff (x+7)(x-2) > 0\\).\nIloczyn dwóch czynników jest dodatni, gdy oba są tego samego znaku: \\(x < -7\\) lub \\(x > 2\\).\n\n### Weryfikacja\nDla \\(x = 0\\): \\(-0 - 0 + 14 = 14 > 0\\) - nierówność \\(< 0\\) **nie** jest spełniona. \\(x = 0\\) leży w \\((-7, 2)\\) - zgadza się ✓.\nDla \\(x = 3\\): \\(-9 - 15 + 14 = -10 < 0\\) ✓.\n\n### Pułapki\n- Mnożenie przez \\(-1\\): **zmiana znaku nierówności** (kluczowe).\n- Parabola w dół - znak jest na zewnątrz pierwiastków dla \\(< 0\\) (a nie między).","image":"img/matematyka-2014-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad-26.webp","solution_image":"img/matematyka-2014-sierpien-poprawkowa-podstawowa/sol-26.svg","topics":"rownania_i_nierownosci","page_from":12,"source":"maturazai","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Inne · sierpień 2014 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Inne","text_html":"

Zadanie 26. (2 pkt)
Rozwiąż nierówność
2
5
14
0
x
x




Odpowiedź:

\n

Poziom podstawowy
13
Nierówność kwadratowa -2x^2-x+3 < 0. Zadanie z matury poprawkowej z matematyki - sierpień 2014.

","solutions":[{"source":"site","label":"matematykaszkolna.pl","kind":"image","image":"/img/matematyka-2014-sierpien-poprawkowa-podstawowa/sol-26.svg"},{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"

Poprawna odpowiedź:

\n

\\[x \\in (-\\infty, -7) \\cup (2, +\\infty)\\]

\n

Sposób 1 - wyznaczenie miejsc zerowych i analiza znaku paraboli

\n

Krok 1: Wyznacz miejsca zerowe trójmianu.

\n

Rozwiązujemy równanie \\(-x^2 - 5x + 14 = 0\\).

\n

Obliczamy wyróżnik:
\\[\\Delta = (-5)^2 - 4 \\cdot (-1) \\cdot 14 = 25 + 56 = 81\\]
\\[\\sqrt{\\Delta} = 9\\]

\n

Miejsca zerowe:
\\[x_1 = \\frac{-(-5) - 9}{2 \\cdot (-1)} = \\frac{5 - 9}{-2} = \\frac{-4}{-2} = \\mathbf{2}\\]
\\[x_2 = \\frac{-(-5) + 9}{2 \\cdot (-1)} = \\frac{5 + 9}{-2} = \\frac{14}{-2} = \\mathbf{-7}\\]

\n

Krok 2: Określ kształt paraboli.

\n

Współczynnik przy \\(x^2\\) to \\(a = -1 < 0\\), więc parabola jest skierowana ramionami w dół (kształt ∩).

\n

Krok 3: Odczytaj rozwiązanie nierówności.

\n

Parabola skierowana w dół jest ujemna (poniżej osi \\(OX\\)) na zewnątrz miejsc zerowych:

\n

\\[f(x) < 0 \\iff x < -7 \\quad \\text{lub} \\quad x > 2\\]

\n

Odpowiedź: \\(x \\in (-\\infty, -7) \\cup (2, +\\infty)\\)

\n

Sposób 2 - mnożenie przez \\(-1\\) i zamiana znaku nierówności

\n

Zamiast liczyć miejsca zerowe od razu, możemy przepisać nierówność do wygodniejszej postaci.

\n

Krok 1: Pomnóż obie strony przez \\(-1\\) - pamiętaj o odwróceniu znaku nierówności!

\n

\\[-x^2 - 5x + 14 < 0 \\quad \\xrightarrow{\\cdot(-1)} \\quad x^2 + 5x - 14 > 0\\]

\n

Krok 2: Wyznacz miejsca zerowe trójmianu \\(x^2 + 5x - 14\\).

\n

Szukamy dwóch liczb, których suma wynosi \\(5\\), a iloczyn \\(-14\\). Takie liczby to \\(7\\) i \\(-2\\):
\\[x^2 + 5x - 14 = (x + 7)(x - 2)\\]

\n

Miejsca zerowe: \\(x_1 = -7\\), \\(x_2 = 2\\).

\n

Krok 3: Rozwiąż nierówność \\((x+7)(x-2) > 0\\).

\n

Iloczyn dwóch czynników jest dodatni, gdy oba mają ten sam znak:

\n

| Przedział | \\(x + 7\\) | \\(x - 2\\) | Iloczyn |
| \\(x < -7\\) | \\(-\\) | \\(-\\) | \\(+\\) ✓ |
| \\(-7 < x < 2\\) | \\(+\\) | \\(-\\) | \\(-\\) ✗ |
| \\(x > 2\\) | \\(+\\) | \\(+\\) | \\(+\\) ✓ |

\n

Odpowiedź: \\(x \\in (-\\infty, -7) \\cup (2, +\\infty)\\) - zgodna z Metodą 1. ✓

\n

Wzory z karty CKE

\n

Dział 7 (Funkcja kwadratowa, s. 7-9)

\n

Wyróżnik i miejsca zerowe:
\\[\\Delta = b^2 - 4ac, \\qquad x_{1,2} = \\frac{-b \\pm \\sqrt{\\Delta}}{2a}\\]

\n

Użyliśmy w Sposobie 1 do wyznaczenia \\(x_1 = -7\\) i \\(x_2 = 2\\).

\n

Znajomość paraboli: gdy \\(a < 0\\), wykres jest skierowany ramionami w dół - to klucz do odczytu znaku funkcji.

\n

Typowe pułapki i uwagi

\n
⚠️ Uwaga: Gdy mnożysz lub dzielisz nierówność przez liczbę ujemną, musisz odwrócić znak nierówności (\\(<\\) zamienia się w \\(>\\)). To najczęstszy błąd w tym zadaniu - pominięcie zamiany znaku przy mnożeniu przez \\(-1\\).
\n
⚠️ Uwaga: Parabola skierowana w dół (\\(a < 0\\)) jest ujemna na zewnątrz pierwiastków, a dodatnia między pierwiastkami - odwrotnie niż parabola skierowana w górę. Nie mieszaj tych przypadków!
\n
⚠️ Uwaga: Końce przedziałów \\(-7\\) i \\(2\\) nie należą do rozwiązania (nierówność ostra \\(<\\), nie \\(\\leq\\)), więc piszemy przedziały otwarte \\((-\\infty, -7)\\) i \\((2, +\\infty)\\).
\n

Odpowiedź: \\(x \\in (-\\infty, -7) \\cup (2, +\\infty)\\)

\n
Sposób 1 - Wzory na pierwiastki
\n

Z trójmianu \\(-x^2 - 5x + 14\\): \\(a = -1, b = -5, c = 14\\).
Wyróżnik: \\(\\Delta = b^2 - 4ac = 25 - 4\\cdot(-1)\\cdot 14 = 25 + 56 = 81\\).
\\(\\sqrt{\\Delta} = 9\\).
\\[x_1 = \\dfrac{-b - \\sqrt{\\Delta}}{2a} = \\dfrac{5 - 9}{-2} = \\dfrac{-4}{-2} = 2.\\]
\\[x_2 = \\dfrac{-b + \\sqrt{\\Delta}}{2a} = \\dfrac{5 + 9}{-2} = \\dfrac{14}{-2} = -7.\\]

\n

Parabola \\(y = -x^2 - 5x + 14\\) ma ramiona skierowane w dół (\\(a < 0\\)) i miejsca zerowe \\(x = -7\\) oraz \\(x = 2\\).

\n

Nierówność \\(-x^2 - 5x + 14 < 0\\) oznacza, że szukamy \\(x\\), dla których wartość trójmianu jest ujemna - parabola w dół jest ujemna poza pierwiastkami:
\\[x \\in (-\\infty, -7) \\cup (2, +\\infty).\\]

\n
Sposób 2 - Przekształcenie do \\(a > 0\\)
\n

Mnożymy obie strony przez \\(-1\\) (zmiana zwrotu nierówności):
\\[x^2 + 5x - 14 > 0.\\]
Pierwiastki: \\(\\Delta = 25 + 56 = 81\\), \\(x = \\tfrac{-5 \\pm 9}{2}\\), czyli \\(x_1 = -7, x_2 = 2\\).

\n

Parabola w górę, \\(> 0\\) poza pierwiastkami: \\(x \\in (-\\infty, -7) \\cup (2, +\\infty)\\).

\n
Sposób 3 - Rozkład na czynniki
\n

\\(-x^2 - 5x + 14 = -(x^2 + 5x - 14) = -(x + 7)(x - 2).\\)
\\(-(x+7)(x-2) < 0 \\iff (x+7)(x-2) > 0\\).
Iloczyn dwóch czynników jest dodatni, gdy oba są tego samego znaku: \\(x < -7\\) lub \\(x > 2\\).

\n
Weryfikacja
\n

Dla \\(x = 0\\): \\(-0 - 0 + 14 = 14 > 0\\) - nierówność \\(< 0\\) nie jest spełniona. \\(x = 0\\) leży w \\((-7, 2)\\) - zgadza się ✓.
Dla \\(x = 3\\): \\(-9 - 15 + 14 = -10 < 0\\) ✓.

\n
Pułapki
\n"},{"source":"zadaniazmatur","label":"zadaniazmatur.pl","kind":"text","html":"

$x \\in (-\\infty, -7) \\cup (2, \\infty)$

"}]}