{"id":"matematyka-2014-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad/27","paper_id":"matematyka-2014-sierpien-poprawkowa-podstawowa","number":"27","points":2,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"inne","year":2014,"month":"sierpien","level":"podstawowa","text":"Zadanie 27. (2 pkt)\nRozwiąż równanie\n3\n2\n6\n11\n66\n0\n\n\n\n\nx\nx\nx\nOdpowiedź:\nWypełnia\negzaminator\nNr zadania\n26.\n27.\nMaks. liczba pkt\n2\n2\nUzyskana liczba pkt\n\nPoziom podstawowy\n14\nRozwiąż równanie x^3-6x^2-11x+66 = 0. Zadanie z matury poprawkowej z matematyki - sierpień 2014.","answer":null,"answer_text":null,"solution":"## Poprawna odpowiedź: \\(x = 6, \\quad x = \\sqrt{11}, \\quad x = -\\sqrt{11}\\)\n\n## Sposób 1 - Grupowanie wyrazów (faktoryzacja przez grupowanie)\n\nZauważamy, że wielomian \\(x^3 - 6x^2 - 11x + 66\\) ma cztery wyrazy - spróbujmy je **pogrupować po dwa**:\n\n\\[x^3 - 6x^2 - 11x + 66 = (x^3 - 6x^2) + (-11x + 66)\\]\n\nWyciągamy wspólny czynnik z każdej grupy:\n\n\\[= x^2(x - 6) - 11(x - 6)\\]\n\nOba składniki zawierają wspólny czynnik \\((x - 6)\\) - wyciągamy go:\n\n\\[= (x - 6)(x^2 - 11)\\]\n\nTeraz rozwiązujemy każdy czynnik osobno.\n\n**Czynnik 1:** \\(x - 6 = 0\\)\n\\[x = 6\\]\n\n**Czynnik 2:** \\(x^2 - 11 = 0\\)\n\\[x^2 = 11\\]\n\\[x = \\pm\\sqrt{11}\\]\n\n**Rozwiązanie:**\n\\[\\boxed{x = 6 \\qquad \\text{lub} \\qquad x = \\sqrt{11} \\qquad \\text{lub} \\qquad x = -\\sqrt{11}}\\]\n\n## Sposób 2 - Twierdzenie Bézouta (szukanie pierwiastka wymiernego metodą prób)\n\nNa podstawie **twierdzenia o pierwiastkach wymiernych** - jeśli wielomian o całkowitych współczynnikach ma pierwiastek wymierny \\(\\frac{p}{q}\\) w najniższych wyrazach, to \\(p\\) dzieli wyraz wolny (\\(66\\)), a \\(q\\) dzieli współczynnik wiodący (\\(1\\)).\n\nSkoro współczynnik wiodący to \\(1\\), możliwe pierwiastki całkowite to: \\(\\pm 1, \\pm 2, \\pm 3, \\pm 6, \\pm 11, \\pm 22, \\pm 33, \\pm 66\\).\n\nSprawdzamy \\(x = 6\\) (patrzymy na współczynnik \\(-6\\) przy \\(x^2\\) - sugeruje on sumę pierwiastków):\n\n\\[6^3 - 6 \\cdot 6^2 - 11 \\cdot 6 + 66 = 216 - 216 - 66 + 66 = 0 \\checkmark\\]\n\nSkoro \\(x = 6\\) jest pierwiastkiem, dzielimy wielomian przez \\((x - 6)\\) metodą Hornera:\n\n| | \\(1\\) | \\(-6\\) | \\(-11\\) | \\(66\\) |\n| \\(6\\) | \\(1\\) | \\(0\\) | \\(-11\\) | \\(0\\) |\n\nObliczenia: \\(1\\); \\(1 \\cdot 6 + (-6) = 0\\); \\(0 \\cdot 6 + (-11) = -11\\); \\((-11) \\cdot 6 + 66 = 0\\) ✓\n\nOtrzymujemy:\n\\[x^3 - 6x^2 - 11x + 66 = (x - 6)(x^2 + 0 \\cdot x - 11) = (x-6)(x^2 - 11)\\]\n\nDalej identycznie jak w Sposobie 1:\n\\[x = 6, \\quad x = \\sqrt{11}, \\quad x = -\\sqrt{11}\\]\n\n**Weryfikacja - podstawiamy \\(x = \\sqrt{11}\\):**\n\\[(\\sqrt{11})^3 - 6(\\sqrt{11})^2 - 11\\cdot\\sqrt{11} + 66 = 11\\sqrt{11} - 66 - 11\\sqrt{11} + 66 = 0 \\checkmark\\]\n\n## Wzory z karty CKE\n\nW tym zadaniu nie używamy konkretnych wzorów z karty CKE - rozwiązanie opiera się wyłącznie na elementarnej algebrze:\n- **grupowanie wyrazów** i wyciąganie czynnika wspólnego (umiejętność algebraiczna, nie wzór z karty),\n- **pierwiastki kwadratowe** - definicja \\(\\sqrt{a}\\) (Dział 2, s. 4-5):\n\n> **Dział 2 (Potęgi i pierwiastki, s. 4-5)**\n> Z \\(x^2 = 11\\) wynika \\(x = \\pm\\sqrt{11}\\), korzystając z definicji: \\(b = \\sqrt{a} \\iff b^2 = a, b \\geq 0\\), a ze względu na parzysty wykładnik - dwa rozwiązania: \\(\\pm\\sqrt{11}\\).\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Przy grupowaniu zwróć uwagę na **znak minus** przed nawiasem - \\(-11x + 66 = -11(x - 6)\\), a nie \\(-11(x + 6)\\)! Błąd znaku to najczęstszy błąd w tej metodzie.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Z \\(x^2 = 11\\) wynikają **dwa** rozwiązania: \\(x = \\sqrt{11}\\) i \\(x = -\\sqrt{11}\\). Pominięcie rozwiązania ujemnego to klasyczna pomyłka!\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Jeśli nie widzisz od razu jak grupować - zastosuj metodę Bézouta i szukaj pierwiastka wymiernego. Przy współczynniku wiodącym równym \\(1\\) kandydatów jest skończenie wiele i szybko znajdziesz właściwy.\n\n**Odpowiedź: \\(x = 6\\) lub \\(x = \\sqrt{11}\\) lub \\(x = -\\sqrt{11}\\)**\n\n### Sposób 1 - Grupowanie wyrazów\n\\[x^3 - 6x^2 - 11x + 66 = (x^3 - 6x^2) + (-11x + 66) = x^2(x - 6) - 11(x - 6) = (x - 6)(x^2 - 11).\\]\n\nRównanie \\((x - 6)(x^2 - 11) = 0\\):\n- \\(x - 6 = 0 \\Rightarrow x = 6\\),\n- \\(x^2 - 11 = 0 \\Rightarrow x = \\sqrt{11}\\) lub \\(x = -\\sqrt{11}\\).\n\n### Sposób 2 - Zgadywanie i dzielenie wielomianów\nSprawdzamy dzielniki wyrazu wolnego \\(66\\): \\(\\pm 1, \\pm 2, \\pm 3, \\pm 6, \\pm 11, \\ldots\\)\nDla \\(x = 6\\): \\(216 - 216 - 66 + 66 = 0\\) ✓\n\nDzielimy \\(x^3 - 6x^2 - 11x + 66\\) przez \\((x - 6)\\):\n\\[x^3 - 6x^2 - 11x + 66 = (x - 6)(x^2 - 11).\\]\n\nZ \\(x^2 = 11\\): \\(x = \\pm\\sqrt{11}\\).\n\n### Sposób 3 - Alternatywne grupowanie\n\\[x^3 - 11x - 6x^2 + 66 = x(x^2 - 11) - 6(x^2 - 11) = (x^2 - 11)(x - 6).\\]\nTen sam rozkład, stąd te same pierwiastki.\n\n### Weryfikacja\n\\(x = \\sqrt{11}\\): \\((\\sqrt{11})^3 - 6 \\cdot 11 - 11\\sqrt{11} + 66 = 11\\sqrt{11} - 66 - 11\\sqrt{11} + 66 = 0\\) ✓\n\n### Pułapki\n- Zapomnienie o obu pierwiastkach z \\(x^2 = 11\\) (\\(\\pm\\sqrt{11}\\)).\n- Błąd znaku przy grupowaniu: \\(-11(x - 6) = -11x + 66\\), a nie \\(-11x - 66\\).","image":"img/matematyka-2014-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad-27.webp","solution_image":"img/matematyka-2014-sierpien-poprawkowa-podstawowa/sol-27.svg","topics":"wielomiany","page_from":13,"source":"maturazai","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Inne · sierpień 2014 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Inne","text_html":"<p>Zadanie 27. (2 pkt)<br>Rozwiąż równanie<br>3<br>2<br>6<br>11<br>66<br>0<br><br><br><br><br>x<br>x<br>x<br>Odpowiedź:<br>Wypełnia<br>egzaminator<br>Nr zadania<br>26.<br>27.<br>Maks. liczba pkt<br>2<br>2<br>Uzyskana liczba pkt</p>\n<p>Poziom podstawowy<br>14<br>Rozwiąż równanie x^3-6x^2-11x+66 = 0. Zadanie z matury poprawkowej z matematyki - sierpień 2014.</p>","solutions":[{"source":"site","label":"matematykaszkolna.pl","kind":"image","image":"/img/matematyka-2014-sierpien-poprawkowa-podstawowa/sol-27.svg"},{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"<h4>Poprawna odpowiedź: \\(x = 6, \\quad x = \\sqrt{11}, \\quad x = -\\sqrt{11}\\)</h4>\n<h4>Sposób 1 - Grupowanie wyrazów (faktoryzacja przez grupowanie)</h4>\n<p>Zauważamy, że wielomian \\(x^3 - 6x^2 - 11x + 66\\) ma cztery wyrazy - spróbujmy je <strong>pogrupować po dwa</strong>:</p>\n<p>\\[x^3 - 6x^2 - 11x + 66 = (x^3 - 6x^2) + (-11x + 66)\\]</p>\n<p>Wyciągamy wspólny czynnik z każdej grupy:</p>\n<p>\\[= x^2(x - 6) - 11(x - 6)\\]</p>\n<p>Oba składniki zawierają wspólny czynnik \\((x - 6)\\) - wyciągamy go:</p>\n<p>\\[= (x - 6)(x^2 - 11)\\]</p>\n<p>Teraz rozwiązujemy każdy czynnik osobno.</p>\n<p><strong>Czynnik 1:</strong> \\(x - 6 = 0\\)<br>\\[x = 6\\]</p>\n<p><strong>Czynnik 2:</strong> \\(x^2 - 11 = 0\\)<br>\\[x^2 = 11\\]<br>\\[x = \\pm\\sqrt{11}\\]</p>\n<p><strong>Rozwiązanie:</strong><br>\\[\\boxed{x = 6 \\qquad \\text{lub} \\qquad x = \\sqrt{11} \\qquad \\text{lub} \\qquad x = -\\sqrt{11}}\\]</p>\n<h4>Sposób 2 - Twierdzenie Bézouta (szukanie pierwiastka wymiernego metodą prób)</h4>\n<p>Na podstawie <strong>twierdzenia o pierwiastkach wymiernych</strong> - jeśli wielomian o całkowitych współczynnikach ma pierwiastek wymierny \\(\\frac{p}{q}\\) w najniższych wyrazach, to \\(p\\) dzieli wyraz wolny (\\(66\\)), a \\(q\\) dzieli współczynnik wiodący (\\(1\\)).</p>\n<p>Skoro współczynnik wiodący to \\(1\\), możliwe pierwiastki całkowite to: \\(\\pm 1, \\pm 2, \\pm 3, \\pm 6, \\pm 11, \\pm 22, \\pm 33, \\pm 66\\).</p>\n<p>Sprawdzamy \\(x = 6\\) (patrzymy na współczynnik \\(-6\\) przy \\(x^2\\) - sugeruje on sumę pierwiastków):</p>\n<p>\\[6^3 - 6 \\cdot 6^2 - 11 \\cdot 6 + 66 = 216 - 216 - 66 + 66 = 0 \\checkmark\\]</p>\n<p>Skoro \\(x = 6\\) jest pierwiastkiem, dzielimy wielomian przez \\((x - 6)\\) metodą Hornera:</p>\n<p>| | \\(1\\) | \\(-6\\) | \\(-11\\) | \\(66\\) |<br>| \\(6\\) | \\(1\\) | \\(0\\) | \\(-11\\) | \\(0\\) |</p>\n<p>Obliczenia: \\(1\\); \\(1 \\cdot 6 + (-6) = 0\\); \\(0 \\cdot 6 + (-11) = -11\\); \\((-11) \\cdot 6 + 66 = 0\\) ✓</p>\n<p>Otrzymujemy:<br>\\[x^3 - 6x^2 - 11x + 66 = (x - 6)(x^2 + 0 \\cdot x - 11) = (x-6)(x^2 - 11)\\]</p>\n<p>Dalej identycznie jak w Sposobie 1:<br>\\[x = 6, \\quad x = \\sqrt{11}, \\quad x = -\\sqrt{11}\\]</p>\n<p><strong>Weryfikacja - podstawiamy \\(x = \\sqrt{11}\\):</strong><br>\\[(\\sqrt{11})^3 - 6(\\sqrt{11})^2 - 11\\cdot\\sqrt{11} + 66 = 11\\sqrt{11} - 66 - 11\\sqrt{11} + 66 = 0 \\checkmark\\]</p>\n<h4>Wzory z karty CKE</h4>\n<p>W tym zadaniu nie używamy konkretnych wzorów z karty CKE - rozwiązanie opiera się wyłącznie na elementarnej algebrze:</p>\n<ul><li><strong>grupowanie wyrazów</strong> i wyciąganie czynnika wspólnego (umiejętność algebraiczna, nie wzór z karty),</li><li><strong>pierwiastki kwadratowe</strong> - definicja \\(\\sqrt{a}\\) (Dział 2, s. 4-5):</li></ul>\n<blockquote><strong>Dział 2 (Potęgi i pierwiastki, s. 4-5)</strong><br>Z \\(x^2 = 11\\) wynika \\(x = \\pm\\sqrt{11}\\), korzystając z definicji: \\(b = \\sqrt{a} \\iff b^2 = a, b \\geq 0\\), a ze względu na parzysty wykładnik - dwa rozwiązania: \\(\\pm\\sqrt{11}\\).</blockquote>\n<h4>Typowe pułapki i uwagi</h4>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Przy grupowaniu zwróć uwagę na <strong>znak minus</strong> przed nawiasem - \\(-11x + 66 = -11(x - 6)\\), a nie \\(-11(x + 6)\\)! Błąd znaku to najczęstszy błąd w tej metodzie.</blockquote>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Z \\(x^2 = 11\\) wynikają <strong>dwa</strong> rozwiązania: \\(x = \\sqrt{11}\\) i \\(x = -\\sqrt{11}\\). Pominięcie rozwiązania ujemnego to klasyczna pomyłka!</blockquote>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Jeśli nie widzisz od razu jak grupować - zastosuj metodę Bézouta i szukaj pierwiastka wymiernego. Przy współczynniku wiodącym równym \\(1\\) kandydatów jest skończenie wiele i szybko znajdziesz właściwy.</blockquote>\n<p><strong>Odpowiedź: \\(x = 6\\) lub \\(x = \\sqrt{11}\\) lub \\(x = -\\sqrt{11}\\)</strong></p>\n<h5>Sposób 1 - Grupowanie wyrazów</h5>\n<p>\\[x^3 - 6x^2 - 11x + 66 = (x^3 - 6x^2) + (-11x + 66) = x^2(x - 6) - 11(x - 6) = (x - 6)(x^2 - 11).\\]</p>\n<p>Równanie \\((x - 6)(x^2 - 11) = 0\\):</p>\n<ul><li>\\(x - 6 = 0 \\Rightarrow x = 6\\),</li><li>\\(x^2 - 11 = 0 \\Rightarrow x = \\sqrt{11}\\) lub \\(x = -\\sqrt{11}\\).</li></ul>\n<h5>Sposób 2 - Zgadywanie i dzielenie wielomianów</h5>\n<p>Sprawdzamy dzielniki wyrazu wolnego \\(66\\): \\(\\pm 1, \\pm 2, \\pm 3, \\pm 6, \\pm 11, \\ldots\\)<br>Dla \\(x = 6\\): \\(216 - 216 - 66 + 66 = 0\\) ✓</p>\n<p>Dzielimy \\(x^3 - 6x^2 - 11x + 66\\) przez \\((x - 6)\\):<br>\\[x^3 - 6x^2 - 11x + 66 = (x - 6)(x^2 - 11).\\]</p>\n<p>Z \\(x^2 = 11\\): \\(x = \\pm\\sqrt{11}\\).</p>\n<h5>Sposób 3 - Alternatywne grupowanie</h5>\n<p>\\[x^3 - 11x - 6x^2 + 66 = x(x^2 - 11) - 6(x^2 - 11) = (x^2 - 11)(x - 6).\\]<br>Ten sam rozkład, stąd te same pierwiastki.</p>\n<h5>Weryfikacja</h5>\n<p>\\(x = \\sqrt{11}\\): \\((\\sqrt{11})^3 - 6 \\cdot 11 - 11\\sqrt{11} + 66 = 11\\sqrt{11} - 66 - 11\\sqrt{11} + 66 = 0\\) ✓</p>\n<h5>Pułapki</h5>\n<ul><li>Zapomnienie o obu pierwiastkach z \\(x^2 = 11\\) (\\(\\pm\\sqrt{11}\\)).</li><li>Błąd znaku przy grupowaniu: \\(-11(x - 6) = -11x + 66\\), a nie \\(-11x - 66\\).</li></ul>"},{"source":"zadaniazmatur","label":"zadaniazmatur.pl","kind":"text","html":"<p>$x=6$ lub $x=\\sqrt{11}$, lub $x=-\\sqrt{11}$</p>"}]}