{"id":"matematyka-2014-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad/28","paper_id":"matematyka-2014-sierpien-poprawkowa-podstawowa","number":"28","points":2,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"inne","year":2014,"month":"sierpien","level":"podstawowa","text":"Zadanie 28. (2 pkt)\nWykaż, że suma sześcianów trzech kolejnych liczb naturalnych parzystych jest podzielna\nprzez 24.\n\nPoziom podstawowy\n15\nWykaż, że suma sześcianów trzech kolejnych liczb naturalnych parzystych jest podzielna przez 24. Zadanie z matury poprawkowej z matematyki - sierpień 2014.","answer":null,"answer_text":null,"solution":"## Poprawna odpowiedź: suma sześcianów trzech kolejnych liczb naturalnych parzystych jest zawsze podzielna przez 24.\n\n(Zadanie otwarte - należy przeprowadzić pełny dowód.)\n\n## Sposób 1 - parametryzacja od pierwszego wyrazu\n\n**Oznaczenie:** Niech trzy kolejne parzyste liczby naturalne to \\(2n,\\ 2n+2,\\ 2n+4\\), gdzie \\(n \\in \\mathbb{N}\\).\n\n**Obliczamy sumę sześcianów:**\n\n\\[S = (2n)^3 + (2n+2)^3 + (2n+4)^3\\]\n\nWyciągamy czynnik \\(8\\) z każdego wyrazu (bo \\((2k)^3 = 8k^3\\)):\n\n\\[S = 8n^3 + 8(n+1)^3 + 8(n+2)^3 = 8\\bigl[n^3 + (n+1)^3 + (n+2)^3\\bigr]\\]\n\n**Rozwijamy nawiasy:**\n\n\\[(n+1)^3 = n^3 + 3n^2 + 3n + 1\\]\n\n\\[(n+2)^3 = n^3 + 6n^2 + 12n + 8\\]\n\n**Sumujemy:**\n\n\\[n^3 + (n^3 + 3n^2 + 3n + 1) + (n^3 + 6n^2 + 12n + 8) = 3n^3 + 9n^2 + 15n + 9\\]\n\n**Wyciągamy czynnik 3:**\n\n\\[= 3(n^3 + 3n^2 + 5n + 3)\\]\n\n**Zatem:**\n\n\\[S = 8 \\cdot 3(n^3 + 3n^2 + 5n + 3) = 24(n^3 + 3n^2 + 5n + 3)\\]\n\nPonieważ \\(n \\in \\mathbb{N}\\), wyrażenie \\(n^3 + 3n^2 + 5n + 3\\) jest liczbą całkowitą.\n\n**Stąd \\(S = 24k\\) dla \\(k = n^3 + 3n^2 + 5n + 3 \\in \\mathbb{N}\\), czyli \\(24 \\mid S\\). \\(\\blacksquare\\)**\n\n## Sposób 2 - symetryczna parametryzacja (elegancki trick)\n\n**Pomysł:** Wybieramy oznaczenie symetryczne - niech środkowa liczba to \\(2n\\), a trzy kolejne liczby parzyste to:\n\n\\[2n-2, \\quad 2n, \\quad 2n+2\\]\n\n(gdzie \\(n \\geq 1\\), by pierwsza liczba była dodatnia).\n\n**Obliczamy sumę sześcianów:**\n\n\\[S = (2n-2)^3 + (2n)^3 + (2n+2)^3\\]\n\n\\[= 8(n-1)^3 + 8n^3 + 8(n+1)^3 = 8\\bigl[(n-1)^3 + n^3 + (n+1)^3\\bigr]\\]\n\n**Rozwijamy skrajne wyrazy i sumujemy:**\n\n\\[(n-1)^3 = n^3 - 3n^2 + 3n - 1\\]\n\n\\[(n+1)^3 = n^3 + 3n^2 + 3n + 1\\]\n\n\\[(n-1)^3 + n^3 + (n+1)^3 = (n^3 - 3n^2 + 3n - 1) + n^3 + (n^3 + 3n^2 + 3n + 1)\\]\n\nWyrazy \\(\\pm 3n^2\\) i \\(\\pm 1\\) znoszą się:\n\n\\[= 3n^3 + 6n = 3n(n^2 + 2)\\]\n\n**Zatem:**\n\n\\[S = 8 \\cdot 3n(n^2 + 2) = 24n(n^2+2)\\]\n\nWyrażenie \\(n(n^2+2)\\) jest liczbą naturalną dla każdego \\(n \\in \\mathbb{N}\\), więc:\n\n\\[\\boxed{S = 24 \\cdot n(n^2+2)}\\]\n\n**co oznacza, że \\(24 \\mid S\\). \\(\\blacksquare\\)**\n\n> **Dlaczego Sposób 2 jest elegantszy?** Symetryczne oznaczenie powoduje, że człony \\(\\pm 3n^2\\) i \\(\\pm 1\\) kasują się parami - bez żmudnego zbierania wyrazów. To klasyczny trick w zadaniach dowodowych!\n\n**Weryfikacja liczbowa:**\n- \\(2^3 + 4^3 + 6^3 = 8 + 64 + 216 = 288 = 24 \\cdot 12\\) ✓\n- \\(4^3 + 6^3 + 8^3 = 64 + 216 + 512 = 792 = 24 \\cdot 33\\) ✓\n- \\(10^3 + 12^3 + 14^3 = 1000 + 1728 + 2744 = 5472 = 24 \\cdot 228\\) ✓\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 6 (Wzory skróconego mnożenia, s. 7)** - wzór na sześcian sumy:\n\n\\[(a+b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3\\]\n\nUżyliśmy go w obu sposobach do rozwinięcia \\((n+1)^3\\), \\((n+2)^3\\), \\((n-1)^3\\), \\((n+1)^3\\).\n\n## Typowe pułapki i uwaga\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Nie wystarczy sprawdzić kilku przypadków liczbowych - to NIE jest dowód. Dowód musi działać dla ogólnego \\(n\\).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Pamiętaj, że „kolejne liczby parzyste\" to \\(2n, 2n+2, 2n+4\\) - różnica wynosi \\(2\\), nie \\(1\\). Częsty błąd: wzięcie \\(n, n+1, n+2\\) bez warunku parzystości.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Po wyciągnięciu \\(8\\) przed nawias wciąż musisz pokazać, że pozostałe wyrażenie jest podzielne przez \\(3\\) - samo \\(8\\) nie wystarczy do podzielności przez \\(24 = 8 \\cdot 3\\).\n\n**Dowód: suma jest podzielna przez \\(24\\)**\n\n### Sposób 1 - Parametryzacja trzema kolejnymi parzystymi\nNiech trzy kolejne liczby naturalne parzyste to \\(2n, 2n+2, 2n+4\\), gdzie \\(n \\in \\mathbb{N}\\).\n\nSuma ich sześcianów:\n\\[(2n)^3 + (2n+2)^3 + (2n+4)^3.\\]\n\nObliczamy każdy składnik:\n\\((2n)^3 = 8n^3\\).\n\\((2n+2)^3 = 8n^3 + 3 \\cdot 4n^2 \\cdot 2 + 3 \\cdot 2n \\cdot 4 + 8 = 8n^3 + 24n^2 + 24n + 8\\).\n\\((2n+4)^3 = 8n^3 + 3 \\cdot 4n^2 \\cdot 4 + 3 \\cdot 2n \\cdot 16 + 64 = 8n^3 + 48n^2 + 96n + 64\\).\n\nSuma:\n\\[24n^3 + 72n^2 + 120n + 72.\\]\n\nWyciągamy \\(24\\) przed nawias:\n\\[= 24(n^3 + 3n^2 + 5n + 3).\\]\n\nPonieważ \\(n^3 + 3n^2 + 5n + 3\\) jest liczbą całkowitą (gdy \\(n\\) całkowite), suma jest podzielna przez \\(24\\). \\(\\blacksquare\\)\n\n### Sposób 2 - Środkowa liczba\nNiech \\(n\\) będzie parzystą liczbą środkową, \\(n \\ge 2\\). Wtedy trzy kolejne liczby: \\(n-2, n, n+2\\).\nSuma sześcianów:\n\\[(n-2)^3 + n^3 + (n+2)^3 = (n^3 - 6n^2 + 12n - 8) + n^3 + (n^3 + 6n^2 + 12n + 8) = 3n^3 + 24n.\\]\n\n\\(n\\) parzyste \\(\\Rightarrow n = 2k \\Rightarrow n^3 = 8k^3\\), więc \\(3n^3 = 24k^3\\) - podzielne przez \\(24\\).\n\\(24n\\) oczywiście podzielne przez \\(24\\).\n\nSuma: \\(3n^3 + 24n = 24k^3 + 24n = 24(k^3 + n)\\) - podzielne przez \\(24\\). \\(\\blacksquare\\)\n\n### Sposób 3 - Wyłączanie \\(2\\) z każdej liczby\nTrzy kolejne parzyste: \\(2m, 2m+2, 2m+4 = 2(m), 2(m+1), 2(m+2)\\), gdzie \\(m \\in \\mathbb{N}\\).\n\\[8m^3 + 8(m+1)^3 + 8(m+2)^3 = 8\\left[m^3 + (m+1)^3 + (m+2)^3\\right].\\]\nRozwinięcie: \\(m^3 + (m+1)^3 + (m+2)^3 = 3m^3 + 9m^2 + 15m + 9 = 3(m^3 + 3m^2 + 5m + 3)\\).\nWięc suma = \\(8 \\cdot 3 \\cdot (m^3 + 3m^2 + 5m + 3) = 24(m^3 + 3m^2 + 5m + 3)\\). \\(\\blacksquare\\)\n\n### Pułapki\n- Pominięcie pełnego rozwinięcia \\((2n+2)^3\\) i \\((2n+4)^3\\) prowadzi do błędów.\n- Wybór parametryzacji: najwygodniejszy jest \\((n-2, n, n+2)\\), bo kwadraty się kasują i otrzymujemy szybko \\(3n^3 + 24n\\).","image":"img/matematyka-2014-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad-28.webp","solution_image":"img/matematyka-2014-sierpien-poprawkowa-podstawowa/sol-28.svg","topics":"liczby_naturalne","page_from":14,"source":"maturazai","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Inne · sierpień 2014 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Inne","text_html":"

Zadanie 28. (2 pkt)
Wykaż, że suma sześcianów trzech kolejnych liczb naturalnych parzystych jest podzielna
przez 24.

\n

Poziom podstawowy
15
Wykaż, że suma sześcianów trzech kolejnych liczb naturalnych parzystych jest podzielna przez 24. Zadanie z matury poprawkowej z matematyki - sierpień 2014.

","solutions":[{"source":"site","label":"matematykaszkolna.pl","kind":"image","image":"/img/matematyka-2014-sierpien-poprawkowa-podstawowa/sol-28.svg"},{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"

Poprawna odpowiedź: suma sześcianów trzech kolejnych liczb naturalnych parzystych jest zawsze podzielna przez 24.

\n

(Zadanie otwarte - należy przeprowadzić pełny dowód.)

\n

Sposób 1 - parametryzacja od pierwszego wyrazu

\n

Oznaczenie: Niech trzy kolejne parzyste liczby naturalne to \\(2n,\\ 2n+2,\\ 2n+4\\), gdzie \\(n \\in \\mathbb{N}\\).

\n

Obliczamy sumę sześcianów:

\n

\\[S = (2n)^3 + (2n+2)^3 + (2n+4)^3\\]

\n

Wyciągamy czynnik \\(8\\) z każdego wyrazu (bo \\((2k)^3 = 8k^3\\)):

\n

\\[S = 8n^3 + 8(n+1)^3 + 8(n+2)^3 = 8\\bigl[n^3 + (n+1)^3 + (n+2)^3\\bigr]\\]

\n

Rozwijamy nawiasy:

\n

\\[(n+1)^3 = n^3 + 3n^2 + 3n + 1\\]

\n

\\[(n+2)^3 = n^3 + 6n^2 + 12n + 8\\]

\n

Sumujemy:

\n

\\[n^3 + (n^3 + 3n^2 + 3n + 1) + (n^3 + 6n^2 + 12n + 8) = 3n^3 + 9n^2 + 15n + 9\\]

\n

Wyciągamy czynnik 3:

\n

\\[= 3(n^3 + 3n^2 + 5n + 3)\\]

\n

Zatem:

\n

\\[S = 8 \\cdot 3(n^3 + 3n^2 + 5n + 3) = 24(n^3 + 3n^2 + 5n + 3)\\]

\n

Ponieważ \\(n \\in \\mathbb{N}\\), wyrażenie \\(n^3 + 3n^2 + 5n + 3\\) jest liczbą całkowitą.

\n

Stąd \\(S = 24k\\) dla \\(k = n^3 + 3n^2 + 5n + 3 \\in \\mathbb{N}\\), czyli \\(24 \\mid S\\). \\(\\blacksquare\\)

\n

Sposób 2 - symetryczna parametryzacja (elegancki trick)

\n

Pomysł: Wybieramy oznaczenie symetryczne - niech środkowa liczba to \\(2n\\), a trzy kolejne liczby parzyste to:

\n

\\[2n-2, \\quad 2n, \\quad 2n+2\\]

\n

(gdzie \\(n \\geq 1\\), by pierwsza liczba była dodatnia).

\n

Obliczamy sumę sześcianów:

\n

\\[S = (2n-2)^3 + (2n)^3 + (2n+2)^3\\]

\n

\\[= 8(n-1)^3 + 8n^3 + 8(n+1)^3 = 8\\bigl[(n-1)^3 + n^3 + (n+1)^3\\bigr]\\]

\n

Rozwijamy skrajne wyrazy i sumujemy:

\n

\\[(n-1)^3 = n^3 - 3n^2 + 3n - 1\\]

\n

\\[(n+1)^3 = n^3 + 3n^2 + 3n + 1\\]

\n

\\[(n-1)^3 + n^3 + (n+1)^3 = (n^3 - 3n^2 + 3n - 1) + n^3 + (n^3 + 3n^2 + 3n + 1)\\]

\n

Wyrazy \\(\\pm 3n^2\\) i \\(\\pm 1\\) znoszą się:

\n

\\[= 3n^3 + 6n = 3n(n^2 + 2)\\]

\n

Zatem:

\n

\\[S = 8 \\cdot 3n(n^2 + 2) = 24n(n^2+2)\\]

\n

Wyrażenie \\(n(n^2+2)\\) jest liczbą naturalną dla każdego \\(n \\in \\mathbb{N}\\), więc:

\n

\\[\\boxed{S = 24 \\cdot n(n^2+2)}\\]

\n

co oznacza, że \\(24 \\mid S\\). \\(\\blacksquare\\)

\n
Dlaczego Sposób 2 jest elegantszy? Symetryczne oznaczenie powoduje, że człony \\(\\pm 3n^2\\) i \\(\\pm 1\\) kasują się parami - bez żmudnego zbierania wyrazów. To klasyczny trick w zadaniach dowodowych!
\n

Weryfikacja liczbowa:

\n\n

Wzory z karty CKE

\n

Dział 6 (Wzory skróconego mnożenia, s. 7) - wzór na sześcian sumy:

\n

\\[(a+b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3\\]

\n

Użyliśmy go w obu sposobach do rozwinięcia \\((n+1)^3\\), \\((n+2)^3\\), \\((n-1)^3\\), \\((n+1)^3\\).

\n

Typowe pułapki i uwaga

\n
⚠️ Uwaga: Nie wystarczy sprawdzić kilku przypadków liczbowych - to NIE jest dowód. Dowód musi działać dla ogólnego \\(n\\).
\n
⚠️ Uwaga: Pamiętaj, że „kolejne liczby parzyste" to \\(2n, 2n+2, 2n+4\\) - różnica wynosi \\(2\\), nie \\(1\\). Częsty błąd: wzięcie \\(n, n+1, n+2\\) bez warunku parzystości.
\n
⚠️ Uwaga: Po wyciągnięciu \\(8\\) przed nawias wciąż musisz pokazać, że pozostałe wyrażenie jest podzielne przez \\(3\\) - samo \\(8\\) nie wystarczy do podzielności przez \\(24 = 8 \\cdot 3\\).
\n

Dowód: suma jest podzielna przez \\(24\\)

\n
Sposób 1 - Parametryzacja trzema kolejnymi parzystymi
\n

Niech trzy kolejne liczby naturalne parzyste to \\(2n, 2n+2, 2n+4\\), gdzie \\(n \\in \\mathbb{N}\\).

\n

Suma ich sześcianów:
\\[(2n)^3 + (2n+2)^3 + (2n+4)^3.\\]

\n

Obliczamy każdy składnik:
\\((2n)^3 = 8n^3\\).
\\((2n+2)^3 = 8n^3 + 3 \\cdot 4n^2 \\cdot 2 + 3 \\cdot 2n \\cdot 4 + 8 = 8n^3 + 24n^2 + 24n + 8\\).
\\((2n+4)^3 = 8n^3 + 3 \\cdot 4n^2 \\cdot 4 + 3 \\cdot 2n \\cdot 16 + 64 = 8n^3 + 48n^2 + 96n + 64\\).

\n

Suma:
\\[24n^3 + 72n^2 + 120n + 72.\\]

\n

Wyciągamy \\(24\\) przed nawias:
\\[= 24(n^3 + 3n^2 + 5n + 3).\\]

\n

Ponieważ \\(n^3 + 3n^2 + 5n + 3\\) jest liczbą całkowitą (gdy \\(n\\) całkowite), suma jest podzielna przez \\(24\\). \\(\\blacksquare\\)

\n
Sposób 2 - Środkowa liczba
\n

Niech \\(n\\) będzie parzystą liczbą środkową, \\(n \\ge 2\\). Wtedy trzy kolejne liczby: \\(n-2, n, n+2\\).
Suma sześcianów:
\\[(n-2)^3 + n^3 + (n+2)^3 = (n^3 - 6n^2 + 12n - 8) + n^3 + (n^3 + 6n^2 + 12n + 8) = 3n^3 + 24n.\\]

\n

\\(n\\) parzyste \\(\\Rightarrow n = 2k \\Rightarrow n^3 = 8k^3\\), więc \\(3n^3 = 24k^3\\) - podzielne przez \\(24\\).
\\(24n\\) oczywiście podzielne przez \\(24\\).

\n

Suma: \\(3n^3 + 24n = 24k^3 + 24n = 24(k^3 + n)\\) - podzielne przez \\(24\\). \\(\\blacksquare\\)

\n
Sposób 3 - Wyłączanie \\(2\\) z każdej liczby
\n

Trzy kolejne parzyste: \\(2m, 2m+2, 2m+4 = 2(m), 2(m+1), 2(m+2)\\), gdzie \\(m \\in \\mathbb{N}\\).
\\[8m^3 + 8(m+1)^3 + 8(m+2)^3 = 8\\left[m^3 + (m+1)^3 + (m+2)^3\\right].\\]
Rozwinięcie: \\(m^3 + (m+1)^3 + (m+2)^3 = 3m^3 + 9m^2 + 15m + 9 = 3(m^3 + 3m^2 + 5m + 3)\\).
Więc suma = \\(8 \\cdot 3 \\cdot (m^3 + 3m^2 + 5m + 3) = 24(m^3 + 3m^2 + 5m + 3)\\). \\(\\blacksquare\\)

\n
Pułapki
\n"}]}