{"id":"matematyka-2014-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad/29","paper_id":"matematyka-2014-sierpien-poprawkowa-podstawowa","number":"29","points":2,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"inne","year":2014,"month":"sierpien","level":"podstawowa","text":"Zadanie 29. (2 pkt)\nKąt  jest ostry oraz\n2\n2\n4\n4\n25\nsin\ncos\n\n\n\n\n. Oblicz wartość wyrażenia sin\ncos\n\n\n\nOdpowiedź:\nWypełnia\negzaminator\nNr zadania\n28.\n29.\nMaks. liczba pkt\n2\n2\nUzyskana liczba pkt\n\nPoziom podstawowy\n16\nA\nB\nC\nD\nE\nF\nKąt alfa jest ostry oraz 4 / sin^2alfa + 4 / cos^2 alfa = 25. Oblicz wartość wyrażenia sin alfa * cos alfa. Zadanie z matury poprawkowej z matematyki - sierpień 2014.","answer":null,"answer_text":null,"solution":"## Poprawna odpowiedź: A = \\(\\dfrac{2}{5}\\)\n\n## Sposób 1 - Jedynka trygonometryczna + sprowadzenie do iloczynu\n\n**Mamy warunek:**\n\\[\\frac{4}{\\sin^2\\alpha} + \\frac{4}{\\cos^2\\alpha} = 25\\]\n\n**Krok 1: Sprowadź do wspólnego mianownika.**\n\n\\[\\frac{4\\cos^2\\alpha + 4\\sin^2\\alpha}{\\sin^2\\alpha \\cdot \\cos^2\\alpha} = 25\\]\n\n**Krok 2: Zauważ, że licznik zawiera jedynkę trygonometryczną.**\n\nW liczniku mamy \\(4(\\cos^2\\alpha + \\sin^2\\alpha)\\). Ponieważ \\(\\sin^2\\alpha + \\cos^2\\alpha = 1\\), całość upraszcza się pięknie:\n\n\\[\\frac{4 \\cdot 1}{\\sin^2\\alpha \\cdot \\cos^2\\alpha} = 25\\]\n\n**Krok 3: Wyraź \\(\\sin^2\\alpha \\cdot \\cos^2\\alpha\\).**\n\n\\[\\sin^2\\alpha \\cdot \\cos^2\\alpha = \\frac{4}{25}\\]\n\n**Krok 4: Wyciągnij pierwiastek.**\n\n\\[(\\sin\\alpha \\cdot \\cos\\alpha)^2 = \\frac{4}{25}\\]\n\n\\[\\sin\\alpha \\cdot \\cos\\alpha = \\pm\\frac{2}{5}\\]\n\nPonieważ \\(\\alpha\\) jest kątem ostrym, to \\(\\sin\\alpha > 0\\) i \\(\\cos\\alpha > 0\\), więc iloczyn jest **dodatni**.\n\n\\[\\boxed{\\sin\\alpha \\cdot \\cos\\alpha = \\frac{2}{5}}\\]\n\n## Sposób 2 - Przez \\(\\sin 2\\alpha\\)\n\nKorzystamy z tożsamości:\n\\[\\sin 2\\alpha = 2\\sin\\alpha\\cos\\alpha\\]\n\nZ Sposobu 1 wiemy, że \\(\\sin^2\\alpha \\cdot \\cos^2\\alpha = \\frac{4}{25}\\), czyli:\n\n\\[(\\sin\\alpha\\cos\\alpha)^2 = \\frac{4}{25}\\]\n\n\\[\\left(\\frac{\\sin 2\\alpha}{2}\\right)^2 = \\frac{4}{25}\\]\n\n\\[\\frac{\\sin^2 2\\alpha}{4} = \\frac{4}{25}\\]\n\n\\[\\sin^2 2\\alpha = \\frac{16}{25}\\]\n\n\\[\\sin 2\\alpha = \\frac{4}{5}\\]\n\n(znak dodatni, bo \\(\\alpha\\) ostry \\(\\Rightarrow\\) \\(2\\alpha \\in (0°, 180°)\\), więc \\(\\sin 2\\alpha > 0\\))\n\nStąd:\n\\[\\sin\\alpha \\cdot \\cos\\alpha = \\frac{\\sin 2\\alpha}{2} = \\frac{4}{5} \\cdot \\frac{1}{2} = \\frac{2}{5}\\]\n\n**Wynik zgodny - \\(\\sin\\alpha \\cdot \\cos\\alpha = \\dfrac{2}{5}\\).** ✓\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 9 (Trygonometria, s. 11-14)** - jedynka trygonometryczna:\n\\[\\sin^2\\alpha + \\cos^2\\alpha = 1\\]\nKluczowy krok - bez niej licznik by nie zniknął.\n\n**Dział 9 (Trygonometria, s. 13)** - wzór na sinus podwojonego kąta (Sposób 2):\n\\[\\sin 2\\alpha = 2\\sin\\alpha\\cos\\alpha\\]\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Błąd |\n| B (\\(\\frac{4}{25}\\)) | Uczeń zatrzymuje się na kroku \\(\\sin^2\\alpha \\cdot \\cos^2\\alpha = \\frac{4}{25}\\) i **nie wyciąga pierwiastka** - podaje wartość kwadratu zamiast samego iloczynu |\n| C (\\(\\frac{1}{5}\\)) | Błąd w obliczaniu pierwiastka: \\(\\sqrt{\\frac{4}{25}} = \\frac{\\sqrt{4}}{\\sqrt{25}} = \\frac{2}{5}\\), ale ktoś może liczyć \\(\\frac{\\sqrt{4}}{25} = \\frac{2}{25}\\) lub popełnić inny błąd arytmetyczny |\n| D | Np. pominięcie jedynki trygonometrycznej i błędne uproszczenie licznika |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Najczęstszy błąd to **zatrzymanie się na** \\((\\sin\\alpha\\cos\\alpha)^2 = \\frac{4}{25}\\) - odpowiedź B. Pamiętaj, że zadanie pyta o \\(\\sin\\alpha\\cos\\alpha\\), nie o jego kwadrat!\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Kąt ostry daje nam **jednoznaczny znak** - oba czynniki są dodatnie, więc odrzucamy ujemny pierwiastek. Gdyby kąt był z innej ćwiartki, trzeba by sprawdzić znaki osobno.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Sprowadzanie do wspólnego mianownika w ułamkach \\(\\frac{4}{\\sin^2\\alpha} + \\frac{4}{\\cos^2\\alpha}\\) - mianownik to **iloczyn** \\(\\sin^2\\alpha \\cdot \\cos^2\\alpha\\), nie suma. Nie mylić!\n\n**Odpowiedź: \\(\\sin\\alpha\\cos\\alpha = \\dfrac{2}{5}\\)**\n\n### Sposób 1 - Wspólny mianownik i jedynka trygonometryczna\nSprowadzamy lewą stronę do wspólnego mianownika:\n\\[\\dfrac{4}{\\sin^2\\alpha} + \\dfrac{4}{\\cos^2\\alpha} = \\dfrac{4\\cos^2\\alpha + 4\\sin^2\\alpha}{\\sin^2\\alpha\\cos^2\\alpha} = \\dfrac{4(\\sin^2\\alpha + \\cos^2\\alpha)}{\\sin^2\\alpha\\cos^2\\alpha}.\\]\n\nZ jedynki trygonometrycznej \\(\\sin^2\\alpha + \\cos^2\\alpha = 1\\):\n\\[\\dfrac{4}{\\sin^2\\alpha\\cos^2\\alpha} = 25.\\]\n\nStąd:\n\\[\\sin^2\\alpha\\cos^2\\alpha = \\dfrac{4}{25}.\\]\n\\[(\\sin\\alpha\\cos\\alpha)^2 = \\dfrac{4}{25}.\\]\n\\[\\sin\\alpha\\cos\\alpha = \\pm\\dfrac{2}{5}.\\]\n\nKąt \\(\\alpha\\) ostry \\(\\Rightarrow \\sin\\alpha > 0\\) i \\(\\cos\\alpha > 0\\), więc \\(\\sin\\alpha\\cos\\alpha > 0\\):\n\\[\\sin\\alpha\\cos\\alpha = \\dfrac{2}{5}.\\]\n\n### Sposób 2 - Przez \\(\\sin 2\\alpha\\)\n\\(\\sin 2\\alpha = 2\\sin\\alpha\\cos\\alpha\\), więc \\(\\sin\\alpha\\cos\\alpha = \\tfrac{1}{2}\\sin 2\\alpha\\).\nZ treści zadania: \\(\\tfrac{4}{\\sin^2\\alpha\\cos^2\\alpha} = 25\\), czyli \\((\\sin\\alpha\\cos\\alpha)^2 = \\tfrac{4}{25}\\). Dla \\(\\alpha\\) ostrego otrzymujemy \\(\\sin\\alpha\\cos\\alpha = \\tfrac{2}{5}\\).\n\n### Sposób 3 - Trójkąt prostokątny\nW trójkącie prostokątnym o przyprostokątnych \\(a, b\\) i przeciwprostokątnej \\(c\\): \\(\\sin\\alpha = \\tfrac{a}{c}, \\cos\\alpha = \\tfrac{b}{c}\\).\n\\(\\tfrac{4c^2}{a^2} + \\tfrac{4c^2}{b^2} = 25 \\Rightarrow \\tfrac{4c^2(a^2+b^2)}{a^2b^2} = 25\\).\nZ Pitagorasa \\(a^2 + b^2 = c^2\\):\n\\(\\tfrac{4c^4}{a^2b^2} = 25 \\Rightarrow \\tfrac{a^2b^2}{c^4} = \\tfrac{4}{25}\\).\nStąd \\(\\sin^2\\alpha\\cos^2\\alpha = \\tfrac{4}{25}\\) oraz \\(\\sin\\alpha\\cos\\alpha = \\tfrac{2}{5}\\).\n\n### Weryfikacja\nDla \\(\\sin\\alpha\\cos\\alpha = \\tfrac{2}{5}\\): \\(\\sin^2\\alpha\\cos^2\\alpha = \\tfrac{4}{25}\\).\n\\(\\tfrac{4}{\\sin^2\\alpha\\cos^2\\alpha} = \\tfrac{4}{\\tfrac{4}{25}} = 25\\) ✓.\n\n### Pułapki\n- Kąt ostry \\(\\Rightarrow\\) bierzemy znak **dodatni** przy pierwiastku kwadratowym.\n- Jedynka trygonometryczna jest kluczowa - pozwala uprościć licznik do \\(4\\).","image":"img/matematyka-2014-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad-29.webp","solution_image":"img/matematyka-2014-sierpien-poprawkowa-podstawowa/sol-29.svg","topics":"trygonometria","page_from":15,"source":"maturazai","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Inne · sierpień 2014 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Inne","text_html":"

Zadanie 29. (2 pkt)
Kąt  jest ostry oraz
2
2
4
4
25
sin
cos




. Oblicz wartość wyrażenia sin
cos



Odpowiedź:
Wypełnia
egzaminator
Nr zadania
28.
29.
Maks. liczba pkt
2
2
Uzyskana liczba pkt

\n

Poziom podstawowy
16
A
B
C
D
E
F
Kąt alfa jest ostry oraz 4 / sin^2alfa + 4 / cos^2 alfa = 25. Oblicz wartość wyrażenia sin alfa * cos alfa. Zadanie z matury poprawkowej z matematyki - sierpień 2014.

","solutions":[{"source":"site","label":"matematykaszkolna.pl","kind":"image","image":"/img/matematyka-2014-sierpien-poprawkowa-podstawowa/sol-29.svg"},{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"

Poprawna odpowiedź: A = \\(\\dfrac{2}{5}\\)

\n

Sposób 1 - Jedynka trygonometryczna + sprowadzenie do iloczynu

\n

Mamy warunek:
\\[\\frac{4}{\\sin^2\\alpha} + \\frac{4}{\\cos^2\\alpha} = 25\\]

\n

Krok 1: Sprowadź do wspólnego mianownika.

\n

\\[\\frac{4\\cos^2\\alpha + 4\\sin^2\\alpha}{\\sin^2\\alpha \\cdot \\cos^2\\alpha} = 25\\]

\n

Krok 2: Zauważ, że licznik zawiera jedynkę trygonometryczną.

\n

W liczniku mamy \\(4(\\cos^2\\alpha + \\sin^2\\alpha)\\). Ponieważ \\(\\sin^2\\alpha + \\cos^2\\alpha = 1\\), całość upraszcza się pięknie:

\n

\\[\\frac{4 \\cdot 1}{\\sin^2\\alpha \\cdot \\cos^2\\alpha} = 25\\]

\n

Krok 3: Wyraź \\(\\sin^2\\alpha \\cdot \\cos^2\\alpha\\).

\n

\\[\\sin^2\\alpha \\cdot \\cos^2\\alpha = \\frac{4}{25}\\]

\n

Krok 4: Wyciągnij pierwiastek.

\n

\\[(\\sin\\alpha \\cdot \\cos\\alpha)^2 = \\frac{4}{25}\\]

\n

\\[\\sin\\alpha \\cdot \\cos\\alpha = \\pm\\frac{2}{5}\\]

\n

Ponieważ \\(\\alpha\\) jest kątem ostrym, to \\(\\sin\\alpha > 0\\) i \\(\\cos\\alpha > 0\\), więc iloczyn jest dodatni.

\n

\\[\\boxed{\\sin\\alpha \\cdot \\cos\\alpha = \\frac{2}{5}}\\]

\n

Sposób 2 - Przez \\(\\sin 2\\alpha\\)

\n

Korzystamy z tożsamości:
\\[\\sin 2\\alpha = 2\\sin\\alpha\\cos\\alpha\\]

\n

Z Sposobu 1 wiemy, że \\(\\sin^2\\alpha \\cdot \\cos^2\\alpha = \\frac{4}{25}\\), czyli:

\n

\\[(\\sin\\alpha\\cos\\alpha)^2 = \\frac{4}{25}\\]

\n

\\[\\left(\\frac{\\sin 2\\alpha}{2}\\right)^2 = \\frac{4}{25}\\]

\n

\\[\\frac{\\sin^2 2\\alpha}{4} = \\frac{4}{25}\\]

\n

\\[\\sin^2 2\\alpha = \\frac{16}{25}\\]

\n

\\[\\sin 2\\alpha = \\frac{4}{5}\\]

\n

(znak dodatni, bo \\(\\alpha\\) ostry \\(\\Rightarrow\\) \\(2\\alpha \\in (0°, 180°)\\), więc \\(\\sin 2\\alpha > 0\\))

\n

Stąd:
\\[\\sin\\alpha \\cdot \\cos\\alpha = \\frac{\\sin 2\\alpha}{2} = \\frac{4}{5} \\cdot \\frac{1}{2} = \\frac{2}{5}\\]

\n

Wynik zgodny - \\(\\sin\\alpha \\cdot \\cos\\alpha = \\dfrac{2}{5}\\). ✓

\n

Wzory z karty CKE

\n

Dział 9 (Trygonometria, s. 11-14) - jedynka trygonometryczna:
\\[\\sin^2\\alpha + \\cos^2\\alpha = 1\\]
Kluczowy krok - bez niej licznik by nie zniknął.

\n

Dział 9 (Trygonometria, s. 13) - wzór na sinus podwojonego kąta (Sposób 2):
\\[\\sin 2\\alpha = 2\\sin\\alpha\\cos\\alpha\\]

\n

Dlaczego inne odpowiedzi są błędne

\n

| Odp. | Błąd |
| B (\\(\\frac{4}{25}\\)) | Uczeń zatrzymuje się na kroku \\(\\sin^2\\alpha \\cdot \\cos^2\\alpha = \\frac{4}{25}\\) i nie wyciąga pierwiastka - podaje wartość kwadratu zamiast samego iloczynu |
| C (\\(\\frac{1}{5}\\)) | Błąd w obliczaniu pierwiastka: \\(\\sqrt{\\frac{4}{25}} = \\frac{\\sqrt{4}}{\\sqrt{25}} = \\frac{2}{5}\\), ale ktoś może liczyć \\(\\frac{\\sqrt{4}}{25} = \\frac{2}{25}\\) lub popełnić inny błąd arytmetyczny |
| D | Np. pominięcie jedynki trygonometrycznej i błędne uproszczenie licznika |

\n

Typowe pułapki i uwagi

\n
⚠️ Uwaga: Najczęstszy błąd to zatrzymanie się na \\((\\sin\\alpha\\cos\\alpha)^2 = \\frac{4}{25}\\) - odpowiedź B. Pamiętaj, że zadanie pyta o \\(\\sin\\alpha\\cos\\alpha\\), nie o jego kwadrat!
\n
⚠️ Uwaga: Kąt ostry daje nam jednoznaczny znak - oba czynniki są dodatnie, więc odrzucamy ujemny pierwiastek. Gdyby kąt był z innej ćwiartki, trzeba by sprawdzić znaki osobno.
\n
⚠️ Uwaga: Sprowadzanie do wspólnego mianownika w ułamkach \\(\\frac{4}{\\sin^2\\alpha} + \\frac{4}{\\cos^2\\alpha}\\) - mianownik to iloczyn \\(\\sin^2\\alpha \\cdot \\cos^2\\alpha\\), nie suma. Nie mylić!
\n

Odpowiedź: \\(\\sin\\alpha\\cos\\alpha = \\dfrac{2}{5}\\)

\n
Sposób 1 - Wspólny mianownik i jedynka trygonometryczna
\n

Sprowadzamy lewą stronę do wspólnego mianownika:
\\[\\dfrac{4}{\\sin^2\\alpha} + \\dfrac{4}{\\cos^2\\alpha} = \\dfrac{4\\cos^2\\alpha + 4\\sin^2\\alpha}{\\sin^2\\alpha\\cos^2\\alpha} = \\dfrac{4(\\sin^2\\alpha + \\cos^2\\alpha)}{\\sin^2\\alpha\\cos^2\\alpha}.\\]

\n

Z jedynki trygonometrycznej \\(\\sin^2\\alpha + \\cos^2\\alpha = 1\\):
\\[\\dfrac{4}{\\sin^2\\alpha\\cos^2\\alpha} = 25.\\]

\n

Stąd:
\\[\\sin^2\\alpha\\cos^2\\alpha = \\dfrac{4}{25}.\\]
\\[(\\sin\\alpha\\cos\\alpha)^2 = \\dfrac{4}{25}.\\]
\\[\\sin\\alpha\\cos\\alpha = \\pm\\dfrac{2}{5}.\\]

\n

Kąt \\(\\alpha\\) ostry \\(\\Rightarrow \\sin\\alpha > 0\\) i \\(\\cos\\alpha > 0\\), więc \\(\\sin\\alpha\\cos\\alpha > 0\\):
\\[\\sin\\alpha\\cos\\alpha = \\dfrac{2}{5}.\\]

\n
Sposób 2 - Przez \\(\\sin 2\\alpha\\)
\n

\\(\\sin 2\\alpha = 2\\sin\\alpha\\cos\\alpha\\), więc \\(\\sin\\alpha\\cos\\alpha = \\tfrac{1}{2}\\sin 2\\alpha\\).
Z treści zadania: \\(\\tfrac{4}{\\sin^2\\alpha\\cos^2\\alpha} = 25\\), czyli \\((\\sin\\alpha\\cos\\alpha)^2 = \\tfrac{4}{25}\\). Dla \\(\\alpha\\) ostrego otrzymujemy \\(\\sin\\alpha\\cos\\alpha = \\tfrac{2}{5}\\).

\n
Sposób 3 - Trójkąt prostokątny
\n

W trójkącie prostokątnym o przyprostokątnych \\(a, b\\) i przeciwprostokątnej \\(c\\): \\(\\sin\\alpha = \\tfrac{a}{c}, \\cos\\alpha = \\tfrac{b}{c}\\).
\\(\\tfrac{4c^2}{a^2} + \\tfrac{4c^2}{b^2} = 25 \\Rightarrow \\tfrac{4c^2(a^2+b^2)}{a^2b^2} = 25\\).
Z Pitagorasa \\(a^2 + b^2 = c^2\\):
\\(\\tfrac{4c^4}{a^2b^2} = 25 \\Rightarrow \\tfrac{a^2b^2}{c^4} = \\tfrac{4}{25}\\).
Stąd \\(\\sin^2\\alpha\\cos^2\\alpha = \\tfrac{4}{25}\\) oraz \\(\\sin\\alpha\\cos\\alpha = \\tfrac{2}{5}\\).

\n
Weryfikacja
\n

Dla \\(\\sin\\alpha\\cos\\alpha = \\tfrac{2}{5}\\): \\(\\sin^2\\alpha\\cos^2\\alpha = \\tfrac{4}{25}\\).
\\(\\tfrac{4}{\\sin^2\\alpha\\cos^2\\alpha} = \\tfrac{4}{\\tfrac{4}{25}} = 25\\) ✓.

\n
Pułapki
\n"},{"source":"zadaniazmatur","label":"zadaniazmatur.pl","kind":"text","html":"

$\\dfrac{2}{5}$

"}]}