{"id":"matematyka-2014-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad/30","paper_id":"matematyka-2014-sierpien-poprawkowa-podstawowa","number":"30","points":2,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"inne","year":2014,"month":"sierpien","level":"podstawowa","text":"Zadanie 30. (2 pkt)\nDany jest trójkąt ABC, w którym AC\nBC\n\n. Na bokach AC i BC tego trójkąta obrano\nodpowiednio takie punkty D i E, że zachodzi równość CD\nCE\n\n. Proste AB i DE przecinają\nsię w punkcie F (zobacz rysunek). Wykaż, że\n2\nBAC\nABC\nAFD\n\n\n\n\n\n\nPoziom podstawowy\n17\nDany jest trójkąt ABC, w którym |AC|>|BC|. Na bokach AC i BC tego trójkąta obrano odpowiednio takie punkty D i E, że zachodzi równość |CD|=|CE|. Proste AB i DE przecinają się w punkcie F (zobacz rysunek). Wykaż, że |kąt BAC| = |kąt ABC| - 2*|kąt AFD|. Zadanie z matury poprawkowej z matematyki - sierpień 2014.","answer":null,"answer_text":null,"solution":"## Poprawna odpowiedź: dowód - teza jest prawdziwa\n\nZadanie otwarte. Teza: \\(|\\angle BAC| = |\\angle ABC| - 2\\cdot|\\angle AFD|\\).\n\n**Oznaczenia pomocnicze:**\n\\[\\alpha = |\\angle BAC|, \\quad \\beta = |\\angle ABC|, \\quad \\gamma = |\\angle BCA|, \\quad \\varphi = |\\angle AFD|\\]\nTeza przyjmuje postać: \\(\\alpha = \\beta - 2\\varphi\\), czyli \\(2\\varphi = \\beta - \\alpha\\).\n\n*(Uwaga: warunek \\(|AC| > |BC|\\) gwarantuje \\(\\beta > \\alpha\\) - kąt naprzeciwko dłuższego boku jest większy - więc prawa strona jest dodatnia i zadanie ma sens geometryczny.)*\n\n## Sposób 1 - Kąty w trójkącie \\(ADF\\)\n\n**Krok 1. Kąt \\(\\angle CDE\\) w trójkącie równoramiennym \\(CDE\\).**\n\nSkoro \\(|CD| = |CE|\\), trójkąt \\(CDE\\) jest równoramienny z wierzchołkiem \\(C\\). Kąty przy podstawie:\n\\[|\\angle CDE| = |\\angle CED| = \\frac{180° - \\gamma}{2} = 90° - \\frac{\\gamma}{2}\\]\n\n**Krok 2. Kąt \\(\\angle ADF\\) - kąt suplementarny.**\n\nPunkt \\(D\\) leży na odcinku \\(AC\\), więc promienie \\(DA\\) i \\(DC\\) są przeciwnymi promieniami (tworzą półprostą). Punkt \\(F\\) leży na prostej \\(DE\\) (po tej samej stronie co \\(F\\)), więc \\(\\angle ADF\\) i \\(\\angle CDE\\) są kątami suplementarnymi:\n\\[|\\angle ADF| = 180° - |\\angle CDE| = 180° - \\left(90° - \\frac{\\gamma}{2}\\right) = 90° + \\frac{\\gamma}{2}\\]\n\n**Krok 3. Suma kątów w trójkącie \\(ADF\\).**\n\nTrójkąt \\(ADF\\) ma wierzchołki: \\(A\\) - lewy dół, \\(D\\) - na boku \\(AC\\), \\(F\\) - na przedłużeniu \\(AB\\) za \\(B\\). Kąt przy \\(A\\) to \\(|\\angle DAF| = \\alpha\\) (ten sam co \\(\\angle BAC\\), bo \\(D\\) leży na promieniu \\(AC\\), a \\(F\\) na promieniu \\(AB\\)).\n\nZ twierdzenia o sumie kątów trójkąta:\n\\[|\\angle DAF| + |\\angle ADF| + |\\angle AFD| = 180°\\]\n\\[\\alpha + \\left(90° + \\frac{\\gamma}{2}\\right) + \\varphi = 180°\\]\n\\[\\varphi = 90° - \\frac{\\gamma}{2} - \\alpha\\]\n\n**Krok 4. Podstawienie \\(\\gamma = 180° - \\alpha - \\beta\\).**\n\n\\[\\varphi = 90° - \\frac{180° - \\alpha - \\beta}{2} - \\alpha = 90° - 90° + \\frac{\\alpha}{2} + \\frac{\\beta}{2} - \\alpha = \\frac{\\beta}{2} - \\frac{\\alpha}{2} = \\frac{\\beta - \\alpha}{2}\\]\n\nZatem:\n\\[2\\varphi = \\beta - \\alpha \\quad \\Longrightarrow \\quad \\boxed{\\alpha = \\beta - 2\\varphi}\\]\n\\[|\\angle BAC| = |\\angle ABC| - 2 \\cdot |\\angle AFD| \\qquad \\blacksquare\\]\n\n## Sposób 2 - Kąty w trójkącie \\(BEF\\) (metoda kątów zewnętrznych)\n\n**Krok 1.** Tak jak poprzednio:\n\\[|\\angle CED| = 90° - \\frac{\\gamma}{2}\\]\n\n**Krok 2. Kąt \\(\\angle BEF\\).**\n\nPunkt \\(E\\) leży na odcinku \\(BC\\), więc \\(\\angle CED\\) i \\(\\angle BED\\) są suplementarne:\n\\[|\\angle BED| = 180° - \\left(90° - \\frac{\\gamma}{2}\\right) = 90° + \\frac{\\gamma}{2}\\]\nPunkty \\(D\\), \\(E\\), \\(F\\) są współliniowe, więc \\(\\angle BEF\\) i \\(\\angle BED\\) są suplementarne:\n\\[|\\angle BEF| = 180° - \\left(90° + \\frac{\\gamma}{2}\\right) = 90° - \\frac{\\gamma}{2}\\]\n\n**Krok 3. Kąt \\(\\angle FBE\\).**\n\nPunkt \\(F\\) leży na przedłużeniu \\(AB\\) za \\(B\\), więc \\(\\angle FBE\\) i \\(\\angle ABE = \\beta\\) są suplementarne (bo \\(F\\), \\(B\\), \\(A\\) są współliniowe, \\(B\\) między \\(A\\) a \\(F\\)):\n\\[|\\angle FBE| = 180° - \\beta\\]\n\n**Krok 4. Suma kątów w trójkącie \\(BEF\\).**\n\n\\[|\\angle BFE| + |\\angle FBE| + |\\angle BEF| = 180°\\]\n\\[|\\angle BFE| + (180° - \\beta) + \\left(90° - \\frac{\\gamma}{2}\\right) = 180°\\]\n\\[|\\angle BFE| = \\beta - 90° + \\frac{\\gamma}{2} = \\beta - 90° + \\frac{180°-\\alpha-\\beta}{2} = \\frac{\\beta - \\alpha}{2}\\]\n\n**Krok 5.** Kąt \\(\\angle AFD\\) i \\(\\angle BFE\\) to **ten sam kąt**: od strony \\(F\\) promień \\(FA\\) = promień \\(FB\\) (bo kolejność punktów to \\(A\\), \\(B\\), \\(F\\)), a promień \\(FD\\) = promień \\(FE\\) (współliniowość \\(D, E, F\\)). Stąd:\n\\[\\varphi = |\\angle AFD| = |\\angle BFE| = \\frac{\\beta - \\alpha}{2}\\]\n\\[\\Longrightarrow \\quad \\alpha = \\beta - 2\\varphi \\qquad \\blacksquare\\]\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 10 (Planimetria, s. 15-17)** - twierdzenie o sumie kątów trójkąta:\n\n> Suma kątów wewnętrznych trójkąta wynosi \\(180°\\).\n\nUżyliśmy go w obu sposobach: w trójkącie \\(CDE\\) do wyznaczenia kątów przy podstawie, oraz w trójkącie \\(ADF\\) (lub \\(BEF\\)) do wyciągnięcia wzoru na \\(\\varphi\\).\n\nWprost ze wzoru karty na pole nie korzystamy - wystarczą definicje kątów i własność izoscelesowości.\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Łatwo pomylić, który kąt jest suplementarny. \\(D\\) leży **na odcinku** \\(AC\\), więc \\(\\angle CDE + \\angle ADF = 180°\\). Gdyby \\(D\\) leżało poza odcinkiem, ta zależność by nie zachodziła.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Kąt \\(\\angle AFD\\) i \\(\\angle BFE\\) to **ten sam kąt** - nie kąty wierzchołkowe, lecz dosłownie identyczne, bo \\(B\\) leży między \\(A\\) a \\(F\\) (wszystkie trzy na jednej prostej) i analogicznie \\(E\\) między \\(D\\) a \\(F\\). Tej obserwacji nie wolno pominąć.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Warunek \\(|AC| > |BC|\\) jest kluczowy - gwarantuje, że \\(\\beta > \\alpha\\), więc prawa strona \\(\\beta - 2\\varphi\\) jest rzeczywiście równa \\(\\alpha > 0\\), a punkt \\(F\\) leży **za \\(B\\)** (a nie za \\(A\\)). Gdyby \\(|AC| < |BC|\\), linia \\(DE\\) przecięłaby przedłużenie \\(AB\\) po drugiej stronie.\n\n**Dowód: \\(|\\angle BAC| = |\\angle ABC| - 2|\\angle AFD|\\)**\n\n### Oznaczenia\nNiech \\(|\\angle BAC| = \\alpha\\), \\(|\\angle ABC| = \\beta\\), \\(|\\angle AFD| = \\gamma\\).\n\n### Sposób 1 - Rachunek kątów\n**Krok 1.** Ponieważ \\(|\\angle ABC| = \\beta\\), a \\(F\\) leży na przedłużeniu \\(AB\\) poza \\(B\\), kąt \\(\\angle FBE\\) (przyległy do \\(\\angle ABC\\)):\n\\[|\\angle FBE| = 180^\\circ - \\beta.\\]\n\n**Krok 2.** W trójkącie \\(BEF\\) suma kątów = \\(180^\\circ\\):\n\\[|\\angle BEF| = 180^\\circ - |\\angle FBE| - |\\angle BFE| = 180^\\circ - (180^\\circ - \\beta) - \\gamma = \\beta - \\gamma.\\]\n\n**Krok 3.** Kąty wierzchołkowe: \\(|\\angle CED| = |\\angle BEF| = \\beta - \\gamma\\).\n\n**Krok 4.** Trójkąt \\(CDE\\) równoramienny (\\(|CD| = |CE|\\)), więc \\(|\\angle CDE| = |\\angle CED| = \\beta - \\gamma\\).\nZ sumy kątów w \\(CDE\\):\n\\[|\\angle DCE| = 180^\\circ - 2(\\beta - \\gamma) = 180^\\circ - 2\\beta + 2\\gamma.\\]\n\n**Krok 5.** Kąt \\(\\angle DCE = \\angle ACB\\) (ten sam kąt wierzchołka trójkąta \\(ABC\\)).\nZ sumy kątów w trójkącie \\(ABC\\):\n\\[\\alpha + \\beta + (180^\\circ - 2\\beta + 2\\gamma) = 180^\\circ,\\]\n\\[\\alpha + \\beta + 180^\\circ - 2\\beta + 2\\gamma = 180^\\circ,\\]\n\\[\\alpha = \\beta - 2\\gamma.\\]\n\nZatem \\(|\\angle BAC| = |\\angle ABC| - 2|\\angle AFD|\\). \\(\\blacksquare\\)\n\n### Sposób 2 - Przez czworokąt \\(ABED\\)\nNiech \\(|\\angle CED| = |\\angle CDE| = \\delta\\) (trójkąt \\(CDE\\) równoramienny).\nKąty wierzchołkowe: \\(|\\angle BEF| = \\delta\\). W trójkącie \\(BEF\\) kąt przy \\(B\\) = \\(180^\\circ - |\\angle ABC|\\), kąt przy \\(F\\) = \\(\\gamma\\), kąt przy \\(E\\) = \\(\\delta\\). Suma = \\(180^\\circ\\) daje \\(\\beta - \\gamma = \\delta\\).\n\nZ czworokąta \\(ABED\\) (\\(D\\) na \\(AC\\), \\(E\\) na \\(BC\\)) kąty \\(\\angle ADE = 180^\\circ - \\delta\\) (\\(\\angle CDE + \\angle ADE = 180^\\circ\\)) i podobnie \\(\\angle DEB = 180^\\circ - \\delta\\). Suma kątów w czworokącie = \\(360^\\circ\\):\n\\[\\alpha + \\beta + (180^\\circ - \\delta) + (180^\\circ - \\delta) = 360^\\circ,\\]\n\\[\\alpha + \\beta = 2\\delta = 2(\\beta - \\gamma),\\]\n\\[\\alpha = \\beta - 2\\gamma.\\]\n\n\\(\\blacksquare\\)\n\n### Pułapki\n- Prawidłowe zauważenie, że \\(\\angle FBE\\) jest przyległy do \\(\\angle ABC\\) - wymaga jasności co do położenia \\(F\\) (na przedłużeniu \\(AB\\) poza \\(B\\)).\n- Kąty wierzchołkowe \\(\\angle BEF = \\angle CED\\): oba proste \\(AB\\) i \\(DE\\) przecinają się w dwóch parach kątów.\n- Trójkąt \\(CDE\\) **równoramienny** - kluczowe: \\(|CD| = |CE|\\).","image":"img/matematyka-2014-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad-30.webp","solution_image":"img/matematyka-2014-sierpien-poprawkowa-podstawowa/sol-30.svg","topics":"dowody_geometryczne","page_from":16,"source":"maturazai","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Inne · sierpień 2014 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Inne","text_html":"

Zadanie 30. (2 pkt)
Dany jest trójkąt ABC, w którym AC
BC

. Na bokach AC i BC tego trójkąta obrano
odpowiednio takie punkty D i E, że zachodzi równość CD
CE

. Proste AB i DE przecinają
się w punkcie F (zobacz rysunek). Wykaż, że
2
BAC
ABC
AFD




\n

Poziom podstawowy
17
Dany jest trójkąt ABC, w którym |AC|>|BC|. Na bokach AC i BC tego trójkąta obrano odpowiednio takie punkty D i E, że zachodzi równość |CD|=|CE|. Proste AB i DE przecinają się w punkcie F (zobacz rysunek). Wykaż, że |kąt BAC| = |kąt ABC| - 2*|kąt AFD|. Zadanie z matury poprawkowej z matematyki - sierpień 2014.

","solutions":[{"source":"site","label":"matematykaszkolna.pl","kind":"image","image":"/img/matematyka-2014-sierpien-poprawkowa-podstawowa/sol-30.svg"},{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"

Poprawna odpowiedź: dowód - teza jest prawdziwa

\n

Zadanie otwarte. Teza: \\(|\\angle BAC| = |\\angle ABC| - 2\\cdot|\\angle AFD|\\).

\n

Oznaczenia pomocnicze:
\\[\\alpha = |\\angle BAC|, \\quad \\beta = |\\angle ABC|, \\quad \\gamma = |\\angle BCA|, \\quad \\varphi = |\\angle AFD|\\]
Teza przyjmuje postać: \\(\\alpha = \\beta - 2\\varphi\\), czyli \\(2\\varphi = \\beta - \\alpha\\).

\n

(Uwaga: warunek \\(|AC| > |BC|\\) gwarantuje \\(\\beta > \\alpha\\) - kąt naprzeciwko dłuższego boku jest większy - więc prawa strona jest dodatnia i zadanie ma sens geometryczny.)

\n

Sposób 1 - Kąty w trójkącie \\(ADF\\)

\n

Krok 1. Kąt \\(\\angle CDE\\) w trójkącie równoramiennym \\(CDE\\).

\n

Skoro \\(|CD| = |CE|\\), trójkąt \\(CDE\\) jest równoramienny z wierzchołkiem \\(C\\). Kąty przy podstawie:
\\[|\\angle CDE| = |\\angle CED| = \\frac{180° - \\gamma}{2} = 90° - \\frac{\\gamma}{2}\\]

\n

Krok 2. Kąt \\(\\angle ADF\\) - kąt suplementarny.

\n

Punkt \\(D\\) leży na odcinku \\(AC\\), więc promienie \\(DA\\) i \\(DC\\) są przeciwnymi promieniami (tworzą półprostą). Punkt \\(F\\) leży na prostej \\(DE\\) (po tej samej stronie co \\(F\\)), więc \\(\\angle ADF\\) i \\(\\angle CDE\\) są kątami suplementarnymi:
\\[|\\angle ADF| = 180° - |\\angle CDE| = 180° - \\left(90° - \\frac{\\gamma}{2}\\right) = 90° + \\frac{\\gamma}{2}\\]

\n

Krok 3. Suma kątów w trójkącie \\(ADF\\).

\n

Trójkąt \\(ADF\\) ma wierzchołki: \\(A\\) - lewy dół, \\(D\\) - na boku \\(AC\\), \\(F\\) - na przedłużeniu \\(AB\\) za \\(B\\). Kąt przy \\(A\\) to \\(|\\angle DAF| = \\alpha\\) (ten sam co \\(\\angle BAC\\), bo \\(D\\) leży na promieniu \\(AC\\), a \\(F\\) na promieniu \\(AB\\)).

\n

Z twierdzenia o sumie kątów trójkąta:
\\[|\\angle DAF| + |\\angle ADF| + |\\angle AFD| = 180°\\]
\\[\\alpha + \\left(90° + \\frac{\\gamma}{2}\\right) + \\varphi = 180°\\]
\\[\\varphi = 90° - \\frac{\\gamma}{2} - \\alpha\\]

\n

Krok 4. Podstawienie \\(\\gamma = 180° - \\alpha - \\beta\\).

\n

\\[\\varphi = 90° - \\frac{180° - \\alpha - \\beta}{2} - \\alpha = 90° - 90° + \\frac{\\alpha}{2} + \\frac{\\beta}{2} - \\alpha = \\frac{\\beta}{2} - \\frac{\\alpha}{2} = \\frac{\\beta - \\alpha}{2}\\]

\n

Zatem:
\\[2\\varphi = \\beta - \\alpha \\quad \\Longrightarrow \\quad \\boxed{\\alpha = \\beta - 2\\varphi}\\]
\\[|\\angle BAC| = |\\angle ABC| - 2 \\cdot |\\angle AFD| \\qquad \\blacksquare\\]

\n

Sposób 2 - Kąty w trójkącie \\(BEF\\) (metoda kątów zewnętrznych)

\n

Krok 1. Tak jak poprzednio:
\\[|\\angle CED| = 90° - \\frac{\\gamma}{2}\\]

\n

Krok 2. Kąt \\(\\angle BEF\\).

\n

Punkt \\(E\\) leży na odcinku \\(BC\\), więc \\(\\angle CED\\) i \\(\\angle BED\\) są suplementarne:
\\[|\\angle BED| = 180° - \\left(90° - \\frac{\\gamma}{2}\\right) = 90° + \\frac{\\gamma}{2}\\]
Punkty \\(D\\), \\(E\\), \\(F\\) są współliniowe, więc \\(\\angle BEF\\) i \\(\\angle BED\\) są suplementarne:
\\[|\\angle BEF| = 180° - \\left(90° + \\frac{\\gamma}{2}\\right) = 90° - \\frac{\\gamma}{2}\\]

\n

Krok 3. Kąt \\(\\angle FBE\\).

\n

Punkt \\(F\\) leży na przedłużeniu \\(AB\\) za \\(B\\), więc \\(\\angle FBE\\) i \\(\\angle ABE = \\beta\\) są suplementarne (bo \\(F\\), \\(B\\), \\(A\\) są współliniowe, \\(B\\) między \\(A\\) a \\(F\\)):
\\[|\\angle FBE| = 180° - \\beta\\]

\n

Krok 4. Suma kątów w trójkącie \\(BEF\\).

\n

\\[|\\angle BFE| + |\\angle FBE| + |\\angle BEF| = 180°\\]
\\[|\\angle BFE| + (180° - \\beta) + \\left(90° - \\frac{\\gamma}{2}\\right) = 180°\\]
\\[|\\angle BFE| = \\beta - 90° + \\frac{\\gamma}{2} = \\beta - 90° + \\frac{180°-\\alpha-\\beta}{2} = \\frac{\\beta - \\alpha}{2}\\]

\n

Krok 5. Kąt \\(\\angle AFD\\) i \\(\\angle BFE\\) to ten sam kąt: od strony \\(F\\) promień \\(FA\\) = promień \\(FB\\) (bo kolejność punktów to \\(A\\), \\(B\\), \\(F\\)), a promień \\(FD\\) = promień \\(FE\\) (współliniowość \\(D, E, F\\)). Stąd:
\\[\\varphi = |\\angle AFD| = |\\angle BFE| = \\frac{\\beta - \\alpha}{2}\\]
\\[\\Longrightarrow \\quad \\alpha = \\beta - 2\\varphi \\qquad \\blacksquare\\]

\n

Wzory z karty CKE

\n

Dział 10 (Planimetria, s. 15-17) - twierdzenie o sumie kątów trójkąta:

\n
Suma kątów wewnętrznych trójkąta wynosi \\(180°\\).
\n

Użyliśmy go w obu sposobach: w trójkącie \\(CDE\\) do wyznaczenia kątów przy podstawie, oraz w trójkącie \\(ADF\\) (lub \\(BEF\\)) do wyciągnięcia wzoru na \\(\\varphi\\).

\n

Wprost ze wzoru karty na pole nie korzystamy - wystarczą definicje kątów i własność izoscelesowości.

\n

Typowe pułapki i uwagi

\n
⚠️ Uwaga: Łatwo pomylić, który kąt jest suplementarny. \\(D\\) leży na odcinku \\(AC\\), więc \\(\\angle CDE + \\angle ADF = 180°\\). Gdyby \\(D\\) leżało poza odcinkiem, ta zależność by nie zachodziła.
\n
⚠️ Uwaga: Kąt \\(\\angle AFD\\) i \\(\\angle BFE\\) to ten sam kąt - nie kąty wierzchołkowe, lecz dosłownie identyczne, bo \\(B\\) leży między \\(A\\) a \\(F\\) (wszystkie trzy na jednej prostej) i analogicznie \\(E\\) między \\(D\\) a \\(F\\). Tej obserwacji nie wolno pominąć.
\n
⚠️ Uwaga: Warunek \\(|AC| > |BC|\\) jest kluczowy - gwarantuje, że \\(\\beta > \\alpha\\), więc prawa strona \\(\\beta - 2\\varphi\\) jest rzeczywiście równa \\(\\alpha > 0\\), a punkt \\(F\\) leży za \\(B\\) (a nie za \\(A\\)). Gdyby \\(|AC| < |BC|\\), linia \\(DE\\) przecięłaby przedłużenie \\(AB\\) po drugiej stronie.
\n

Dowód: \\(|\\angle BAC| = |\\angle ABC| - 2|\\angle AFD|\\)

\n
Oznaczenia
\n

Niech \\(|\\angle BAC| = \\alpha\\), \\(|\\angle ABC| = \\beta\\), \\(|\\angle AFD| = \\gamma\\).

\n
Sposób 1 - Rachunek kątów
\n

Krok 1. Ponieważ \\(|\\angle ABC| = \\beta\\), a \\(F\\) leży na przedłużeniu \\(AB\\) poza \\(B\\), kąt \\(\\angle FBE\\) (przyległy do \\(\\angle ABC\\)):
\\[|\\angle FBE| = 180^\\circ - \\beta.\\]

\n

Krok 2. W trójkącie \\(BEF\\) suma kątów = \\(180^\\circ\\):
\\[|\\angle BEF| = 180^\\circ - |\\angle FBE| - |\\angle BFE| = 180^\\circ - (180^\\circ - \\beta) - \\gamma = \\beta - \\gamma.\\]

\n

Krok 3. Kąty wierzchołkowe: \\(|\\angle CED| = |\\angle BEF| = \\beta - \\gamma\\).

\n

Krok 4. Trójkąt \\(CDE\\) równoramienny (\\(|CD| = |CE|\\)), więc \\(|\\angle CDE| = |\\angle CED| = \\beta - \\gamma\\).
Z sumy kątów w \\(CDE\\):
\\[|\\angle DCE| = 180^\\circ - 2(\\beta - \\gamma) = 180^\\circ - 2\\beta + 2\\gamma.\\]

\n

Krok 5. Kąt \\(\\angle DCE = \\angle ACB\\) (ten sam kąt wierzchołka trójkąta \\(ABC\\)).
Z sumy kątów w trójkącie \\(ABC\\):
\\[\\alpha + \\beta + (180^\\circ - 2\\beta + 2\\gamma) = 180^\\circ,\\]
\\[\\alpha + \\beta + 180^\\circ - 2\\beta + 2\\gamma = 180^\\circ,\\]
\\[\\alpha = \\beta - 2\\gamma.\\]

\n

Zatem \\(|\\angle BAC| = |\\angle ABC| - 2|\\angle AFD|\\). \\(\\blacksquare\\)

\n
Sposób 2 - Przez czworokąt \\(ABED\\)
\n

Niech \\(|\\angle CED| = |\\angle CDE| = \\delta\\) (trójkąt \\(CDE\\) równoramienny).
Kąty wierzchołkowe: \\(|\\angle BEF| = \\delta\\). W trójkącie \\(BEF\\) kąt przy \\(B\\) = \\(180^\\circ - |\\angle ABC|\\), kąt przy \\(F\\) = \\(\\gamma\\), kąt przy \\(E\\) = \\(\\delta\\). Suma = \\(180^\\circ\\) daje \\(\\beta - \\gamma = \\delta\\).

\n

Z czworokąta \\(ABED\\) (\\(D\\) na \\(AC\\), \\(E\\) na \\(BC\\)) kąty \\(\\angle ADE = 180^\\circ - \\delta\\) (\\(\\angle CDE + \\angle ADE = 180^\\circ\\)) i podobnie \\(\\angle DEB = 180^\\circ - \\delta\\). Suma kątów w czworokącie = \\(360^\\circ\\):
\\[\\alpha + \\beta + (180^\\circ - \\delta) + (180^\\circ - \\delta) = 360^\\circ,\\]
\\[\\alpha + \\beta = 2\\delta = 2(\\beta - \\gamma),\\]
\\[\\alpha = \\beta - 2\\gamma.\\]

\n

\\(\\blacksquare\\)

\n
Pułapki
\n"}]}