{"id":"matematyka-2014-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad/31","paper_id":"matematyka-2014-sierpien-poprawkowa-podstawowa","number":"31","points":2,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"inne","year":2014,"month":"sierpien","level":"podstawowa","text":"Zadanie 31. (2 pkt)\nDany jest ciąg arytmetyczny \n\nna\nokreślony dla\n1\nn , w którym\n5\n22\na \noraz\n10\n47\na\n\nOblicz pierwszy wyraz\n1a i różnicę r tego ciągu.\nOdpowiedź:\nWypełnia\negzaminator\nNr zadania\n30.\n31.\nMaks. liczba pkt\n2\n2\nUzyskana liczba pkt\n\nPoziom podstawowy\n18\nDany jest ciąg arytmetyczny (a_n) określony dla n>=1, w którym a_5=22 oraz a_{10}=47. Oblicz pierwszy wyraz a_1 i różnicę r tego ciągu. Zadanie z matury poprawkowej z matematyki - sierpień 2014.","answer":null,"answer_text":null,"solution":"## Poprawna odpowiedź: \\(a_1 = 2\\), \\(r = 5\\)\n\n## Sposób 1 - Układ równań z wzoru ogólnego\n\nKorzystamy ze wzoru na \\(n\\)-ty wyraz ciągu arytmetycznego:\n\\[a_n = a_1 + (n-1)r\\]\n\nZapisujemy dwa równania na podstawie danych:\n\\[\\begin{cases} a_5 = a_1 + 4r = 22 \\\\ a_{10} = a_1 + 9r = 47 \\end{cases}\\]\n\n**Odejmujemy pierwsze równanie od drugiego**, żeby wyeliminować \\(a_1\\):\n\\[(a_1 + 9r) - (a_1 + 4r) = 47 - 22\\]\n\\[5r = 25\\]\n\\[\\boxed{r = 5}\\]\n\nPodstawiamy \\(r = 5\\) do pierwszego równania:\n\\[a_1 + 4 \\cdot 5 = 22\\]\n\\[a_1 + 20 = 22\\]\n\\[\\boxed{a_1 = 2}\\]\n\n## Sposób 2 - Własność różnicy wyrazów ciągu arytmetycznego\n\nW ciągu arytmetycznym różnica między dowolnymi dwoma wyrazami zależy wprost proporcjonalnie od odległości ich indeksów:\n\\[a_{10} - a_5 = (10 - 5) \\cdot r = 5r\\]\n\nStąd od razu:\n\\[5r = 47 - 22 = 25\\]\n\\[r = 5\\]\n\nTeraz wyznaczamy \\(a_1\\) - \"cofamy się\" od \\(a_5\\) o 4 kroki:\n\\[a_1 = a_5 - 4r = 22 - 4 \\cdot 5 = 22 - 20 = 2\\]\n\n**Weryfikacja:**\n\\[a_5 = 2 + 4 \\cdot 5 = 22 \\checkmark\\]\n\\[a_{10} = 2 + 9 \\cdot 5 = 47 \\checkmark\\]\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 8 (Ciągi, s. 9-10)** - wzór ogólny ciągu arytmetycznego:\n\\[a_n = a_1 + (n-1)r\\]\nUżyliśmy go w obu sposobach do zapisania \\(a_5\\) i \\(a_{10}\\) w postaci wyrażeń z \\(a_1\\) i \\(r\\).\n\n## Typowe pułapki i uwaga\n\n> ⚠️ **Uwaga:** W wzorze \\(a_n = a_1 + (n-1)r\\) dla \\(a_5\\) mnożnik to \\(\\mathbf{4}\\), nie \\(5\\) - bo odejmujemy 1. Bardzo częsty błąd: napisanie \\(a_1 + 5r = 22\\).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Odejmując równania układu, pamiętaj o odejmowaniu **obu stron** - prawa strona to \\(47 - 22\\), nie \\(47 + 22\\).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Po wyznaczeniu \\(r\\) koniecznie podstaw do jednego z równań i sprawdź wynik w **drugim** równaniu. To szybka weryfikacja, która wykrywa błędy rachunkowe.\n\n**Odpowiedź: \\(a_1 = 2, r = 5\\)**\n\n### Sposób 1 - Układ równań\nWzór na \\(n\\)-ty wyraz: \\(a_n = a_1 + (n-1)r\\).\n\\[a_5 = a_1 + 4r = 22,\\]\n\\[a_{10} = a_1 + 9r = 47.\\]\n\nOdejmujemy:\n\\[(a_1 + 9r) - (a_1 + 4r) = 47 - 22\\]\n\\[5r = 25 \\Rightarrow r = 5.\\]\n\nPodstawiamy do pierwszego równania:\n\\[a_1 + 4 \\cdot 5 = 22 \\Rightarrow a_1 = 22 - 20 = 2.\\]\n\n### Sposób 2 - Bezpośrednio z różnicy indeksów\nW ciągu arytmetycznym \\(a_m - a_n = (m - n) r\\).\n\\(a_{10} - a_5 = 5r \\Rightarrow 47 - 22 = 25 = 5r \\Rightarrow r = 5\\).\n\\(a_5 = a_1 + 4r \\Rightarrow a_1 = 22 - 4\\cdot 5 = 2\\).\n\n### Sposób 3 - Wzór ogólny\n\\(a_n = 2 + 5(n-1) = 5n - 3\\).\nSprawdzenie: \\(a_5 = 5\\cdot 5 - 3 = 22\\) ✓, \\(a_{10} = 5\\cdot 10 - 3 = 47\\) ✓.\n\n### Weryfikacja\nCiąg: \\(a_1 = 2, a_2 = 7, a_3 = 12, a_4 = 17, a_5 = 22, \\ldots, a_{10} = 47\\). Różnica = \\(5\\) stała ✓.\n\n### Pułapki\n- \\(a_n = a_1 + (n-1)r\\), nie \\(a_1 + nr\\) (częsty błąd).\n- Odejmowanie równań eliminuje \\(a_1\\) - to najszybsza droga.","image":"img/matematyka-2014-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad-31.webp","solution_image":"img/matematyka-2014-sierpien-poprawkowa-podstawowa/sol-31.svg","topics":"ciagi","page_from":17,"source":"maturazai","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Inne · sierpień 2014 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Inne","text_html":"

Zadanie 31. (2 pkt)
Dany jest ciąg arytmetyczny 

na
określony dla
1
n , w którym
5
22
a 
oraz
10
47
a

Oblicz pierwszy wyraz
1a i różnicę r tego ciągu.
Odpowiedź:
Wypełnia
egzaminator
Nr zadania
30.
31.
Maks. liczba pkt
2
2
Uzyskana liczba pkt

\n

Poziom podstawowy
18
Dany jest ciąg arytmetyczny (a_n) określony dla n>=1, w którym a_5=22 oraz a_{10}=47. Oblicz pierwszy wyraz a_1 i różnicę r tego ciągu. Zadanie z matury poprawkowej z matematyki - sierpień 2014.

","solutions":[{"source":"site","label":"matematykaszkolna.pl","kind":"image","image":"/img/matematyka-2014-sierpien-poprawkowa-podstawowa/sol-31.svg"},{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"

Poprawna odpowiedź: \\(a_1 = 2\\), \\(r = 5\\)

\n

Sposób 1 - Układ równań z wzoru ogólnego

\n

Korzystamy ze wzoru na \\(n\\)-ty wyraz ciągu arytmetycznego:
\\[a_n = a_1 + (n-1)r\\]

\n

Zapisujemy dwa równania na podstawie danych:
\\[\\begin{cases} a_5 = a_1 + 4r = 22 \\\\ a_{10} = a_1 + 9r = 47 \\end{cases}\\]

\n

Odejmujemy pierwsze równanie od drugiego, żeby wyeliminować \\(a_1\\):
\\[(a_1 + 9r) - (a_1 + 4r) = 47 - 22\\]
\\[5r = 25\\]
\\[\\boxed{r = 5}\\]

\n

Podstawiamy \\(r = 5\\) do pierwszego równania:
\\[a_1 + 4 \\cdot 5 = 22\\]
\\[a_1 + 20 = 22\\]
\\[\\boxed{a_1 = 2}\\]

\n

Sposób 2 - Własność różnicy wyrazów ciągu arytmetycznego

\n

W ciągu arytmetycznym różnica między dowolnymi dwoma wyrazami zależy wprost proporcjonalnie od odległości ich indeksów:
\\[a_{10} - a_5 = (10 - 5) \\cdot r = 5r\\]

\n

Stąd od razu:
\\[5r = 47 - 22 = 25\\]
\\[r = 5\\]

\n

Teraz wyznaczamy \\(a_1\\) - "cofamy się" od \\(a_5\\) o 4 kroki:
\\[a_1 = a_5 - 4r = 22 - 4 \\cdot 5 = 22 - 20 = 2\\]

\n

Weryfikacja:
\\[a_5 = 2 + 4 \\cdot 5 = 22 \\checkmark\\]
\\[a_{10} = 2 + 9 \\cdot 5 = 47 \\checkmark\\]

\n

Wzory z karty CKE

\n

Dział 8 (Ciągi, s. 9-10) - wzór ogólny ciągu arytmetycznego:
\\[a_n = a_1 + (n-1)r\\]
Użyliśmy go w obu sposobach do zapisania \\(a_5\\) i \\(a_{10}\\) w postaci wyrażeń z \\(a_1\\) i \\(r\\).

\n

Typowe pułapki i uwaga

\n
⚠️ Uwaga: W wzorze \\(a_n = a_1 + (n-1)r\\) dla \\(a_5\\) mnożnik to \\(\\mathbf{4}\\), nie \\(5\\) - bo odejmujemy 1. Bardzo częsty błąd: napisanie \\(a_1 + 5r = 22\\).
\n
⚠️ Uwaga: Odejmując równania układu, pamiętaj o odejmowaniu obu stron - prawa strona to \\(47 - 22\\), nie \\(47 + 22\\).
\n
⚠️ Uwaga: Po wyznaczeniu \\(r\\) koniecznie podstaw do jednego z równań i sprawdź wynik w drugim równaniu. To szybka weryfikacja, która wykrywa błędy rachunkowe.
\n

Odpowiedź: \\(a_1 = 2, r = 5\\)

\n
Sposób 1 - Układ równań
\n

Wzór na \\(n\\)-ty wyraz: \\(a_n = a_1 + (n-1)r\\).
\\[a_5 = a_1 + 4r = 22,\\]
\\[a_{10} = a_1 + 9r = 47.\\]

\n

Odejmujemy:
\\[(a_1 + 9r) - (a_1 + 4r) = 47 - 22\\]
\\[5r = 25 \\Rightarrow r = 5.\\]

\n

Podstawiamy do pierwszego równania:
\\[a_1 + 4 \\cdot 5 = 22 \\Rightarrow a_1 = 22 - 20 = 2.\\]

\n
Sposób 2 - Bezpośrednio z różnicy indeksów
\n

W ciągu arytmetycznym \\(a_m - a_n = (m - n) r\\).
\\(a_{10} - a_5 = 5r \\Rightarrow 47 - 22 = 25 = 5r \\Rightarrow r = 5\\).
\\(a_5 = a_1 + 4r \\Rightarrow a_1 = 22 - 4\\cdot 5 = 2\\).

\n
Sposób 3 - Wzór ogólny
\n

\\(a_n = 2 + 5(n-1) = 5n - 3\\).
Sprawdzenie: \\(a_5 = 5\\cdot 5 - 3 = 22\\) ✓, \\(a_{10} = 5\\cdot 10 - 3 = 47\\) ✓.

\n
Weryfikacja
\n

Ciąg: \\(a_1 = 2, a_2 = 7, a_3 = 12, a_4 = 17, a_5 = 22, \\ldots, a_{10} = 47\\). Różnica = \\(5\\) stała ✓.

\n
Pułapki
\n"},{"source":"zadaniazmatur","label":"zadaniazmatur.pl","kind":"text","html":"

$a_{1}=2$, $r=5$

"}]}