{"id":"matematyka-2014-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad/32","paper_id":"matematyka-2014-sierpien-poprawkowa-podstawowa","number":"32","points":5,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"inne","year":2014,"month":"sierpien","level":"podstawowa","text":"Zadanie 32. (5 pkt)\nMiasta A i B są odległe o 450 km. Pani Danuta pokonała tę trasę swym samochodem w czasie\no 75 minut dłuższym niż pani Lidia. Wartość średniej prędkości, z jaką jechała pani Danuta\nna całej trasie, była o 18 km/h mniejsza od wartości średniej prędkości, z jaką jechała pani\nLidia. Oblicz średnie wartości:\n\nprędkości, z jaką pani Danuta jechała z A do B.\n\nprędkości, z jaką pani Lidia jechała z A do B.\n\nPoziom podstawowy\n19\nOdpowiedź:\nWypełnia\negzaminator\nNr zadania\n32.\nMaks. liczba pkt\n5\nUzyskana liczba pkt\n\nPoziom podstawowy\n20\nMiasta A i B są odległe o 450 km. Pani Danuta pokonała tę trasę swym samochodem w czasie o 75 minut dłuższym niż pani Lidia. Wartość średniej prędkości, z jaką jechała pani Danuta na całej trasie, była o 18 km/h mniejsza od wartości średniej prędkości, z jaką jechała pani Lidia. Oblicz średnie wartości: prędkości, z jaką pani Danuta jechała z A do B, prędkości, z jaką pani Lidia jechała z A do B. Zadanie z matury poprawkowej z matematyki - sierpień 2014.","answer":"P","answer_text":null,"solution":"## Poprawna odpowiedź:\n\nPani Danuta jechała ze średnią prędkością **\\(72\\) km/h**, a pani Lidia ze średnią prędkością **\\(90\\) km/h**.\n\n## Sposób 1 - Równanie z jedną niewiadomą (prędkość Lidii)\n\n**Wprowadzamy oznaczenia:**\n\nNiech \\(v\\) oznacza prędkość pani Lidii \\([\\text{km/h}]\\).\n\nWtedy prędkość pani Danuty wynosi \\(v - 18\\) \\([\\text{km/h}]\\).\n\n**Czas przejazdu** (ze wzoru \\(t = \\frac{d}{v}\\)):\n\\[t_L = \\frac{450}{v}, \\qquad t_D = \\frac{450}{v - 18}\\]\n\n**Warunek z treści zadania:** Danuta jechała o 75 minut, czyli \\(\\frac{75}{60} = \\frac{5}{4}\\) godziny, **dłużej** niż Lidia:\n\\[\\frac{450}{v - 18} = \\frac{450}{v} + \\frac{5}{4}\\]\n\n> ⚠️ Jednostki muszą być zgodne - zamień minuty na godziny!\n\n**Mnożymy obie strony przez \\(4v(v-18)\\):**\n\\[4v \\cdot 450 = 4(v-18) \\cdot 450 + 5v(v-18)\\]\n\\[1800v = 1800v - 1800 \\cdot 18 + 5v^2 - 90v\\]\n\nUpraszczamy \\(1800v\\):\n\\[0 = -32400 + 5v^2 - 90v\\]\n\\[5v^2 - 90v - 32400 = 0\\]\n\\[v^2 - 18v - 6480 = 0\\]\n\n**Wyróżnik:**\n\\[\\Delta = (-18)^2 + 4 \\cdot 6480 = 324 + 25920 = 26244\\]\n\\[\\sqrt{\\Delta} = 162\\]\n\n(sprawdzenie: \\(162^2 = 26244\\) ✓)\n\n**Pierwiastki:**\n\\[v_1 = \\frac{18 + 162}{2} = \\frac{180}{2} = 90, \\qquad v_2 = \\frac{18 - 162}{2} = -72\\]\n\nOdrzucamy \\(v_2 = -72\\) (prędkość musi być dodatnia).\n\n**Wyniki:**\n\\[v_L = 90 \\text{ km/h}, \\qquad v_D = 90 - 18 = 72 \\text{ km/h}\\]\n\n## Sposób 2 - Układ równań (obie prędkości jako niewiadome)\n\nNiech \\(v_D\\) - prędkość Danuty, \\(v_L\\) - prędkość Lidii.\n\n**Układ równań:**\n\\[\\begin{cases} v_L - v_D = 18 \\\\ \\dfrac{450}{v_D} - \\dfrac{450}{v_L} = \\dfrac{5}{4} \\end{cases}\\]\n\nZ pierwszego równania: \\(v_L = v_D + 18\\). Podstawiamy do drugiego:\n\\[\\frac{450}{v_D} - \\frac{450}{v_D + 18} = \\frac{5}{4}\\]\n\nMnożymy przez \\(4v_D(v_D + 18)\\):\n\\[1800(v_D + 18) - 1800v_D = 5v_D(v_D + 18)\\]\n\\[1800 \\cdot 18 = 5v_D^2 + 90v_D\\]\n\\[32400 = 5v_D^2 + 90v_D\\]\n\\[v_D^2 + 18v_D - 6480 = 0\\]\n\n\\[\\Delta = 18^2 + 4 \\cdot 6480 = 324 + 25920 = 26244, \\qquad \\sqrt{\\Delta} = 162\\]\n\n\\[v_D = \\frac{-18 + 162}{2} = \\frac{144}{2} = 72 \\text{ km/h}\\]\n\n\\[v_L = 72 + 18 = 90 \\text{ km/h}\\]\n\n**Weryfikacja:**\n- Czas Danuty: \\(\\frac{450}{72} = 6{,}25\\) h \\(= 6\\) h \\(15\\) min\n- Czas Lidii: \\(\\frac{450}{90} = 5\\) h\n- Różnica: \\(1\\) h \\(15\\) min \\(= 75\\) min ✓\n- Różnica prędkości: \\(90 - 72 = 18\\) km/h ✓\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 8 (Ciągi, s. 9-10)** - nie bezpośrednio, ale kluczowy wzór to ze szkolnej fizyki:\n\\[v = \\frac{d}{t} \\implies t = \\frac{d}{v}\\]\n\n(Ten wzór nie jest na karcie CKE - to wiedza ogólna ze szkoły podstawowej.)\n\n**Dział 7 (Funkcja kwadratowa, s. 7-9)** - po przekształceniu równania z prędkościami otrzymaliśmy trójmian kwadratowy. Użyliśmy:\n\\[\\Delta = b^2 - 4ac, \\qquad x_{1,2} = \\frac{-b \\pm \\sqrt{\\Delta}}{2a}\\]\ndo wyznaczenia prędkości.\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** 75 minut to **nie** \\(\\frac{75}{100}\\) godziny - to \\(\\frac{75}{60} = \\frac{5}{4}\\) godziny. Błąd jednostek to najczęstszy powód złego wyniku!\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Równanie z ułamkami warto mnożyć obustronnie przez NWW mianowników - unikaj błędów przy skracaniu.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Po rozwiązaniu równania kwadratowego **zawsze sprawdź, czy wynik ma sens** - ujemna prędkość jest matematycznie poprawnym pierwiastkiem, ale fizycznie niedopuszczalna. Odrzuć go i uzasadnij to w rozwiązaniu.\n\n**Odpowiedź: pani Lidia jechała z prędkością \\(90\\) km/h, pani Danuta - \\(72\\) km/h**\n\n### Ustalenia\n- Droga: \\(s = 450\\) km.\n- \\(75\\) min = \\(\\tfrac{75}{60}\\) h = \\(\\tfrac{5}{4}\\) h.\n- Niech \\(v\\) - prędkość pani Lidii (km/h), wtedy \\(v - 18\\) - prędkość pani Danuty.\n- Niech \\(t\\) - czas pani Lidii (h), wtedy \\(t + \\tfrac{5}{4}\\) - czas pani Danuty.\n\n### Sposób 1 - Układ z niewiadomymi \\(v, t\\)\nZapisujemy:\n\\[v \\cdot t = 450 \\quad (\\text{pani Lidia})\\]\n\\[(v - 18)\\left(t + \\tfrac{5}{4}\\right) = 450 \\quad (\\text{pani Danuta})\\]\n\nZ pierwszego: \\(t = \\tfrac{450}{v}\\). Podstawiamy do drugiego:\n\\[(v - 18)\\left(\\tfrac{450}{v} + \\tfrac{5}{4}\\right) = 450.\\]\n\nMnożymy:\n\\[450 + \\tfrac{5v}{4} - \\tfrac{8100}{v} - \\tfrac{90}{4} = 450\\]\n\\[\\tfrac{5v}{4} - \\tfrac{8100}{v} - \\tfrac{45}{2} = 0\\]\n\nMnożymy przez \\(4v\\):\n\\[5v^2 - 32400 - 90v = 0\\]\n\\[v^2 - 18v - 6480 = 0.\\]\n\nRozwiązujemy:\n\\[\\Delta = 324 + 25920 = 26244 = 162^2.\\]\n\\[v_1 = \\dfrac{18 + 162}{2} = 90, \\quad v_2 = \\dfrac{18 - 162}{2} = -72.\\]\n\n\\(v > 0\\), więc \\(v = 90\\) km/h.\n\nPrędkość pani Danuty: \\(v - 18 = 72\\) km/h.\n\n### Sposób 2 - Układ z niewiadomymi \\(v, t\\) gdzie \\(v\\) to prędkość pani Danuty\nNiech teraz \\(v\\) - prędkość pani Danuty, \\(t\\) - czas pani Danuty. Pani Lidia: \\(v + 18\\) i \\(t - \\tfrac{5}{4}\\).\n\\[v \\cdot t = 450, \\quad (v+18)(t - \\tfrac{5}{4}) = 450.\\]\nPodobna analiza prowadzi do \\(v = 72\\) km/h, \\(v + 18 = 90\\) km/h.\n\n### Weryfikacja\nPani Lidia: \\(t_L = \\tfrac{450}{90} = 5\\) h.\nPani Danuta: \\(t_D = \\tfrac{450}{72} = 6{,}25\\) h = \\(6\\) h \\(15\\) min.\nRóżnica: \\(6{,}25 - 5 = 1{,}25\\) h = \\(75\\) min ✓.\nRóżnica prędkości: \\(90 - 72 = 18\\) km/h ✓.\n\n### Sposób 3 - Przekształcenie do równania kwadratowego z \\(t\\)\nAnalogicznie z \\(v = \\tfrac{450}{t}\\) otrzymujemy \\(4t^2 + 5t - 125 = 0\\), \\(\\Delta = 2025 = 45^2\\), \\(t = 5\\) (odrzucamy ujemny pierwiastek). Dalej jak wyżej.\n\n### Pułapki\n- Zamiana \\(75\\) min na \\(\\tfrac{5}{4}\\) h (nie \\(1{,}25\\), lecz ułamek dla dokładności).\n- Odrzucenie ujemnego pierwiastka (prędkość niemoże być ujemna).\n- Uważne oznaczenie, kto ma większą prędkość (pani Lidia szybsza!).","image":"img/matematyka-2014-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad-32.webp","solution_image":"img/matematyka-2014-sierpien-poprawkowa-podstawowa/sol-32.svg","topics":"uklady_rownan","page_from":18,"source":"maturazai","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Inne · sierpień 2014 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Inne","text_html":"

Zadanie 32. (5 pkt)
Miasta A i B są odległe o 450 km. Pani Danuta pokonała tę trasę swym samochodem w czasie
o 75 minut dłuższym niż pani Lidia. Wartość średniej prędkości, z jaką jechała pani Danuta
na całej trasie, była o 18 km/h mniejsza od wartości średniej prędkości, z jaką jechała pani
Lidia. Oblicz średnie wartości:

prędkości, z jaką pani Danuta jechała z A do B.

prędkości, z jaką pani Lidia jechała z A do B.

\n

Poziom podstawowy
19
Odpowiedź:
Wypełnia
egzaminator
Nr zadania
32.
Maks. liczba pkt
5
Uzyskana liczba pkt

\n

Poziom podstawowy
20
Miasta A i B są odległe o 450 km. Pani Danuta pokonała tę trasę swym samochodem w czasie o 75 minut dłuższym niż pani Lidia. Wartość średniej prędkości, z jaką jechała pani Danuta na całej trasie, była o 18 km/h mniejsza od wartości średniej prędkości, z jaką jechała pani Lidia. Oblicz średnie wartości: prędkości, z jaką pani Danuta jechała z A do B, prędkości, z jaką pani Lidia jechała z A do B. Zadanie z matury poprawkowej z matematyki - sierpień 2014.

","solutions":[{"source":"site","label":"matematykaszkolna.pl","kind":"image","image":"/img/matematyka-2014-sierpien-poprawkowa-podstawowa/sol-32.svg"},{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"

Poprawna odpowiedź:

\n

Pani Danuta jechała ze średnią prędkością \\(72\\) km/h, a pani Lidia ze średnią prędkością \\(90\\) km/h.

\n

Sposób 1 - Równanie z jedną niewiadomą (prędkość Lidii)

\n

Wprowadzamy oznaczenia:

\n

Niech \\(v\\) oznacza prędkość pani Lidii \\([\\text{km/h}]\\).

\n

Wtedy prędkość pani Danuty wynosi \\(v - 18\\) \\([\\text{km/h}]\\).

\n

Czas przejazdu (ze wzoru \\(t = \\frac{d}{v}\\)):
\\[t_L = \\frac{450}{v}, \\qquad t_D = \\frac{450}{v - 18}\\]

\n

Warunek z treści zadania: Danuta jechała o 75 minut, czyli \\(\\frac{75}{60} = \\frac{5}{4}\\) godziny, dłużej niż Lidia:
\\[\\frac{450}{v - 18} = \\frac{450}{v} + \\frac{5}{4}\\]

\n
⚠️ Jednostki muszą być zgodne - zamień minuty na godziny!
\n

Mnożymy obie strony przez \\(4v(v-18)\\):
\\[4v \\cdot 450 = 4(v-18) \\cdot 450 + 5v(v-18)\\]
\\[1800v = 1800v - 1800 \\cdot 18 + 5v^2 - 90v\\]

\n

Upraszczamy \\(1800v\\):
\\[0 = -32400 + 5v^2 - 90v\\]
\\[5v^2 - 90v - 32400 = 0\\]
\\[v^2 - 18v - 6480 = 0\\]

\n

Wyróżnik:
\\[\\Delta = (-18)^2 + 4 \\cdot 6480 = 324 + 25920 = 26244\\]
\\[\\sqrt{\\Delta} = 162\\]

\n

(sprawdzenie: \\(162^2 = 26244\\) ✓)

\n

Pierwiastki:
\\[v_1 = \\frac{18 + 162}{2} = \\frac{180}{2} = 90, \\qquad v_2 = \\frac{18 - 162}{2} = -72\\]

\n

Odrzucamy \\(v_2 = -72\\) (prędkość musi być dodatnia).

\n

Wyniki:
\\[v_L = 90 \\text{ km/h}, \\qquad v_D = 90 - 18 = 72 \\text{ km/h}\\]

\n

Sposób 2 - Układ równań (obie prędkości jako niewiadome)

\n

Niech \\(v_D\\) - prędkość Danuty, \\(v_L\\) - prędkość Lidii.

\n

Układ równań:
\\[\\begin{cases} v_L - v_D = 18 \\\\ \\dfrac{450}{v_D} - \\dfrac{450}{v_L} = \\dfrac{5}{4} \\end{cases}\\]

\n

Z pierwszego równania: \\(v_L = v_D + 18\\). Podstawiamy do drugiego:
\\[\\frac{450}{v_D} - \\frac{450}{v_D + 18} = \\frac{5}{4}\\]

\n

Mnożymy przez \\(4v_D(v_D + 18)\\):
\\[1800(v_D + 18) - 1800v_D = 5v_D(v_D + 18)\\]
\\[1800 \\cdot 18 = 5v_D^2 + 90v_D\\]
\\[32400 = 5v_D^2 + 90v_D\\]
\\[v_D^2 + 18v_D - 6480 = 0\\]

\n

\\[\\Delta = 18^2 + 4 \\cdot 6480 = 324 + 25920 = 26244, \\qquad \\sqrt{\\Delta} = 162\\]

\n

\\[v_D = \\frac{-18 + 162}{2} = \\frac{144}{2} = 72 \\text{ km/h}\\]

\n

\\[v_L = 72 + 18 = 90 \\text{ km/h}\\]

\n

Weryfikacja:

\n\n

Wzory z karty CKE

\n

Dział 8 (Ciągi, s. 9-10) - nie bezpośrednio, ale kluczowy wzór to ze szkolnej fizyki:
\\[v = \\frac{d}{t} \\implies t = \\frac{d}{v}\\]

\n

(Ten wzór nie jest na karcie CKE - to wiedza ogólna ze szkoły podstawowej.)

\n

Dział 7 (Funkcja kwadratowa, s. 7-9) - po przekształceniu równania z prędkościami otrzymaliśmy trójmian kwadratowy. Użyliśmy:
\\[\\Delta = b^2 - 4ac, \\qquad x_{1,2} = \\frac{-b \\pm \\sqrt{\\Delta}}{2a}\\]
do wyznaczenia prędkości.

\n

Typowe pułapki i uwagi

\n
⚠️ Uwaga: 75 minut to nie \\(\\frac{75}{100}\\) godziny - to \\(\\frac{75}{60} = \\frac{5}{4}\\) godziny. Błąd jednostek to najczęstszy powód złego wyniku!
\n
⚠️ Uwaga: Równanie z ułamkami warto mnożyć obustronnie przez NWW mianowników - unikaj błędów przy skracaniu.
\n
⚠️ Uwaga: Po rozwiązaniu równania kwadratowego zawsze sprawdź, czy wynik ma sens - ujemna prędkość jest matematycznie poprawnym pierwiastkiem, ale fizycznie niedopuszczalna. Odrzuć go i uzasadnij to w rozwiązaniu.
\n

Odpowiedź: pani Lidia jechała z prędkością \\(90\\) km/h, pani Danuta - \\(72\\) km/h

\n
Ustalenia
\n\n
Sposób 1 - Układ z niewiadomymi \\(v, t\\)
\n

Zapisujemy:
\\[v \\cdot t = 450 \\quad (\\text{pani Lidia})\\]
\\[(v - 18)\\left(t + \\tfrac{5}{4}\\right) = 450 \\quad (\\text{pani Danuta})\\]

\n

Z pierwszego: \\(t = \\tfrac{450}{v}\\). Podstawiamy do drugiego:
\\[(v - 18)\\left(\\tfrac{450}{v} + \\tfrac{5}{4}\\right) = 450.\\]

\n

Mnożymy:
\\[450 + \\tfrac{5v}{4} - \\tfrac{8100}{v} - \\tfrac{90}{4} = 450\\]
\\[\\tfrac{5v}{4} - \\tfrac{8100}{v} - \\tfrac{45}{2} = 0\\]

\n

Mnożymy przez \\(4v\\):
\\[5v^2 - 32400 - 90v = 0\\]
\\[v^2 - 18v - 6480 = 0.\\]

\n

Rozwiązujemy:
\\[\\Delta = 324 + 25920 = 26244 = 162^2.\\]
\\[v_1 = \\dfrac{18 + 162}{2} = 90, \\quad v_2 = \\dfrac{18 - 162}{2} = -72.\\]

\n

\\(v > 0\\), więc \\(v = 90\\) km/h.

\n

Prędkość pani Danuty: \\(v - 18 = 72\\) km/h.

\n
Sposób 2 - Układ z niewiadomymi \\(v, t\\) gdzie \\(v\\) to prędkość pani Danuty
\n

Niech teraz \\(v\\) - prędkość pani Danuty, \\(t\\) - czas pani Danuty. Pani Lidia: \\(v + 18\\) i \\(t - \\tfrac{5}{4}\\).
\\[v \\cdot t = 450, \\quad (v+18)(t - \\tfrac{5}{4}) = 450.\\]
Podobna analiza prowadzi do \\(v = 72\\) km/h, \\(v + 18 = 90\\) km/h.

\n
Weryfikacja
\n

Pani Lidia: \\(t_L = \\tfrac{450}{90} = 5\\) h.
Pani Danuta: \\(t_D = \\tfrac{450}{72} = 6{,}25\\) h = \\(6\\) h \\(15\\) min.
Różnica: \\(6{,}25 - 5 = 1{,}25\\) h = \\(75\\) min ✓.
Różnica prędkości: \\(90 - 72 = 18\\) km/h ✓.

\n
Sposób 3 - Przekształcenie do równania kwadratowego z \\(t\\)
\n

Analogicznie z \\(v = \\tfrac{450}{t}\\) otrzymujemy \\(4t^2 + 5t - 125 = 0\\), \\(\\Delta = 2025 = 45^2\\), \\(t = 5\\) (odrzucamy ujemny pierwiastek). Dalej jak wyżej.

\n
Pułapki
\n"},{"source":"zadaniazmatur","label":"zadaniazmatur.pl","kind":"text","html":"

$90\\ \\text{km/h}$ (pani Lidia) i $72\\ \\text{km/h}$ (pani Danuta)

"}]}