Zadanie 34. (4 pkt)
Zbiór M tworzą wszystkie liczby naturalne dwucyfrowe, w zapisie których występują dwie
różne cyfry spośród: 1, 2, 3, 4, 5. Ze zbioru M losujemy jedną liczbę, przy czym każda liczba
z tego zbioru może być wylosowana z tym samym prawdopodobieństwem. Oblicz
prawdopodobieństwo, że wylosujemy liczbę większą od 20, w której cyfra dziesiątek jest
mniejsza od cyfry jedności.
Odpowiedź:
Wypełnia
egzaminator
Nr zadania
34.
Maks. liczba pkt
4
Uzyskana liczba pkt
Poziom podstawowy
23
BRUDNOPIS (nie podlega ocenie)
MMA-P1_1P-144
32
33
34
27
28
29
30
31
26
Nr
zad.
Punkty
0
1
2
3
4
5
WYPEŁNIA EGZAMINATOR
WYPEŁNIA ZDAJĄCY
SUMA
PUNKTÓW
D
J
0
0
1
1
2
2
3
3
4
4
5
5
6
6
7
7
8
8
9
9
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
Odpowiedzi
Nr
zad.
PESEL
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
D
D
D
D
D
D
D
D
D
D
D
D
D
D
D
D
D
D
D
D
D
D
D
D
D
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
Miejsce na naklejkę
z nr. PESEL
KOD EGZAMINATORA
Czytelny podpis egzaminatora
KOD ZDAJĄCEGO
Zbiór M tworzą wszystkie liczby naturalne dwucyfrowe, w zapisie których występują dwie różne cyfry spośród: 1, 2, 3, 4, 5. Ze zbioru M losujemy jedną liczbę, przy czym każda liczba z tego zbioru może być wylosowana z tym samym prawdopodobieństwem. Oblicz prawdopodobieństwo, że wylosujemy liczbę większą od 20, w której cyfra dziesiątek jest mniejsza od cyfry jedności. Zadanie z matury poprawkowej z matematyki - sierpień 2014.
Krok 1: Wyznacz zbiór M
\nSzukamy liczb dwucyfrowych, w których:
\nWypisujemy wszystkie możliwości (cyfra dziesiątek × cyfra jedności, różne):
\n| Dziesiątki | Jedności | Liczby |
| 1 | 2,3,4,5 | 12, 13, 14, 15 |
| 2 | 1,3,4,5 | 21, 23, 24, 25 |
| 3 | 1,2,4,5 | 31, 32, 34, 35 |
| 4 | 1,2,3,5 | 41, 42, 43, 45 |
| 5 | 1,2,3,4 | 51, 52, 53, 54 |
\\(|M| = 20\\)
\nKrok 2: Wyznacz zdarzenie sprzyjające
\nSzukamy liczb spełniających OBA warunki jednocześnie:
\nSprawdzamy każdą grupę:
\n| Dziesiątki \\(d\\) | Jedności \\(j\\) takie, że \\(d < j\\) i liczba \\(> 20\\) | Liczby |
| \\(d=1\\) | Liczby 12,13,14,15 - wszystkie \\(<20\\), nie spełniają | - |
| \\(d=2\\) | \\(j \\in \\{3,4,5\\}\\) (bo \\(2 < j\\)) | 23, 24, 25 |
| \\(d=3\\) | \\(j \\in \\{4,5\\}\\) (bo \\(3 < j\\)) | 34, 35 |
| \\(d=4\\) | \\(j \\in \\{5\\}\\) (bo \\(4 < j\\)) | 45 |
| \\(d=5\\) | \\(j > 5\\), ale \\(j \\in \\{1,2,3,4\\}\\) - brak | - |
Zdarzenie sprzyjające: \\(\\{23, 24, 25, 34, 35, 45\\}\\) - 6 liczb.
\nKrok 3: Oblicz prawdopodobieństwo
\n\\[P = \\frac{6}{20} = \\boxed{\\frac{3}{10}}\\]
\nKrok 1: Rozmiar \\(\\Omega\\)
\nWybieramy 2 różne cyfry z \\(\\{1,2,3,4,5\\}\\) i układamy je w określonej kolejności (dziesiątki, jedności):
\\[|\\Omega| = 5 \\cdot 4 = 20\\]
Krok 2: Zdarzenie sprzyjające kombinatorycznie
\nWarunek "cyfra dziesiątek mniejsza od cyfry jedności" to wybór pary \\(\\{d, j\\}\\) z \\(\\{1,2,3,4,5\\}\\) (bez powtórzeń) i ustawienie mniejszej na miejscu dziesiątek.
\nAle mamy dodatkowy warunek: liczba \\(> 20\\), tzn. \\(d \\geq 2\\).
\nEliminujemy pary, gdzie \\(d = 1\\) (bo \\(1 < j\\) spełnione, ale liczba to \\(1j < 20\\)):
\nWszystkich par spełniających \\(d < j\\):
\\[\\binom{5}{2} = 10\\]
Po odjęciu 4 par z \\(d=1\\):
\\[10 - 4 = 6\\]
\\[P = \\frac{6}{20} = \\frac{3}{10}\\]
\nWynik zgodny ze Sposobem 1. ✓
\nDział 14 (Rachunek prawdopodobieństwa, s. 29-30) - prawdopodobieństwo klasyczne:
\\[P(A) = \\frac{|A|}{|\\Omega|}\\]
Zastosowanie: \\(|\\Omega| = 20\\) (wszystkie równie prawdopodobne liczby z M), \\(|A| = 6\\) (sprzyjające).
Dział 4 (Silnia. Współczynnik dwumianowy, s. 6) - kombinacje w Sposobie 2:
\\[\\binom{5}{2} = \\frac{5!}{2! \\cdot 3!} = 10\\]
Zastosowanie: zliczenie par cyfr \\(\\{d,j\\}\\) z \\(d < j\\).
⚠️ Uwaga: Warunki "większa od 20" i "cyfra dziesiątek mniejsza od cyfry jedności" muszą być spełnione jednocześnie - nie wystarczy sprawdzić tylko jednego z nich. Liczby 12, 13, 14, 15 spełniają drugi warunek, ale nie pierwszy!\n
⚠️ Uwaga: Łatwo pomylić "dwie różne cyfry spośród \\(\\{1,2,3,4,5\\}\\)" z "dowolne dwie różne cyfry". Cyfry 0 i 6-9 są wykluczone, więc przestrzeń próbna ma tylko 20 elementów, nie więcej.\n
⚠️ Uwaga: Dla \\(d = 5\\) nie istnieje żadna cyfra jedności \\(j \\in \\{1,2,3,4\\}\\) większa od 5 - uczniowie czasem o tym zapominają i doliczają nieistniejące przypadki.\n
Odpowiedź: \\(P(A) = \\dfrac{3}{10}\\)
\nPrzestrzeń zdarzeń elementarnych - dwucyfrowe liczby o różnych cyfrach ze zbioru \\(\\{1,2,3,4,5\\}\\).
Cyfra dziesiątek: \\(5\\) możliwości. Cyfra jedności: \\(4\\) możliwości (musi być różna od cyfry dziesiątek).
\\[|\\Omega| = 5 \\cdot 4 = 20.\\]
Zdarzenie \\(A\\) - liczba \\(>20\\) oraz cyfra dziesiątek \\(<\\) cyfra jedności.
Oznacza to pary \\((a, b)\\), gdzie \\(a\\) - cyfra dziesiątek, \\(b\\) - cyfra jedności, z warunkami:
Wyliczamy:
\n\\[|A| = 3 + 2 + 1 = 6.\\]
\nPrawdopodobieństwo:
\\[P(A) = \\dfrac{|A|}{|\\Omega|} = \\dfrac{6}{20} = \\dfrac{3}{10}.\\]
\\(A = \\{(2,3), (2,4), (2,5), (3,4), (3,5), (4,5)\\}\\) - 6 liczb: \\(23, 24, 25, 34, 35, 45\\).
\nWszystkie te liczby są \\(>20\\). Razem \\(6\\) zdarzeń z \\(20\\) zdarzeń elementarnych:
\\[P(A) = \\dfrac{6}{20} = \\dfrac{3}{10}.\\]
Losujemy najpierw cyfrę dziesiątek (\\(\\tfrac{1}{5}\\) każda), potem jedności z czterech pozostałych (\\(\\tfrac{1}{4}\\) każda).
Korzystne gałęzie (po warunkach): 6 gałęzi, każda o prawdopodobieństwie \\(\\tfrac{1}{5}\\cdot \\tfrac{1}{4} = \\tfrac{1}{20}\\).
\\[P(A) = 6 \\cdot \\tfrac{1}{20} = \\tfrac{6}{20} = \\tfrac{3}{10}.\\]
\\(\\tfrac{3}{10} = 0{,}3 = 30\\%\\).
Całkowita liczba liczb w \\(M\\): \\(20\\) (dwucyfrowych o różnych cyfrach).
Zliczanie ręczne par z warunkami potwierdza \\(6\\).
$P(A)=\\dfrac{3}{10}$
"}]}