{"id":"matematyka-2014-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad/9","paper_id":"matematyka-2014-sierpien-poprawkowa-podstawowa","number":"9","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"inne","year":2014,"month":"sierpien","level":"podstawowa","text":"Zadanie 9. (1 pkt)\nNajwiększą wartością funkcji f jest\nA. 3\nB. 0\nC.\n3\n\nD. 8\nNajwiększą wartością funkcji f jest A. 3, B. 0, C. -3, D. 8. Zadanie zamknięte z matury poprawkowej z matematyki - sierpień 2014.","answer":"A","answer_text":null,"solution":"## Poprawna odpowiedź: A - \\(3\\)\n\n## Sposób 1 - Odczyt z wykresu\n\nZ opisu wykresu funkcji \\(f\\) widzimy jej przebieg:\n\n- **na odcinku \\((-3, -1)\\)**: funkcja rośnie liniowo od \\(y = -3\\) do \\(y = 3\\)\n- **na odcinku \\(\\langle -1, 2 \\rangle\\)**: funkcja jest stała, \\(f(x) = 3\\)\n- **na odcinku \\(\\langle 2, 6 \\rangle\\)**: funkcja opada liniowo z \\(y = 3\\) do \\(y = -3\\)\n- **na odcinku \\(\\langle 6, 8 \\rangle\\)**: funkcja rośnie liniowo z \\(y = -3\\) do \\(y = 3\\)\n\n**Szukamy największej wartości**, czyli najwyższego punktu na wykresie.\n\nPatrząc na cały przebieg, funkcja osiąga wartość \\(y = 3\\) w kilku miejscach:\n- w punkcie \\((-1, 3)\\) - gdzie rośnie i \"zatrzymuje się\" na poziomie 3\n- na całym odcinku \\(\\langle -1, 2 \\rangle\\) - gdzie \\(f(x) = 3 = \\text{const}\\)\n- na początku opadania (punkt \\((2, 3)\\))\n- w punkcie końcowym \\((8, 3)\\) - zaznaczonym kołem wypełnionym (punkt należy do wykresu)\n\nNigdzie wykres nie wychodzi **powyżej** poziomu \\(y = 3\\).\n\n**Zatem największa wartość funkcji \\(f\\) wynosi \\(3\\).**\n\n## Sposób 2 - Weryfikacja przez analizę przedziałów\n\nPodzielmy dziedzinę na odcinki i sprawdźmy maksimum na każdym z nich:\n\n| Przedział | Charakter | Wartości \\(f\\) |\n| \\((-3, -1)\\) | rosnąca liniowo | od \\(-3\\) do \\(3\\) (końcowe \\(3\\) osiągane) |\n| \\(\\langle -1, 2 \\rangle\\) | stała | \\(f(x) = 3\\) dla wszystkich \\(x\\) |\n| \\(\\langle 2, 6 \\rangle\\) | malejąca liniowo | od \\(3\\) do \\(-3\\) |\n| \\(\\langle 6, 8 \\rangle\\) | rosnąca liniowo | od \\(-3\\) do \\(3\\) |\n\nMaksimum na każdym przedziale: \\(3, \\ 3, \\ 3, \\ 3\\).\n\n**Globalne maksimum = \\(\\max\\{3, 3, 3, 3\\} = 3\\). ✓**\n\n## Wzory z karty CKE\n\nW tym zadaniu nie używamy konkretnych wzorów z karty CKE - wystarczy odczyt wartości z wykresu funkcji i znajomość definicji **największej wartości funkcji** (supremum osiągane przez funkcję).\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Błąd |\n| B: \\(0\\) | Uczeń myli **miejsce zerowe** (gdzie \\(f(x) = 0\\)) z **największą wartością** funkcji. Zero pojawia się w treści zadania (oś OX), ale nie jest tu pytaniem. |\n| C: \\(-3\\) | To **najmniejsza** wartość funkcji (minimum), nie największa. Łatwy błąd przy czytaniu \"do góry\" zamiast \"do dołu\". |\n| D: \\(8\\) | To wartość **argumentu** (współrzędna \\(x\\)) punktu końcowego wykresu, nie wartość funkcji w tym punkcie. Uczeń myli \\(x_{\\max}\\) z \\(f(x_{\\max})\\). |\n\n## Typowe pułapki i uwaga\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Pytanie brzmi „największa **wartość** funkcji\" - to \\(y\\), nie \\(x\\)! Odpowiedź D (\\(8\\)) to pułapka dla tych, którzy podają współrzędną poziomą punktu końcowego.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Sprawdź, czy punkt końcowy należy do wykresu (koło wypełnione = należy, koło puste = nie należy). Tutaj punkt \\((-3, -3)\\) jest **pusty** (nie należy), ale punkt \\((8, 3)\\) jest **wypełniony** - więc wartość \\(3\\) jest osiągana.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Nie myl **największej wartości funkcji** z **największym argumentem** ani z **miejscem zerowym**. To trzy różne pojęcia, a zadania maturalne często grają na tej nieuwadze.\n\n**Poprawna odpowiedź: A**\n\n### Sposób 1 - Odczyt z wykresu\nNajwiększa wartość funkcji to najwyższy punkt wykresu (największa współrzędna \\(y\\)).\n\nZ wykresu: wykres osiąga poziom \\(y = 3\\) na odcinku \\(\\langle -1, 2\\rangle\\) oraz w punkcie \\((8, 3)\\). Nigdzie nie przekracza \\(y = 3\\).\n\nZatem największa wartość funkcji to \\(3\\).\n\n### Sposób 2 - Eliminacja\n- **A. \\(3\\):** zgodne z obrazkiem ✓\n- **B. \\(0\\):** wykres wyraźnie sięga wyżej niż \\(0\\).\n- **C. \\(-3\\):** to minimum, nie maksimum.\n- **D. \\(8\\):** to \\(x\\)-owa współrzędna końca wykresu, nie wartość funkcji.\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **B.** Błędne odczytanie poziomu.\n- **C.** Mylenie maksimum z minimum.\n- **D.** Mylenie argumentu z wartością funkcji.\n\n**Pamiętaj:** wartość funkcji to współrzędna \\(y\\), a nie \\(x\\).","image":"img/matematyka-2014-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad-9.webp","solution_image":"img/matematyka-2014-sierpien-poprawkowa-podstawowa/sol-9.svg","topics":"funkcje","page_from":4,"source":"maturazai","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Inne · sierpień 2014 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Inne","text_html":"<p>Zadanie 9. (1 pkt)<br>Największą wartością funkcji f jest<br>A. 3<br>B. 0<br>C.<br>3<br><br>D. 8<br>Największą wartością funkcji f jest A. 3, B. 0, C. -3, D. 8. Zadanie zamknięte z matury poprawkowej z matematyki - sierpień 2014.</p>","solutions":[{"source":"site","label":"matematykaszkolna.pl","kind":"image","image":"/img/matematyka-2014-sierpien-poprawkowa-podstawowa/sol-9.svg"},{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"<h4>Poprawna odpowiedź: A - \\(3\\)</h4>\n<h4>Sposób 1 - Odczyt z wykresu</h4>\n<p>Z opisu wykresu funkcji \\(f\\) widzimy jej przebieg:</p>\n<ul><li><strong>na odcinku \\((-3, -1)\\)</strong>: funkcja rośnie liniowo od \\(y = -3\\) do \\(y = 3\\)</li><li><strong>na odcinku \\(\\langle -1, 2 \\rangle\\)</strong>: funkcja jest stała, \\(f(x) = 3\\)</li><li><strong>na odcinku \\(\\langle 2, 6 \\rangle\\)</strong>: funkcja opada liniowo z \\(y = 3\\) do \\(y = -3\\)</li><li><strong>na odcinku \\(\\langle 6, 8 \\rangle\\)</strong>: funkcja rośnie liniowo z \\(y = -3\\) do \\(y = 3\\)</li></ul>\n<p><strong>Szukamy największej wartości</strong>, czyli najwyższego punktu na wykresie.</p>\n<p>Patrząc na cały przebieg, funkcja osiąga wartość \\(y = 3\\) w kilku miejscach:</p>\n<ul><li>w punkcie \\((-1, 3)\\) - gdzie rośnie i &quot;zatrzymuje się&quot; na poziomie 3</li><li>na całym odcinku \\(\\langle -1, 2 \\rangle\\) - gdzie \\(f(x) = 3 = \\text{const}\\)</li><li>na początku opadania (punkt \\((2, 3)\\))</li><li>w punkcie końcowym \\((8, 3)\\) - zaznaczonym kołem wypełnionym (punkt należy do wykresu)</li></ul>\n<p>Nigdzie wykres nie wychodzi <strong>powyżej</strong> poziomu \\(y = 3\\).</p>\n<p><strong>Zatem największa wartość funkcji \\(f\\) wynosi \\(3\\).</strong></p>\n<h4>Sposób 2 - Weryfikacja przez analizę przedziałów</h4>\n<p>Podzielmy dziedzinę na odcinki i sprawdźmy maksimum na każdym z nich:</p>\n<p>| Przedział | Charakter | Wartości \\(f\\) |<br>| \\((-3, -1)\\) | rosnąca liniowo | od \\(-3\\) do \\(3\\) (końcowe \\(3\\) osiągane) |<br>| \\(\\langle -1, 2 \\rangle\\) | stała | \\(f(x) = 3\\) dla wszystkich \\(x\\) |<br>| \\(\\langle 2, 6 \\rangle\\) | malejąca liniowo | od \\(3\\) do \\(-3\\) |<br>| \\(\\langle 6, 8 \\rangle\\) | rosnąca liniowo | od \\(-3\\) do \\(3\\) |</p>\n<p>Maksimum na każdym przedziale: \\(3, \\ 3, \\ 3, \\ 3\\).</p>\n<p><strong>Globalne maksimum = \\(\\max\\{3, 3, 3, 3\\} = 3\\). ✓</strong></p>\n<h4>Wzory z karty CKE</h4>\n<p>W tym zadaniu nie używamy konkretnych wzorów z karty CKE - wystarczy odczyt wartości z wykresu funkcji i znajomość definicji <strong>największej wartości funkcji</strong> (supremum osiągane przez funkcję).</p>\n<h4>Dlaczego inne odpowiedzi są błędne</h4>\n<p>| Odp. | Błąd |<br>| B: \\(0\\) | Uczeń myli <strong>miejsce zerowe</strong> (gdzie \\(f(x) = 0\\)) z <strong>największą wartością</strong> funkcji. Zero pojawia się w treści zadania (oś OX), ale nie jest tu pytaniem. |<br>| C: \\(-3\\) | To <strong>najmniejsza</strong> wartość funkcji (minimum), nie największa. Łatwy błąd przy czytaniu &quot;do góry&quot; zamiast &quot;do dołu&quot;. |<br>| D: \\(8\\) | To wartość <strong>argumentu</strong> (współrzędna \\(x\\)) punktu końcowego wykresu, nie wartość funkcji w tym punkcie. Uczeń myli \\(x_{\\max}\\) z \\(f(x_{\\max})\\). |</p>\n<h4>Typowe pułapki i uwaga</h4>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Pytanie brzmi „największa <strong>wartość</strong> funkcji&quot; - to \\(y\\), nie \\(x\\)! Odpowiedź D (\\(8\\)) to pułapka dla tych, którzy podają współrzędną poziomą punktu końcowego.</blockquote>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Sprawdź, czy punkt końcowy należy do wykresu (koło wypełnione = należy, koło puste = nie należy). Tutaj punkt \\((-3, -3)\\) jest <strong>pusty</strong> (nie należy), ale punkt \\((8, 3)\\) jest <strong>wypełniony</strong> - więc wartość \\(3\\) jest osiągana.</blockquote>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Nie myl <strong>największej wartości funkcji</strong> z <strong>największym argumentem</strong> ani z <strong>miejscem zerowym</strong>. To trzy różne pojęcia, a zadania maturalne często grają na tej nieuwadze.</blockquote>\n<p><strong>Poprawna odpowiedź: A</strong></p>\n<h5>Sposób 1 - Odczyt z wykresu</h5>\n<p>Największa wartość funkcji to najwyższy punkt wykresu (największa współrzędna \\(y\\)).</p>\n<p>Z wykresu: wykres osiąga poziom \\(y = 3\\) na odcinku \\(\\langle -1, 2\\rangle\\) oraz w punkcie \\((8, 3)\\). Nigdzie nie przekracza \\(y = 3\\).</p>\n<p>Zatem największa wartość funkcji to \\(3\\).</p>\n<h5>Sposób 2 - Eliminacja</h5>\n<ul><li><strong>A. \\(3\\):</strong> zgodne z obrazkiem ✓</li><li><strong>B. \\(0\\):</strong> wykres wyraźnie sięga wyżej niż \\(0\\).</li><li><strong>C. \\(-3\\):</strong> to minimum, nie maksimum.</li><li><strong>D. \\(8\\):</strong> to \\(x\\)-owa współrzędna końca wykresu, nie wartość funkcji.</li></ul>\n<h5>Dlaczego inne odpowiedzi są błędne</h5>\n<ul><li><strong>B.</strong> Błędne odczytanie poziomu.</li><li><strong>C.</strong> Mylenie maksimum z minimum.</li><li><strong>D.</strong> Mylenie argumentu z wartością funkcji.</li></ul>\n<p><strong>Pamiętaj:</strong> wartość funkcji to współrzędna \\(y\\), a nie \\(x\\).</p>"}]}