{"id":"matematyka-2015-czerwiec-matura-rozszerzona/zad/10","paper_id":"matematyka-2015-czerwiec-matura-rozszerzona","number":"10","points":0,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2015,"month":"czerwiec","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 10. (0-4)\nRozwiąż równanie (\n)\n2\n2\n2\n4sin\n1 sin\ncos\n3sin\nx\nx\nx\nx\n⋅\n, dla\n(\n)\n,0\nx\nπ\n∈-\n\nMMA_1R\nRozwiąż równanie (4sin²x-1)⋅sin x = cos²x - 3sin²x, dla x∈(-π,0).","answer":null,"answer_text":"Zadanie 10. (0-4)\nRozwiąż równanie \n\n2\n2\n2\n4sin\n1 sin\ncos\n3sin\nx\nx\nx\nx\n\n\n\n\n, dla\n\n\n,0\nx\n\n\nRozwiązanie\nKorzystamy ze wzoru\n2\n2\nsin\ncos\n1\nx\nx\n\n i zapisujemy równanie\n\n\n2\n2\n2\n4sin\n1 sin\ncos\n3sin\nx\nx\nx\nx\n\n\n\n\nw postaci równoważnej \n\n2\n2\n4sin\n1 sin\n1 4sin\nx\nx\nx\n\n\n\nPrzekształcamy to równanie i zapisujemy je w postaci iloczynowej:\n\n\n2\n2\n4sin\n1 sin\n1 4sin\n0\nx\nx\nx\n\n\n\n\n,\n\n\n\n2\n4sin\n1\nsin\n1\n0\nx\nx\n\n\n\n\n,\n\n\n\n\n2sin\n1\n2sin\n1\nsin\n1\n0\nx\nx\nx\n\n\n\n\n\n\nWarunek\n1\nsin\n2\nx \njest sprzeczny z założeniem\n\n\n,0\nx\n\n\n, bo wtedy sin\n0.\nx \nZatem warunki\n1\nsin\n2\nx \ni\n\n\n,0\nx\n\n\nwyznaczają rozwiązanie\n6\nx\n\n\nlub\n5\n6\nx\n\n\n,\na warunki sin\n1\nx  i\n\n\n,0\nx\n\n\nwyznaczają rozwiązanie\n2\nx\n\n\nSchemat oceniania\nRozwiązanie, w którym jest istotny postęp, ale nie zostały pokonane zasadnicze\ntrudności zadania 1 pkt\nZapisanie równania z niewiadomą sin x : \n\n2\n2\n4sin\n1 sin\n1 4sin\nx\nx\nx\n\n\n\nRozwiązanie, w którym jest istotny postęp 2 pkt\nZapisanie równania w postaci alternatywy:\n1\nsin\n2\nx \nlub\n1\nsin\n2\nx \n, lub sin\n1\nx .\nPokonanie zasadniczych trudności zadania 3 pkt\nRozwiązanie jednego z trzech równań w przedziale \n\n,0\n\n\nRozwiązanie pełne 4 pkt\nPodanie wszystkich rozwiązań należących do przedziału \n\n,0\n\n\n:\n6\nx\n\n\nlub\n5\n6\nx\n\n\n, lub\n2\nx\n\n\nUwagi\n1. Jeżeli zdający nie odrzuci warunku\n1\nsin\n2\nx \noraz wyznaczy z pozostałych\nwarunków poprawne rozwiązania równania, to otrzymuje 3 punkty.\n2. Jeżeli zdający poda ogólne rozwiązania równania bez uwzględnienia przedziału\n\n\n,0\n\n\n, to otrzymuje 3 punkty.\n8\nRozwiązania zadań i schemat punktowania - poziom rozszerzony","solution":"$x = -\\dfrac{\\pi}{6}$ lub $x = -\\dfrac{5\\pi}{6}$, lub $x = -\\dfrac{\\pi}{2}$.","image":"img/matematyka-2015-czerwiec-matura-rozszerzona/zad-10.webp","solution_image":"img/matematyka-2015-czerwiec-matura-rozszerzona/sol-10.svg","topics":"trygonometria","page_from":10,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"zadaniazmatur","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2015 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"

Zadanie 10. (0-4)
Rozwiąż równanie (
)
2
2
2
4sin
1 sin
cos
3sin
x
x
x
x
⋅
, dla
(
)
,0
x
π
∈-

\n

MMA_1R
Rozwiąż równanie (4sin²x-1)⋅sin x = cos²x - 3sin²x, dla x∈(-π,0).

","answer_text_html":"

Zadanie 10. (0-4)
Rozwiąż równanie 

2
2
2
4sin
1 sin
cos
3sin
x
x
x
x




, dla


,0
x


Rozwiązanie
Korzystamy ze wzoru
2
2
sin
cos
1
x
x

 i zapisujemy równanie


2
2
2
4sin
1 sin
cos
3sin
x
x
x
x




w postaci równoważnej 

2
2
4sin
1 sin
1 4sin
x
x
x



Przekształcamy to równanie i zapisujemy je w postaci iloczynowej:


2
2
4sin
1 sin
1 4sin
0
x
x
x




,



2
4sin
1
sin
1
0
x
x




,




2sin
1
2sin
1
sin
1
0
x
x
x






Warunek
1
sin
2
x 
jest sprzeczny z założeniem


,0
x


, bo wtedy sin
0.
x 
Zatem warunki
1
sin
2
x 
i


,0
x


wyznaczają rozwiązanie
6
x


lub
5
6
x


,
a warunki sin
1
x  i


,0
x


wyznaczają rozwiązanie
2
x


Schemat oceniania
Rozwiązanie, w którym jest istotny postęp, ale nie zostały pokonane zasadnicze
trudności zadania 1 pkt
Zapisanie równania z niewiadomą sin x : 

2
2
4sin
1 sin
1 4sin
x
x
x



Rozwiązanie, w którym jest istotny postęp 2 pkt
Zapisanie równania w postaci alternatywy:
1
sin
2
x 
lub
1
sin
2
x 
, lub sin
1
x .
Pokonanie zasadniczych trudności zadania 3 pkt
Rozwiązanie jednego z trzech równań w przedziale 

,0


Rozwiązanie pełne 4 pkt
Podanie wszystkich rozwiązań należących do przedziału 

,0


:
6
x


lub
5
6
x


, lub
2
x


Uwagi

\n
  1. Jeżeli zdający nie odrzuci warunku
\n

1
sin
2
x 
oraz wyznaczy z pozostałych
warunków poprawne rozwiązania równania, to otrzymuje 3 punkty.

\n
  1. Jeżeli zdający poda ogólne rozwiązania równania bez uwzględnienia przedziału
\n



,0


, to otrzymuje 3 punkty.
8
Rozwiązania zadań i schemat punktowania - poziom rozszerzony

","solutions":[{"source":"site","label":"matematykaszkolna.pl","kind":"image","image":"/img/matematyka-2015-czerwiec-matura-rozszerzona/sol-10.svg"},{"source":"zadaniazmatur","label":"zadaniazmatur.pl","kind":"text","html":"

$x = -\\dfrac{\\pi}{6}$ lub $x = -\\dfrac{5\\pi}{6}$, lub $x = -\\dfrac{\\pi}{2}$.

"}]}