{"id":"matematyka-2015-czerwiec-matura-rozszerzona/zad/11","paper_id":"matematyka-2015-czerwiec-matura-rozszerzona","number":"11","points":0,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2015,"month":"czerwiec","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 11. (0-4)\nW trójkąt prostokątny o przyprostokątnych długości 15 i 20 wpisano okrąg. Oblicz długość\nodcinka łączącego wierzchołek kąta prostego tego trójkąta z punktem wspólnym okręgu\ni przeciwprostokątnej.\nOdpowiedź:\n\nMMA_1R\nW trójkąt prostokątny o przyprostokątnych długości 15 i 20 wpisano okrąg. Oblicz długość odcinka łączącego wierzchołek kąta prostego tego trójkąta z punktem wspólnym okręgu i przeciwprostokątnej.","answer":null,"answer_text":"Zadanie 11. (0-4)\nW trójkąt prostokątny o przyprostokątnych długości 15 i 20 wpisano okrąg. Oblicz długość\nodcinka łączącego wierzchołek kąta prostego tego trójkąta z punktem wspólnym okręgu\ni przeciwprostokątnej.\nRozwiązanie\nPrzyjmijmy oznaczenia jak na rysunku.\nObliczamy, korzystając z twierdzenia Pitagorasa, długość przeciwprostokątnej AB:\n25\nAB \ni kosinus kąta\nCAB\n:\n3\ncos\n5\nCAB \nObliczamy promień okręgu wpisanego w trójkąt prostokątny:\n15\n20\n25\n5\n2\n2\nAC\nBC\nAB\nr\n\n\n\n\n\n\n\nZ twierdzenia o odcinkach stycznych wyznaczamy długość odcinka AD:\n10\nAD \nObliczamy CD stosując twierdzenie kosinusów dla trójkąta ACD:\n2\n2\n2\n3\n2\ncos\n225 100\n2 15 10\n145\n5\nCD\nAC\nAD\nAC AD\nCAD\n\n\n\n\n\n\n\n\n\nStąd\n145\nCD \nSchemat oceniania\nRozwiązanie, w którym postęp jest niewielki, ale konieczny na drodze do pełnego\nrozwiązania zadania 1 pkt\nZdający obliczy długość przeciwprostokątnej i kosinusa kąta ostrego trójkąta:\n25\nAB \n,\n3\ncos\n5\nCAB \nRozwiązanie, w którym jest istotny postęp 2 pkt\nZdający obliczy długość promienia okręgu wpisanego w trójkąt:\n5\nr \nA\nB\nC\nr\nD\n9\nRozwiązania zadań i schemat punktowania - poziom rozszerzony\nPokonanie zasadniczych trudności zadania 3 pkt\nObliczenie długości odcinka AD:\n10\nAD \nRozwiązanie pełne 4 pkt\nWyznaczenie długości odcinka CD:\n145\nCD \nUwaga\nJeżeli zdający zakłada, że odcinek CD jest prostopadły do przeciwprostokątnej AB i z tego\nkorzysta, to za całe zadanie może otrzymać nie więcej niż 1 punkt.","solution":"$|CD| = \\sqrt{145}$","image":"img/matematyka-2015-czerwiec-matura-rozszerzona/zad-11.webp","solution_image":"img/matematyka-2015-czerwiec-matura-rozszerzona/sol-11.svg","topics":"planimetria","page_from":11,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"zadaniazmatur","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2015 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"

Zadanie 11. (0-4)
W trójkąt prostokątny o przyprostokątnych długości 15 i 20 wpisano okrąg. Oblicz długość
odcinka łączącego wierzchołek kąta prostego tego trójkąta z punktem wspólnym okręgu
i przeciwprostokątnej.
Odpowiedź:

\n

MMA_1R
W trójkąt prostokątny o przyprostokątnych długości 15 i 20 wpisano okrąg. Oblicz długość odcinka łączącego wierzchołek kąta prostego tego trójkąta z punktem wspólnym okręgu i przeciwprostokątnej.

","answer_text_html":"

Zadanie 11. (0-4)
W trójkąt prostokątny o przyprostokątnych długości 15 i 20 wpisano okrąg. Oblicz długość
odcinka łączącego wierzchołek kąta prostego tego trójkąta z punktem wspólnym okręgu
i przeciwprostokątnej.
Rozwiązanie
Przyjmijmy oznaczenia jak na rysunku.
Obliczamy, korzystając z twierdzenia Pitagorasa, długość przeciwprostokątnej AB:
25
AB 
i kosinus kąta
CAB
:
3
cos
5
CAB 
Obliczamy promień okręgu wpisanego w trójkąt prostokątny:
15
20
25
5
2
2
AC
BC
AB
r







Z twierdzenia o odcinkach stycznych wyznaczamy długość odcinka AD:
10
AD 
Obliczamy CD stosując twierdzenie kosinusów dla trójkąta ACD:
2
2
2
3
2
cos
225 100
2 15 10
145
5
CD
AC
AD
AC AD
CAD









Stąd
145
CD 
Schemat oceniania
Rozwiązanie, w którym postęp jest niewielki, ale konieczny na drodze do pełnego
rozwiązania zadania 1 pkt
Zdający obliczy długość przeciwprostokątnej i kosinusa kąta ostrego trójkąta:
25
AB 
,
3
cos
5
CAB 
Rozwiązanie, w którym jest istotny postęp 2 pkt
Zdający obliczy długość promienia okręgu wpisanego w trójkąt:
5
r 
A
B
C
r
D
9
Rozwiązania zadań i schemat punktowania - poziom rozszerzony
Pokonanie zasadniczych trudności zadania 3 pkt
Obliczenie długości odcinka AD:
10
AD 
Rozwiązanie pełne 4 pkt
Wyznaczenie długości odcinka CD:
145
CD 
Uwaga
Jeżeli zdający zakłada, że odcinek CD jest prostopadły do przeciwprostokątnej AB i z tego
korzysta, to za całe zadanie może otrzymać nie więcej niż 1 punkt.

","solutions":[{"source":"site","label":"matematykaszkolna.pl","kind":"image","image":"/img/matematyka-2015-czerwiec-matura-rozszerzona/sol-11.svg"},{"source":"zadaniazmatur","label":"zadaniazmatur.pl","kind":"text","html":"

$|CD| = \\sqrt{145}$

"}]}