{"id":"matematyka-2015-czerwiec-matura-rozszerzona/zad/12","paper_id":"matematyka-2015-czerwiec-matura-rozszerzona","number":"12","points":0,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2015,"month":"czerwiec","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 12. (0-4)\nDany jest trójkąt ABC , w którym\na\nBC =\n. Z wierzchołka B poprowadzono środkową BD do\nboku AC. Punkt S jest środkiem odcinka BD. Przez punkty A i S poprowadzono prostą, która\nprzecięła bok BC w punkcie P . Wykaż, że długość odcinka CP jest równa\na\n3\n2\n\nMMA_1R\nOdpowiedź:\n\nMMA_1R\nDany jest trójkąt ABC, w którym |BC|=a. Z wierzchołka B poprowadzono środkową BD do boku AC. Punkt S jest środkiem odcinka BD. Przez punkty A i S poprowadzono prostą, która przecięła bok BC w punkcie P. Wykaż, że długość odcinka CP jest równa 2/3a.","answer":null,"answer_text":"Zadanie 12. (0-4)\nDany jest trójkąt ABC , w którym\na\nBC \n. Z wierzchołka B poprowadzono środkową BD do\nboku AC. Punkt S jest środkiem odcinka BD. Przez punkty A i S poprowadzono prostą, która\nprzecięła bok BC w punkcie P . Wykaż, że długość odcinka CP jest równa\na\n3\n2\nRozwiązanie\nRysujemy trójkąt ABC , zaznaczamy punkty\nP\nS\nD\n,\n,\ni rysujemy odcinek SM równoległy do\nAC i taki, że\nBC\nM \nTrójkąty BSM i BDC są podobne, zatem\n1\n2\nBS\nBM\nDB\nBC\n\n\n, stąd\n1\n2\nBM\nCM\na\n\n\ni\nAC\nDC\nMS\n4\n1\n2\n1\n\n\nTrójkąty PSM i PAC są podobne, zatem PM\nPC\nMS\nAC\n\n. Stąd\nAC\nCM\nPM\nMS\nMP\n\n\ni\n1\n2\n1\n4\nMP\na\nMP\nAC\nAC\n\n\n, czyli\n1\n4\n2\nMP\nMP\na\n\n\n. Stąd\n1\n6\nMP\na\n\nSzukany odcinek ma więc długość:\na\na\na\nMP\nMC\nCP\n3\n2\n6\n1\n2\n1\n\n\n\n\n\n, co należało wykazać.\nA\nB\nC\nD\nS\nM\nP\n10\nRozwiązania zadań i schemat punktowania - poziom rozszerzony\nSchemat oceniania\nRozwiązanie, w którym postęp jest niewielki ale konieczny na drodze do pełnego\nrozwiązania 1 p.\nZdający zauważy, że trójkąty BSM i BDC są podobne i zapisze proporcję\n1\n2\nBS\nBM\nDB\nBC\n\n\ni na tym poprzestanie lub dalej popełni błędy.\nRozwiązanie, w którym jest istotny postęp 2 p.\nZdający obliczy długość odcinka CM oraz wyznaczy długość odcinka MS w zależności od\ndługości odcinka AC :\n1\n2\nCM\na\n\n,\nAC\nDC\nMS\n4\n1\n2\n1\n\n\ni na tym poprzestanie lub dalej\npopełni błędy.\nPokonanie zasadniczych trudności zadania 3 p.\nZdający obliczy długość odcinka MP:\n1\n6\nMP\na\n\nRozwiązanie pełne 4 p.\nZdający przeprowadzi pełne rozumowania, tzn. wyznaczy długość odcinka:\n2\n3\nCP\na\n","solution":"co należało wykazać.","image":"img/matematyka-2015-czerwiec-matura-rozszerzona/zad-12.webp","solution_image":"img/matematyka-2015-czerwiec-matura-rozszerzona/sol-12.svg","topics":"dowody_geometryczne","page_from":12,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"zadaniazmatur","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2015 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"

Zadanie 12. (0-4)
Dany jest trójkąt ABC , w którym
a
BC =
. Z wierzchołka B poprowadzono środkową BD do
boku AC. Punkt S jest środkiem odcinka BD. Przez punkty A i S poprowadzono prostą, która
przecięła bok BC w punkcie P . Wykaż, że długość odcinka CP jest równa
a
3
2

\n

MMA_1R
Odpowiedź:

\n

MMA_1R
Dany jest trójkąt ABC, w którym |BC|=a. Z wierzchołka B poprowadzono środkową BD do boku AC. Punkt S jest środkiem odcinka BD. Przez punkty A i S poprowadzono prostą, która przecięła bok BC w punkcie P. Wykaż, że długość odcinka CP jest równa 2/3a.

","answer_text_html":"

Zadanie 12. (0-4)
Dany jest trójkąt ABC , w którym
a
BC 
. Z wierzchołka B poprowadzono środkową BD do
boku AC. Punkt S jest środkiem odcinka BD. Przez punkty A i S poprowadzono prostą, która
przecięła bok BC w punkcie P . Wykaż, że długość odcinka CP jest równa
a
3
2
Rozwiązanie
Rysujemy trójkąt ABC , zaznaczamy punkty
P
S
D
,
,
i rysujemy odcinek SM równoległy do
AC i taki, że
BC
M 
Trójkąty BSM i BDC są podobne, zatem
1
2
BS
BM
DB
BC


, stąd
1
2
BM
CM
a


i
AC
DC
MS
4
1
2
1


Trójkąty PSM i PAC są podobne, zatem PM
PC
MS
AC

. Stąd
AC
CM
PM
MS
MP


i
1
2
1
4
MP
a
MP
AC
AC


, czyli
1
4
2
MP
MP
a


. Stąd
1
6
MP
a

Szukany odcinek ma więc długość:
a
a
a
MP
MC
CP
3
2
6
1
2
1





, co należało wykazać.
A
B
C
D
S
M
P
10
Rozwiązania zadań i schemat punktowania - poziom rozszerzony
Schemat oceniania
Rozwiązanie, w którym postęp jest niewielki ale konieczny na drodze do pełnego
rozwiązania 1 p.
Zdający zauważy, że trójkąty BSM i BDC są podobne i zapisze proporcję
1
2
BS
BM
DB
BC


i na tym poprzestanie lub dalej popełni błędy.
Rozwiązanie, w którym jest istotny postęp 2 p.
Zdający obliczy długość odcinka CM oraz wyznaczy długość odcinka MS w zależności od
długości odcinka AC :
1
2
CM
a

,
AC
DC
MS
4
1
2
1


i na tym poprzestanie lub dalej
popełni błędy.
Pokonanie zasadniczych trudności zadania 3 p.
Zdający obliczy długość odcinka MP:
1
6
MP
a

Rozwiązanie pełne 4 p.
Zdający przeprowadzi pełne rozumowania, tzn. wyznaczy długość odcinka:
2
3
CP
a

","solutions":[{"source":"site","label":"matematykaszkolna.pl","kind":"image","image":"/img/matematyka-2015-czerwiec-matura-rozszerzona/sol-12.svg"},{"source":"zadaniazmatur","label":"zadaniazmatur.pl","kind":"text","html":"

co należało wykazać.

"}]}