{"id":"matematyka-2015-czerwiec-matura-rozszerzona/zad/13","paper_id":"matematyka-2015-czerwiec-matura-rozszerzona","number":"13","points":0,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2015,"month":"czerwiec","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 13. (0-5)\nOblicz, ile jest wszystkich liczb naturalnych pięciocyfrowych parzystych, w których zapisie\nwystępują co najwyżej dwie dwójki.\n\nMMA_1R\nOdpowiedź:\n\nMMA_1R\nOblicz, ile jest wszystkich liczb naturalnych pięciocyfrowych parzystych, w których zapisie występują co najwyżej dwie dwójki.","answer":null,"answer_text":"Zadanie 13. (0-5)\nOblicz, ile jest wszystkich liczb naturalnych pięciocyfrowych parzystych, w których zapisie\nwystępują co najwyżej dwie dwójki.\nRozwiązanie\nW zapisie liczby mają być co najwyżej dwie dwójki, tzn. zero dwójek lub jedna dwójka, lub\ndwie dwójki.\n1. Obliczamy, ile jest liczb 5-cyfrowych parzystych, w których zapisie nie ma dwójki: na\npierwszym miejscu występuje dowolna spośród 8 cyfr (bez zera i dwójki), na drugim jedna\nz 9 cyfr (bez dwójki), na trzecim jedna z 9 cyfr (bez dwójki), na czwartym jedna z 9 cyfr (bez\ndwójki) i na piątym miejscu jedna z cyfr należących do zbioru\n\n8,6,4,0\n. Zatem liczb\nparzystych pięciocyfrowych bez dwójki jest:\n23328\n4\n9\n9\n9\n8\n\n\n\n\n\n2. Obliczamy, ile jest liczb 5-cyfrowych parzystych, w których zapisie jest dokładnie jedna\ndwójka:\na) dwójka występuje na pierwszym miejscu, na drugim dowolna z 9 cyfr (bez dwójki), na\ntrzecim dowolna z 9 cyfr (bez dwójki), na czwartym dowolna z 9 cyfr (bez dwójki), na piątym\ndowolna z cyfr należących do zbioru \n\n8,6,4,0\n. Zatem liczb parzystych pięciocyfrowych\nz dwójką na pierwszym miejscu jest:\n2916\n4\n9\n9\n9\n\n\n\n\n11\nRozwiązania zadań i schemat punktowania - poziom rozszerzony\nb) dwójka występuje na drugim miejscu, na pierwszym dowolna z 8 cyfr (bez dwójki i zera),\nna trzecim dowolna z 9 cyfr (bez dwójki), na czwartym dowolna z 9 cyfr (bez dwójki), na\npiątym dowolna z cyfr należących do zbioru \n\n8,6,4,0\n. Zatem liczb parzystych\npięciocyfrowych z dwójką na drugim miejscu jest:\n2592\n4\n9\n9\n8\n\n\n\n\nc) dwójka występuje na trzecim miejscu, na pierwszym dowolna z 8 cyfr (bez dwójki i zera),\nna drugim dowolna z 9 cyfr (bez dwójki), na czwartym dowolna z 9 cyfr (bez dwójki), na\npiątym dowolna z cyfr należących do zbioru \n\n8,6,4,0\n. Zatem liczb parzystych\npięciocyfrowych z dwójką na trzecim miejscu jest:\n2592\n4\n9\n9\n8\n\n\n\n\nd) dwójka występuje na czwartym miejscu, na pierwszym dowolna z 8 cyfr (bez dwójki\ni zera), na drugim dowolna z 9 cyfr (bez dwójki), na trzecim dowolna z 9 cyfr (bez dwójki),\nna piątym dowolna z cyfr należących do zbioru \n\n8,6,4,0\n. Zatem liczb parzystych\npięciocyfrowych z dwójką na czwartym miejscu jest:\n2592\n4\n9\n9\n8\n\n\n\n\ne) dwójka na piątym miejscu, na pierwszym dowolna z 8 cyfr (bez dwójki i zera), na drugim\ndowolna z 9 cyfr (bez dwójki), na trzecim dowolna z 9 cyfr (bez dwójki), na czwartym\ndowolna z 9 cyfr (bez dwójki). Zatem liczb parzystych pięciocyfrowych z dwójką na piątym\nmiejscu jest:\n5832\n9\n9\n9\n8\n\n\n\n\nStąd wszystkich liczb pięciocyfrowych z jedną dwójką jest:\n16524\n5832\n2592\n2592\n2592\n2916\n\n\n\n\n\n3. Obliczamy, ile jest liczb 5-cyfrowych parzystych, w których zapisie są dokładnie dwie\ndwójki:\na) jedna dwójka występuje na pierwszym miejscu, druga na drugim, trzecim lub czwartym,\nzatem każdą z pozostałych środkowych dwóch cyfr wybieramy spośród 9 cyfr (bez dwójki)\ni piątą cyfrę spośród z cyfr należących do zbioru \n\n8,6,4,0\n. Tych liczb jest więc:\n972\n4\n9\n9\n3\n\n\n\n\nb) jedna dwójka występuje na pierwszym miejscu, a druga dwójka na piątym miejscu, zatem\nkażdą z pozostałych środkowych trzech cyfr wybieramy spośród 9 cyfr (bez dwójki). Tych\nliczb jest więc:\n729\n9\n9\n9\n\n\n\nc) jedna dwójka występuje na drugim miejscu, a druga dwójka na trzecim lub czwartym\nmiejscu, zatem pierwszą cyfrę wybieramy spośród 8 (bez dwójki i zera) pozostałą środkową\nspośród 9 cyfr (bez dwójki) i piątą cyfrę spośród z cyfr należących do zbioru \n\n8,6,4,0\n. Tych\nliczb jest więc:\n576\n4\n9\n8\n2\n\n\n\n\nd) jedna dwójka występuje na drugim miejscu, a druga dwójka na piątym miejscu, zatem\npierwszą cyfrę wybieramy spośród 8 (bez dwójki i zera), pozostałe dwie środkowe cyfry\nspośród 9 (bez dwójki). Tych liczb jest więc:\n648\n9\n9\n8\n\n\n\ne) jedna dwójka występuje na trzecim miejscu, a druga dwójka na czwartym miejscu, zatem\npierwszą cyfrę wybieramy spośród 8 (bez dwójki i zera), drugą spośród 9 i piątą cyfrę spośród\nz cyfr należących do zbioru \n\n8,6,4,0\n.Tych liczb jest więc:\n288\n4\n9\n8\n\n\n\n12\nRozwiązania zadań i schemat punktowania - poziom rozszerzony\nf) jedna dwójka występuje na trzecim lub na czwartym miejscu, a druga dwójka na piątym\nmiejscu, zatem pierwszą cyfrę wybieramy spośród 8 (bez dwójki i zera), drugą spośród 9 (bez\ndwójki) i trzecią lub czwartą cyfrę spośród 9 (bez dwójki). Tych liczb jest więc:\n1296\n9\n9\n8\n2\n\n\n\n\nStąd wszystkich liczb pięciocyfrowych z dwiema dwójkami jest\n4509\n1296\n288\n648\n576\n729\n972\n\n\n\n\n\n\nZatem wszystkich liczb pięciocyfrowych parzystych, w których zapisie występują co\nnajwyżej dwie dwójki jest:\n44361\n4509\n16524\n23328\n\n\n\nOdpowiedź: Jest 44361 liczb parzystych, w których zapisie występują co najwyżej dwie\ndwójki.\nSchemat oceniania\nRozwiązanie, w którym postęp jest niewielki, ale konieczny na drodze do pełnego\nrozwiązania 1 p.\nZapisanie, że szukamy liczb, w których zapisie występuje zero, jedna lub dwie dwójki\ni obliczenie, ile jest liczb pięciocyfrowych parzystych bez dwójki:\n23328\n4\n9\n9\n9\n8\n\n\n\n\n\nRozwiązanie, w którym jest istotny postęp 3 p.\nObliczenie, ile jest liczb pięciocyfrowych parzystych , w których zapisie jest dokładnie jedna\ndwójka:\n16524\n5832\n2692\n2592\n2592\n2916\n\n\n\n\n\nUwaga\nZdający otrzymuje 2 punkty, gdy pominie jeden przypadek.\nPokonanie zasadniczych trudności zadania 4 p.\nObliczenie, ile jest liczb pięciocyfrowych parzystych , w których zapisie są\ndwie dwójki:\n4509\n1296\n288\n648\n576\n729\n972\n\n\n\n\n\n\nUwaga\nZdający otrzymuje 3 punkty, gdy pominie jeden przypadek.\nRozwiązanie pełne 5 p.\nObliczenie, ile jest wszystkich liczb, w których zapisie występują co najwyżej\ndwie dwójki:\n44361\n4509\n16524\n23328\n\n\n\n13\nRozwiązania zadań i schemat punktowania - poziom rozszerzony","solution":"Jest $44361$ liczb parzystych, w których zapisie występują co najwyżej dwie dwójki.","image":"img/matematyka-2015-czerwiec-matura-rozszerzona/zad-13.webp","solution_image":"img/matematyka-2015-czerwiec-matura-rozszerzona/sol-13.svg","topics":"kombinatoryka","page_from":14,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"zadaniazmatur","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2015 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"

Zadanie 13. (0-5)
Oblicz, ile jest wszystkich liczb naturalnych pięciocyfrowych parzystych, w których zapisie
występują co najwyżej dwie dwójki.

\n

MMA_1R
Odpowiedź:

\n

MMA_1R
Oblicz, ile jest wszystkich liczb naturalnych pięciocyfrowych parzystych, w których zapisie występują co najwyżej dwie dwójki.

","answer_text_html":"

Zadanie 13. (0-5)
Oblicz, ile jest wszystkich liczb naturalnych pięciocyfrowych parzystych, w których zapisie
występują co najwyżej dwie dwójki.
Rozwiązanie
W zapisie liczby mają być co najwyżej dwie dwójki, tzn. zero dwójek lub jedna dwójka, lub
dwie dwójki.

\n
  1. Obliczamy, ile jest liczb 5-cyfrowych parzystych, w których zapisie nie ma dwójki: na
\n

pierwszym miejscu występuje dowolna spośród 8 cyfr (bez zera i dwójki), na drugim jedna
z 9 cyfr (bez dwójki), na trzecim jedna z 9 cyfr (bez dwójki), na czwartym jedna z 9 cyfr (bez
dwójki) i na piątym miejscu jedna z cyfr należących do zbioru

8,6,4,0
. Zatem liczb
parzystych pięciocyfrowych bez dwójki jest:
23328
4
9
9
9
8




\n
  1. Obliczamy, ile jest liczb 5-cyfrowych parzystych, w których zapisie jest dokładnie jedna
\n

dwójka:
a) dwójka występuje na pierwszym miejscu, na drugim dowolna z 9 cyfr (bez dwójki), na
trzecim dowolna z 9 cyfr (bez dwójki), na czwartym dowolna z 9 cyfr (bez dwójki), na piątym
dowolna z cyfr należących do zbioru 

8,6,4,0
. Zatem liczb parzystych pięciocyfrowych
z dwójką na pierwszym miejscu jest:
2916
4
9
9
9




11
Rozwiązania zadań i schemat punktowania - poziom rozszerzony
b) dwójka występuje na drugim miejscu, na pierwszym dowolna z 8 cyfr (bez dwójki i zera),
na trzecim dowolna z 9 cyfr (bez dwójki), na czwartym dowolna z 9 cyfr (bez dwójki), na
piątym dowolna z cyfr należących do zbioru 

8,6,4,0
. Zatem liczb parzystych
pięciocyfrowych z dwójką na drugim miejscu jest:
2592
4
9
9
8




c) dwójka występuje na trzecim miejscu, na pierwszym dowolna z 8 cyfr (bez dwójki i zera),
na drugim dowolna z 9 cyfr (bez dwójki), na czwartym dowolna z 9 cyfr (bez dwójki), na
piątym dowolna z cyfr należących do zbioru 

8,6,4,0
. Zatem liczb parzystych
pięciocyfrowych z dwójką na trzecim miejscu jest:
2592
4
9
9
8




d) dwójka występuje na czwartym miejscu, na pierwszym dowolna z 8 cyfr (bez dwójki
i zera), na drugim dowolna z 9 cyfr (bez dwójki), na trzecim dowolna z 9 cyfr (bez dwójki),
na piątym dowolna z cyfr należących do zbioru 

8,6,4,0
. Zatem liczb parzystych
pięciocyfrowych z dwójką na czwartym miejscu jest:
2592
4
9
9
8




e) dwójka na piątym miejscu, na pierwszym dowolna z 8 cyfr (bez dwójki i zera), na drugim
dowolna z 9 cyfr (bez dwójki), na trzecim dowolna z 9 cyfr (bez dwójki), na czwartym
dowolna z 9 cyfr (bez dwójki). Zatem liczb parzystych pięciocyfrowych z dwójką na piątym
miejscu jest:
5832
9
9
9
8




Stąd wszystkich liczb pięciocyfrowych z jedną dwójką jest:
16524
5832
2592
2592
2592
2916




\n
  1. Obliczamy, ile jest liczb 5-cyfrowych parzystych, w których zapisie są dokładnie dwie
\n

dwójki:
a) jedna dwójka występuje na pierwszym miejscu, druga na drugim, trzecim lub czwartym,
zatem każdą z pozostałych środkowych dwóch cyfr wybieramy spośród 9 cyfr (bez dwójki)
i piątą cyfrę spośród z cyfr należących do zbioru 

8,6,4,0
. Tych liczb jest więc:
972
4
9
9
3




b) jedna dwójka występuje na pierwszym miejscu, a druga dwójka na piątym miejscu, zatem
każdą z pozostałych środkowych trzech cyfr wybieramy spośród 9 cyfr (bez dwójki). Tych
liczb jest więc:
729
9
9
9



c) jedna dwójka występuje na drugim miejscu, a druga dwójka na trzecim lub czwartym
miejscu, zatem pierwszą cyfrę wybieramy spośród 8 (bez dwójki i zera) pozostałą środkową
spośród 9 cyfr (bez dwójki) i piątą cyfrę spośród z cyfr należących do zbioru 

8,6,4,0
. Tych
liczb jest więc:
576
4
9
8
2




d) jedna dwójka występuje na drugim miejscu, a druga dwójka na piątym miejscu, zatem
pierwszą cyfrę wybieramy spośród 8 (bez dwójki i zera), pozostałe dwie środkowe cyfry
spośród 9 (bez dwójki). Tych liczb jest więc:
648
9
9
8



e) jedna dwójka występuje na trzecim miejscu, a druga dwójka na czwartym miejscu, zatem
pierwszą cyfrę wybieramy spośród 8 (bez dwójki i zera), drugą spośród 9 i piątą cyfrę spośród
z cyfr należących do zbioru 

8,6,4,0
.Tych liczb jest więc:
288
4
9
8



12
Rozwiązania zadań i schemat punktowania - poziom rozszerzony
f) jedna dwójka występuje na trzecim lub na czwartym miejscu, a druga dwójka na piątym
miejscu, zatem pierwszą cyfrę wybieramy spośród 8 (bez dwójki i zera), drugą spośród 9 (bez
dwójki) i trzecią lub czwartą cyfrę spośród 9 (bez dwójki). Tych liczb jest więc:
1296
9
9
8
2




Stąd wszystkich liczb pięciocyfrowych z dwiema dwójkami jest
4509
1296
288
648
576
729
972






Zatem wszystkich liczb pięciocyfrowych parzystych, w których zapisie występują co
najwyżej dwie dwójki jest:
44361
4509
16524
23328



Odpowiedź: Jest 44361 liczb parzystych, w których zapisie występują co najwyżej dwie
dwójki.
Schemat oceniania
Rozwiązanie, w którym postęp jest niewielki, ale konieczny na drodze do pełnego
rozwiązania 1 p.
Zapisanie, że szukamy liczb, w których zapisie występuje zero, jedna lub dwie dwójki
i obliczenie, ile jest liczb pięciocyfrowych parzystych bez dwójki:
23328
4
9
9
9
8





Rozwiązanie, w którym jest istotny postęp 3 p.
Obliczenie, ile jest liczb pięciocyfrowych parzystych , w których zapisie jest dokładnie jedna
dwójka:
16524
5832
2692
2592
2592
2916





Uwaga
Zdający otrzymuje 2 punkty, gdy pominie jeden przypadek.
Pokonanie zasadniczych trudności zadania 4 p.
Obliczenie, ile jest liczb pięciocyfrowych parzystych , w których zapisie są
dwie dwójki:
4509
1296
288
648
576
729
972






Uwaga
Zdający otrzymuje 3 punkty, gdy pominie jeden przypadek.
Rozwiązanie pełne 5 p.
Obliczenie, ile jest wszystkich liczb, w których zapisie występują co najwyżej
dwie dwójki:
44361
4509
16524
23328



13
Rozwiązania zadań i schemat punktowania - poziom rozszerzony

","solutions":[{"source":"site","label":"matematykaszkolna.pl","kind":"image","image":"/img/matematyka-2015-czerwiec-matura-rozszerzona/sol-13.svg"},{"source":"zadaniazmatur","label":"zadaniazmatur.pl","kind":"text","html":"

Jest $44361$ liczb parzystych, w których zapisie występują co najwyżej dwie dwójki.

"}]}