Zadanie 14. (0-5)
Podstawą ostrosłupa ABCDS jest trapez ABCD. Przekątna AC tego trapezu ma długość
3
8
,
jest prostopadła do ramienia BC i tworzy z dłuższą podstawą AB tego trapezu kąt o mierze
30°. Każda krawędź boczna tego ostrosłupa ma tę samą długość
5
4
. Oblicz odległość
spodka wysokości tego ostrosłupa od jego krawędzi bocznej SD.
MMA_1R
Odpowiedź:
MMA_1R
Podstawą ostrosłupa ABCDS jest trapez ABCD. Przekątna AC tego trapezu ma długość 8√3, jest prostopadła do ramienia BC i tworzy z dłuższą podstawą AB tego trapezu kąt o mierze 30°. Każda krawędź boczna tego ostrosłupa ma tę samą długość 4√5. Oblicz odległość spodka wysokości tego ostrosłupa od jego krawędzi bocznej SD.
Zadanie 14. (0-5)
Podstawą ostrosłupa ABCDS jest trapez ABCD. Przekątna AC tego trapezu ma długość
3
8
,
jest prostopadła do ramienia BC i tworzy z dłuższą podstawą AB tego trapezu kąt o mierze
30. Każda krawędź boczna tego ostrosłupa ma tę samą długość
5
4
. Oblicz odległość
spodka wysokości tego ostrosłupa od jego krawędzi bocznej SD.
Rozwiązanie
Przyjmijmy oznaczenia jak na rysunku.
Krawędzie boczne ostrosłupa są tej samej długości, zatem spodek wysokości ostrosłupa jest
środkiem okręgu opisanego na podstawie ostrosłupa i trapez ABCD jest trapezem
równoramiennym, gdzie |AD|=|BC|. Przekątna d trapezu będącego podstawą ostrosłupa jest
prostopadła do ramienia |BC|. Stąd środek O okręgu opisanego na podstawie jest środkiem
dłuższej podstawy AB trapezu. Zatem ściana boczna ABS jest prostopadła do płaszczyzny
podstawy.
Z trójkąta ABC mamy
8
BC
AD
.
Dalej wyznaczamy
60
ODA
i
AO
OD
, czyli trójkąt AOD jest trójkątem
równobocznym o boku długości 8.
Z trójkąta SOD lub AOS mamy
2
2
28
4 5
H
. Stąd
4
H
Z trójkąta SOD otrzymujemy:
8 5
5
OK
. Krawędzie boczne ostrosłupa są tej samej
długości, zatem spodek wysokości ostrosłupa jest środkiem okręgu opisanego na podstawie
ostrosłupa i trapez ABCD jest trapezem równoramiennym, gdzie |AD|=|BC|. Przekątna d
A
B
C
D
S
O
K
H
30°
14
Rozwiązania zadań i schemat punktowania - poziom rozszerzony
trapezu będącego podstawą ostrosłupa jest prostopadła do ramienia |BC|. Stąd środek O
okręgu opisanego na podstawie jest środkiem dłuższej podstawy AB trapezu. Zatem ściana
boczna ABS jest prostopadła do płaszczyzny podstawy.
Z trójkąta ABC mamy
8
BC
AD
.
Dalej mamy
60
ODA
i AO
OD
, czyli trójkąt AOD jest trójkątem równobocznym o
boku długości 8.
Z trójkąta SOD lub AOS mamy
2
2
28
4 5
H
. Stąd
4
H
Z trójkąta SOD otrzymujemy:
8 5
5
OK
Schemat oceniania
Rozwiązanie, w którym postęp jest wprawdzie niewielki, ale konieczny na drodze do
całkowitego rozwiązania zadania 1 pkt
Zauważenie, że spodek wysokości ostrosłupa jest środkiem krawędzi AB podstawy i ściana
boczna ABS jest prostopadła do płaszczyzny podstawy.
Rozwiązanie, w którym jest istotny postęp 2 pkt
Wyznaczenie długości ramienia trapezu:
8
BC
AD
.
Pokonanie zasadniczych trudności zadania 3 pkt
Obliczenie wysokości ostrosłupa:
4
H
i poprawnie zinterpretowanie odległości spodka
wysokości od krawędzi bocznej SD.
Rozwiązanie zadania do końca lecz z usterkami, które jednak nie przekreślają
poprawności rozwiązania (np. błędy rachunkowe) 4 pkt
Obliczenie długości odcinka OK z błędami rachunkowymi.
Rozwiązanie pełne 5 pkt
Obliczenie długości odcinka OK:
8 5
5
OK
15
Rozwiązania zadań i schemat punktowania - poziom rozszerzony
$|OK| = \\dfrac{8\\sqrt{5}}{5}$
"}]}