{"id":"matematyka-2015-czerwiec-matura-rozszerzona/zad/15","paper_id":"matematyka-2015-czerwiec-matura-rozszerzona","number":"15","points":0,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2015,"month":"czerwiec","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 15. (0-6)\nFunkcja f jest określona wzorem\n( )\n(\n)\n2\n2\n6\n2\n5\n5\nm\nm\nf x\nx\nm\nx\nm\nm\ndla każdej liczby\nrzeczywistej x . Wyznacz całkowite wartości parametru m, dla których funkcja f przyjmuje\nwartość największą i ma dwa różne miejsca zerowe o jednakowych znakach.\n\nMMA_1R\n\nMMA_1R\nFunkcja f jest określona wzorem f(x) = {m^2+m-6/ m-5}x² - (m-2)x + m-5 dla każdej liczby rzeczywistej x. Wyznacz całkowite wartości parametru m, dla których funkcja f przyjmuje wartość największą i ma dwa różne miejsca zerowe o jednakowych znakach.","answer":null,"answer_text":"Zadanie 15. (0-6)\nFunkcja f jest określona wzorem\n\n\n\n2\n2\n6\n2\n5\n5\nm\nm\nf x\nx\nm\nx\nm\nm\n\n\n\n\n\n\n\n\ndla każdej liczby\nrzeczywistej x . Wyznacz całkowite wartości parametru m, dla których funkcja f przyjmuje\nwartość największą i ma dwa różne miejsca zerowe o jednakowych znakach.\nRozwiązanie\nZałożenie\n5\nm \nGdy\n2\n6\n0\n5\nm\nm\nm\n\n\n\n\n, czyli \n\n\n3\n2\n0\nm\nm\n\n\n\n, a więc dla\n3\nm  lub\n2\nm \nfunkcja jest\nliniowa i nie spełnia warunków zadania. Zatem\n5\nm \n,\n3\nm  i\n2\nm \nWówczas funkcja f jest kwadratowa oraz:\n przyjmuje wartość największą, gdy\n2\n6\n0\n5\nm\nm\nm\n\n\n\n\n,\n ma dwa różne dwa różne miejsca zerowe wtedy i tylko wtedy, gdy\n0\n\n,\n ma dwa miejsca zerowe o jednakowych znakach, gdy dodatkowo\n1\n2\n0\nx x\n\n\nRozwiązujemy nierówność\n2\n6\n0\n5\nm\nm\nm\n\n\n\n\n, otrzymując kolejno\n2\n6\n0\n5\nm\nm\nm\n\n\n\n\n,\n\n\n\n3\n2\n0\n5\nm\nm\nm\n\n\n\n\n,\n\n\n\n\n3\n2\n5\n0\nm\nm\nm\n\n\n\n\nZatem\n\n\n\n\n, 3\n2,5\nm\n\nRozwiązujemy nierówność\n0\n\n, otrzymując kolejno\n\n\n\n\n\n\n2\n2\n6\n2\n4\n5\n0\n5\nm\nm\nm\nm\nm\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n,\n\n\n\n\n2\n2\n2\n4\n6\n0\nm\nm\nm\n\n\n\n\n\n,\n\n\n\n\n\n2\n2\n4\n3\n2\n0\nm\nm\nm\n\n\n\n\n\n,\n\n\n\n\n\n\n\n2\n2\n4\n3\n0\nm\nm\nm\n\n\n\n\n\n,\n\n\n\n2\n2\n4\n12\n0\nm\nm\nm\n\n\n\n\n,\n\n\n\n2\n3\n14\n0\nm\nm\n\n\n\n\nZatem\n14\n2\n3\nm\n\n\n\nRozwiązujemy nierówność\n1\n2\n0\nx x\n\n\n. Możemy wykorzystać wzór Viète’a na iloczyn\npierwiastków trójmianu kwadratowego i wtedy nierówność ma postać\n2\n5\n0\n6\n5\nm\nm\nm\nm\n\n\n\n\n\nRozwiązujemy tę nierówność, otrzymując kolejno\n16\nRozwiązania zadań i schemat punktowania - poziom rozszerzony\n\n\n2\n2\n5\n0\n6\nm\nm\nm\n\n\n\n\n,\n\n\n\n\n2\n5\n2\n3\n0\nm\nm\nm\n\n\n\n\n,\n\n\n\n\n\n\n, 3\n2,5\n5,\nm\n\n\n.\nOtrzymaliśmy zatem\n\n\n\n\n, 3\n2,5\nm\n\ni\n14 ,2\n3\nm\n\n\n\n\n\n\n\ni\n\n\n\n\n\n\n, 3\n2,5\n5,\nm\n\n\n.\nStąd\n14 , 3\n3\nm\n\n\n\n\n\n\n\n\n. Jedyną liczą całkowitą z tego przedziału jest\n4\nm .\nSchemat oceniania\nRozwiązanie zadania składa się z trzech etapów.\nPierwszy etap polega zapisaniu warunku, przy którym funkcja f jest kwadratowa i ma dwa\nróżne pierwiastki, a następnie rozwiązaniu nierówności\n\n\n\n\n\n\n2\n2\n6\n2\n4\n5\n0\n5\nm\nm\nm\nm\nm\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n:\n14\n2\n3\nm\n\n\n\nZa poprawne rozwiązanie nierówności\n0\n\n\nzdający otrzymuje 1 punkt.\nUwaga\nJeżeli zdający zapisze\n0\n\n, to za tę część otrzymuje 0 punktów.\nDrugi etap polega na zapisaniu warunku, przy którym funkcja kwadratowa f przyjmuje\nwartość największą:\n2\n6\n0\n5\nm\nm\nm\n\n\n\n\noraz ma dwa różne miejsca zerowe o jednakowych znakach:\n2\n5\n0\n6\n5\nm\nm\nm\nm\n\n\n\n\n\nZa tę część rozwiązania zdający może otrzymać 4 punkty.\nPodział punktów za drugi etap rozwiązania:\n- Za rozwiązanie nierówności\n2\n6\n0\n5\nm\nm\nm\n\n\n\n\n:\n\n\n\n\n, 3\n2,5\nm\n\nzdający otrzymuje\n2 punkty.\n- Za rozwiązanie nierówności\n1\n2\n0\nx x\n\n\nzdający otrzymuje 2 punkty.\nPrzy czym w tej części:\n1 punkt zdający otrzymuje za zapisanie wyrażenia\n1\n2\nx x\n\nw postaci\n2\n5\n6\n5\nm\nm\nm\nm\n\n\n\n\n,\n2 punkty zdający otrzymuje za rozwiązanie nierówności \n\n2\n2\n5\n0\n6\nm\nm\nm\n\n\n\n\n:\n\n\n\n\n\n\n, 3\n2,5\n5,\nm\n\n\n\n17\nRozwiązania zadań i schemat punktowania - poziom rozszerzony\nTrzeci etap polega na wyznaczeniu części wspólnej rozwiązań nierówności z etapu\npierwszego i drugiego oraz podaniu liczby całkowitej spełniającej warunki zadania:\n4\nm .\nZa tę część rozwiązania zdający może otrzymać 1 punkt.\nUwaga\nZa ostatni etap 1 punkt przyznajemy jedynie wówczas, gdy zdający poprawnie wykona\netap I, rozwiąże nierówność i popełnia błędy w rozwiązaniu nierówności z etapu II albo gdy\npopełnia błędy w etapie I i dobrze rozwiąże co najmniej jedną nierówność z etapu II i poda\nwszystkie całkowite wartości parametru m, dla których są spełnione warunki zadania.","solution":"$m = -4$","image":"img/matematyka-2015-czerwiec-matura-rozszerzona/zad-15.webp","solution_image":"img/matematyka-2015-czerwiec-matura-rozszerzona/sol-15.svg","topics":"parametr","page_from":18,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"zadaniazmatur","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2015 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"

Zadanie 15. (0-6)
Funkcja f jest określona wzorem
( )
(
)
2
2
6
2
5
5
m
m
f x
x
m
x
m
m
dla każdej liczby
rzeczywistej x . Wyznacz całkowite wartości parametru m, dla których funkcja f przyjmuje
wartość największą i ma dwa różne miejsca zerowe o jednakowych znakach.

\n

MMA_1R

\n

MMA_1R
Funkcja f jest określona wzorem f(x) = {m^2+m-6/ m-5}x² - (m-2)x + m-5 dla każdej liczby rzeczywistej x. Wyznacz całkowite wartości parametru m, dla których funkcja f przyjmuje wartość największą i ma dwa różne miejsca zerowe o jednakowych znakach.

","answer_text_html":"

Zadanie 15. (0-6)
Funkcja f jest określona wzorem



2
2
6
2
5
5
m
m
f x
x
m
x
m
m








dla każdej liczby
rzeczywistej x . Wyznacz całkowite wartości parametru m, dla których funkcja f przyjmuje
wartość największą i ma dwa różne miejsca zerowe o jednakowych znakach.
Rozwiązanie
Założenie
5
m 
Gdy
2
6
0
5
m
m
m




, czyli 


3
2
0
m
m



, a więc dla
3
m  lub
2
m 
funkcja jest
liniowa i nie spełnia warunków zadania. Zatem
5
m 
,
3
m  i
2
m 
Wówczas funkcja f jest kwadratowa oraz:
 przyjmuje wartość największą, gdy
2
6
0
5
m
m
m




,
 ma dwa różne dwa różne miejsca zerowe wtedy i tylko wtedy, gdy
0

,
 ma dwa miejsca zerowe o jednakowych znakach, gdy dodatkowo
1
2
0
x x


Rozwiązujemy nierówność
2
6
0
5
m
m
m




, otrzymując kolejno
2
6
0
5
m
m
m




,



3
2
0
5
m
m
m




,




3
2
5
0
m
m
m




Zatem




, 3
2,5
m

Rozwiązujemy nierówność
0

, otrzymując kolejno






2
2
6
2
4
5
0
5
m
m
m
m
m









,




2
2
2
4
6
0
m
m
m





,





2
2
4
3
2
0
m
m
m





,







2
2
4
3
0
m
m
m





,



2
2
4
12
0
m
m
m




,



2
3
14
0
m
m




Zatem
14
2
3
m



Rozwiązujemy nierówność
1
2
0
x x


. Możemy wykorzystać wzór Viète’a na iloczyn
pierwiastków trójmianu kwadratowego i wtedy nierówność ma postać
2
5
0
6
5
m
m
m
m





Rozwiązujemy tę nierówność, otrzymując kolejno
16
Rozwiązania zadań i schemat punktowania - poziom rozszerzony


2
2
5
0
6
m
m
m




,




2
5
2
3
0
m
m
m




,






, 3
2,5
5,
m


.
Otrzymaliśmy zatem




, 3
2,5
m

i
14 ,2
3
m







i






, 3
2,5
5,
m


.
Stąd
14 , 3
3
m








. Jedyną liczą całkowitą z tego przedziału jest
4
m .
Schemat oceniania
Rozwiązanie zadania składa się z trzech etapów.
Pierwszy etap polega zapisaniu warunku, przy którym funkcja f jest kwadratowa i ma dwa
różne pierwiastki, a następnie rozwiązaniu nierówności






2
2
6
2
4
5
0
5
m
m
m
m
m









:
14
2
3
m



Za poprawne rozwiązanie nierówności
0


zdający otrzymuje 1 punkt.
Uwaga
Jeżeli zdający zapisze
0

, to za tę część otrzymuje 0 punktów.
Drugi etap polega na zapisaniu warunku, przy którym funkcja kwadratowa f przyjmuje
wartość największą:
2
6
0
5
m
m
m




oraz ma dwa różne miejsca zerowe o jednakowych znakach:
2
5
0
6
5
m
m
m
m





Za tę część rozwiązania zdający może otrzymać 4 punkty.
Podział punktów za drugi etap rozwiązania:

\n\n

2
6
0
5
m
m
m




:




, 3
2,5
m

zdający otrzymuje
2 punkty.

\n\n

1
2
0
x x


zdający otrzymuje 2 punkty.
Przy czym w tej części:
1 punkt zdający otrzymuje za zapisanie wyrażenia
1
2
x x

w postaci
2
5
6
5
m
m
m
m




,
2 punkty zdający otrzymuje za rozwiązanie nierówności 

2
2
5
0
6
m
m
m




:






, 3
2,5
5,
m



17
Rozwiązania zadań i schemat punktowania - poziom rozszerzony
Trzeci etap polega na wyznaczeniu części wspólnej rozwiązań nierówności z etapu
pierwszego i drugiego oraz podaniu liczby całkowitej spełniającej warunki zadania:
4
m .
Za tę część rozwiązania zdający może otrzymać 1 punkt.
Uwaga
Za ostatni etap 1 punkt przyznajemy jedynie wówczas, gdy zdający poprawnie wykona
etap I, rozwiąże nierówność i popełnia błędy w rozwiązaniu nierówności z etapu II albo gdy
popełnia błędy w etapie I i dobrze rozwiąże co najmniej jedną nierówność z etapu II i poda
wszystkie całkowite wartości parametru m, dla których są spełnione warunki zadania.

","solutions":[{"source":"site","label":"matematykaszkolna.pl","kind":"image","image":"/img/matematyka-2015-czerwiec-matura-rozszerzona/sol-15.svg"},{"source":"zadaniazmatur","label":"zadaniazmatur.pl","kind":"text","html":"

$m = -4$

"}]}