Zadanie 16. (0-7)
Rozpatrujemy wszystkie stożki, w których suma długości tworzącej i promienia podstawy jest
równa 2. Wyznacz wysokość tego spośród rozpatrywanych stożków, którego objętość jest
największa. Oblicz tę objętość.
MMA_1R
Odpowiedź:
MMA_1R
BRUDNOPIS (nie podlega ocenie)
Rozpatrujemy wszystkie stożki, w których suma długości tworzącej i promienia podstawy jest równa 2. Wyznacz wysokość tego spośród rozpatrywanych stożków, którego objętość jest największa. Oblicz tę objętość.
Zadanie 16. (0-7)
Rozpatrujemy wszystkie stożki, w których suma długości tworzącej i promienia podstawy jest
równa 2. Wyznacz wysokość tego spośród rozpatrywanych stożków, którego objętość jest
największa. Oblicz tę objętość.
Przykładowe rozwiązanie (I sposób)
Przyjmijmy oznaczenia jak na rysunku.
Z warunków zadania wynika, że
2
l
r
, skąd
2
l
r
.
Z twierdzenia Pitagorasa dla trójkąta AOS otrzymujemy
2
2
2
AS
AO
OS
, czyli
2
2
2
l
r
h
Stąd
2
2
h
l
r
. Ale
2
l
r
, więc
2
2
2
2
2
4
4
4
4
2 1
h
r
r
r
r
r
r
r
Objętość stożka jest więc równa
2
2
2
4
1
1
2
2
2 1
1
1
3
3
3
3
V
r h
r
r
r
r
r
r
Objętość jest zatem funkcją zmiennej r i jest określona wzorem
r
h
l
A
B
S
O
18
Rozwiązania zadań i schemat punktowania - poziom rozszerzony
4
4
5
2
2
1
3
3
V r
r
r
r
r
Z warunków geometrycznych zadania wynika, że 0
1
r
, a więc dziedziną funkcji V jest
przedział
0,1 .
Rozważmy funkcję
4
5
f r
r
r
określoną dla każdej liczby rzeczywistej r.
Pochodna funkcji f jest równa
3
4
3
4
5
4
5
f
r
r
r
r
r
Miejscami zerowymi pochodnej są
0
r
lub
4
5
r
Pochodna funkcji jest ujemna dla
4
, 0
,
5
r
, a dodatnia dla
4
0, 5
r
Zatem w przedziale
4
5
0,
funkcja V jest rosnąca, a w przedziale
4
5 ,1 malejąca. W punkcie
4
5
r
osiąga maksimum lokalne, które jest jednocześnie największą jej wartością. Wartość ta
jest równa
2
4
2
4
4
2
16
1
32 5
1
5
3
5
5
3
25
5
375
V
Schemat oceniania I sposobu rozwiązania
Rozwiązanie zadania składa się z trzech etapów.
a) Pierwszy etap (3 punkty) składa się z trzech części:
zapisanie wysokości stożka jako funkcji zmiennej r:
4
4
h
r
,
zapisanie objętości stożka jako funkcji jednej zmiennej:
2
2
1
3
V r
r
r
określenie dziedziny funkcji: 0
1
r
.
Za poprawne rozwiązanie każdej z części tego etapu zdający otrzymuje 1 punkt, o ile
poprzednia część etapu została zrealizowana bezbłędnie.
Uwaga
Jeśli zdający popełni błąd przy wyznaczaniu dziedziny albo pominie wyznaczenie dziedziny,
ale funkcja objętości zostanie zapisana prawidłowo, to otrzymuje za tę cześć 2 punkty i może
otrzymać punkty, które odpowiadają kolejnym etapom rozwiązania zadania.
b) Drugi etap (3 punkty) składa się z trzech części:
wyznaczenie pochodnej funkcji
4
5
f r
r
r
:
3
4
4
5
f
r
r
r
obliczenie miejsc zerowych pochodnej:
0
r
lub
4
5
r
uzasadnienie (np. badanie monotoniczności funkcji), że funkcja V posiada wartość
największą dla
4
5
r
Za poprawne rozwiązanie każdej z części tego etapu zdający otrzymuje 1 punkt, o ile
poprzednia część etapu została zrealizowana bezbłędnie.
19
Rozwiązania zadań i schemat punktowania - poziom rozszerzony
c) Trzeci etap (1 punkt) - końcowe obliczenia.
Obliczenie objętości stożka dla
4
5
r
:
4
32 5
5
375
V
Uwaga
Punkty za realizację danego etapu przyznajemy tylko wówczas, gdy zdający rozwiązał
poprawnie poprzedni etap zadania.
Przykładowe rozwiązanie (II sposób)
Przyjmijmy oznaczenia jak na rysunku.
Z warunków zadania wynika, że
2
l
r
, skąd
2
l
r
.
Z twierdzenia Pitagorasa dla trójkąta AOS otrzymujemy
2
2
2
AS
AO
OS
, czyli
2
2
2
l
r
h
Stąd
2
2
2
r
l
h
. Ale
2
l
r
, więc
2
2
2
2
r
r
h
,
2
2
2
4
4
r
r
r
h
,
2
4
4
r
h
,
2
1
1
4
r
h
Objętość stożka jest więc równa
2
2
2
2
4
3
5
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
3
3
4
3
2
16
3
2
16
V
r h
h
h
h
h
h
h
h
h
Objętość jest zatem funkcją zmiennej h i jest określona wzorem
3
5
1
1
3
2
16
V h
h
h
h
Z warunków geometrycznych zadania wynika, że 0
2
h
, a więc dziedziną funkcji V jest
przedział
0,2 .
r
h
l
A
B
S
O
20
Rozwiązania zadań i schemat punktowania - poziom rozszerzony
Rozważmy funkcję
3
5
1
1
2
16
f h
h
h
h
określoną dla każdej liczby rzeczywistej h.
Pochodna funkcji f jest równa
2
4
3
5
1
2
16
f
h
h
h
Miejscami zerowymi pochodnej są
2
h lub
2 5
5
h
lub
2 5
5
h
lub
2
h
Pochodna funkcji jest ujemna dla
2 5
2 5
2,
, 2
5
5
h
, a dodatnia dla
2 5 2 5
,
2
,
2,
5
5
h
Zatem w przedziale
2
5
5
0,
funkcja V jest rosnąca, a w przedziale
2
5
5 ,2 malejąca.
W punkcie
2 5
5
h
osiąga maksimum lokalne, które jest jednocześnie największą jej
wartością. Wartość ta jest równa
3
5
1
1
3
2
16
V h
h
h
h
3
5
2 5
1 2 5
1
2 5
32 5
1
5
3
2
5
16
5
375
V
Schemat oceniania II sposobu rozwiązania
Rozwiązanie zadania składa się z trzech etapów.
a) Pierwszy etap (3 punkty) składa się z trzech części:
zapisanie promienia podstawy stożka jako funkcji zmiennej h:
2
1
1
4
r
h
,
zapisanie objętości stożka jako funkcji jednej zmiennej:
3
5
1
1
3
2
16
V h
h
h
h
określenie dziedziny funkcji: 0
2
h
Za poprawne rozwiązanie każdej z części tego etapu zdający otrzymuje 1 punkt, o ile
poprzednia część etapu została zrealizowana bezbłędnie.
Uwaga
Jeśli zdający popełni błąd przy wyznaczaniu dziedziny albo pominie wyznaczenie dziedziny,
ale funkcja objętości zostanie zapisana prawidłowo, to otrzymuje za tę cześć 2 punkty i może
otrzymać punkty, które odpowiadają kolejnym etapom rozwiązania zadania.
b) Drugi etap (3 punkty) składa się z trzech części:
wyznaczenie pochodnej funkcji
3
5
1
1
2
16
f h
h
h
h
:
2
4
3
5
1
2
16
f
h
h
h
21
Rozwiązania zadań i schemat punktowania - poziom rozszerzony
obliczenie miejsc zerowych pochodnej:
2
h lub
2 5
5
h
lub
2 5
5
h
lub
2
h
uzasadnienie (np. badanie monotoniczności funkcji), że funkcja V posiada wartość
największą dla
2 5
5
h
Za poprawne rozwiązanie każdej z części tego etapu zdający otrzymuje 1 punkt, o ile
poprzednia część etapu została zrealizowana bezbłędnie.
c) Trzeci etap (1 punkt) - końcowe obliczenia.
Obliczenie objętości stożka dla
2 5
5
h
:
2 5
32 5
5
375
V
Uwaga
Punkty za realizację danego etapu przyznajemy tylko wówczas, gdy zdający rozwiązał
poprawnie poprzedni etap zadania.
Wysokość: $h = \\dfrac{4}{5}$ (lub $r = \\dfrac{4}{5}$), Objętość: $V = \\dfrac{32\\sqrt{5}}{375}\\pi$.
"}]}