{"id":"matematyka-2015-czerwiec-matura-rozszerzona/zad/8","paper_id":"matematyka-2015-czerwiec-matura-rozszerzona","number":"8","points":0,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2015,"month":"czerwiec","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 8. (0-3)\nNiech\n12\nlog\n2\na =\n. Wykaż, że\n6\n6\nlog 64\n1\na\na\n\nMMA_1R\n\nMMA_1R\nNiech a=log_12 2. Wykaż, że log_6 64 = 6a/1-a.","answer":null,"answer_text":"Zadanie 8. (0-3)\nNiech\n12\nlog 2\na \n. Wykaż, że\n6\n6\nlog 64\n1\na\na\n\nI sposób rozwiązania\nZmieniamy podstawę logarytmu i wykonujemy kolejno przekształcenia\n6\n12\n12\n12\n6\n12\n12\n12\n12\nlog 64\nlog 2\n6log 2\n6\nlog 64\n12\nlog 6\nlog 12\nlog 2\n1\nlog\n2\na\na\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n. To kończy dowód.\nSchemat oceniania I sposobu rozwiązania\nRozwiązanie, w którym postęp jest niewielki, ale konieczny na drodze\ndo pełnego rozwiązania zadania 1 p.\nZdający zapisze, że\n12\n6\n12\nlog 64\nlog 64\nlog 6\n\ni na tym zakończy lub dalej popełni błędy.\nPokonanie zasadniczych trudności zadania 2 p.\nZdający zapisze, że\n6\n12\n6\n12\nlog 2\nlog 64\n12\nlog\n2\n\n\n\n\n\n\n\ni na tym zakończy lub dalej popełni błędy.\nRozwiązanie pełne 3 p.\nZdający przeprowadzi pełne rozumowanie.\nII sposób rozwiązania\nZauważamy kolejno, że\n12\n12\n6\n12\n12\n12\n6log 2\nlog 64\n6\nlog 64.\n1\nlog 12\nlog 2\nlog 6\na\na \n\n\n\n\nA to kończy dowód.\n4\nRozwiązania zadań i schemat punktowania - poziom rozszerzony\nSchemat oceniania II sposobu rozwiązania\nRozwiązanie, w którym postęp jest niewielki, ale konieczny na drodze\ndo pełnego rozwiązania zadania 1 p.\nZdający zapisze, że\n6\n12\n12\n12\nlog 2\n6\n1\nlog 12\nlog 2\na\na \n\n\ni na tym zakończy lub dalej popełni błędy.\nPokonanie zasadniczych trudności zadania 2 p.\nZdający zapisze, że\n12\n12\nlog 64\n6\n1\nlog 6\na\na \n\ni na tym zakończy lub dalej popełni błędy.\nRozwiązanie pełne 3 p.\nZdający przeprowadzi pełne rozumowanie.\nIII sposób rozwiązania\nRówność\n12\nlog 2\na \njest równoważna równości 12\n2\na \n. Podzielimy tę równość stronami\nprzez dodatnią liczbę 2a . Otrzymujemy równość\n12\n2\n2\n2\na\na\na\n\n, a zatem\n1\n6\n2\na\na\n\n\nPonieważ obie strony równości są dodatnie, więc ta równość jest równoważna równości\n6\n1\n6\n64\na\na\n\n\n, a zatem\n6\n16\n64\na\na\n\nOstatnia równość oznacza, że\n6\n6\nlog 64\n1\na\na\n\n. To kończy dowód.\nSchemat oceniania III sposobu rozwiązania\nRozwiązanie, w którym postęp jest niewielki, ale konieczny na drodze\ndo pełnego rozwiązania zadania 1 p.\nZdający zapisze, że\n12\n2\n2\n2\na\na\na\n\ni na tym zakończy lub dalej popełni błędy.\nPokonanie zasadniczych trudności zadania 2 p.\nZdający zapisze, że\n6\n1\n6\n64\na\na\n\n\ni na tym zakończy lub dalej popełni błędy.\nRozwiązanie pełne 3 p.\nZdający przeprowadzi pełne rozumowanie.\n5\nRozwiązania zadań i schemat punktowania - poziom rozszerzony","solution":"To kończy dowód.","image":"img/matematyka-2015-czerwiec-matura-rozszerzona/zad-8.webp","solution_image":"img/matematyka-2015-czerwiec-matura-rozszerzona/sol-8.svg","topics":"logarytmy","page_from":6,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"zadaniazmatur","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2015 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"

Zadanie 8. (0-3)
Niech
12
log
2
a =
. Wykaż, że
6
6
log 64
1
a
a

\n

MMA_1R

\n

MMA_1R
Niech a=log_12 2. Wykaż, że log_6 64 = 6a/1-a.

","answer_text_html":"

Zadanie 8. (0-3)
Niech
12
log 2
a 
. Wykaż, że
6
6
log 64
1
a
a

I sposób rozwiązania
Zmieniamy podstawę logarytmu i wykonujemy kolejno przekształcenia
6
12
12
12
6
12
12
12
12
log 64
log 2
6log 2
6
log 64
12
log 6
log 12
log 2
1
log
2
a
a












. To kończy dowód.
Schemat oceniania I sposobu rozwiązania
Rozwiązanie, w którym postęp jest niewielki, ale konieczny na drodze
do pełnego rozwiązania zadania 1 p.
Zdający zapisze, że
12
6
12
log 64
log 64
log 6

i na tym zakończy lub dalej popełni błędy.
Pokonanie zasadniczych trudności zadania 2 p.
Zdający zapisze, że
6
12
6
12
log 2
log 64
12
log
2







i na tym zakończy lub dalej popełni błędy.
Rozwiązanie pełne 3 p.
Zdający przeprowadzi pełne rozumowanie.
II sposób rozwiązania
Zauważamy kolejno, że
12
12
6
12
12
12
6log 2
log 64
6
log 64.
1
log 12
log 2
log 6
a
a 




A to kończy dowód.
4
Rozwiązania zadań i schemat punktowania - poziom rozszerzony
Schemat oceniania II sposobu rozwiązania
Rozwiązanie, w którym postęp jest niewielki, ale konieczny na drodze
do pełnego rozwiązania zadania 1 p.
Zdający zapisze, że
6
12
12
12
log 2
6
1
log 12
log 2
a
a 


i na tym zakończy lub dalej popełni błędy.
Pokonanie zasadniczych trudności zadania 2 p.
Zdający zapisze, że
12
12
log 64
6
1
log 6
a
a 

i na tym zakończy lub dalej popełni błędy.
Rozwiązanie pełne 3 p.
Zdający przeprowadzi pełne rozumowanie.
III sposób rozwiązania
Równość
12
log 2
a 
jest równoważna równości 12
2
a 
. Podzielimy tę równość stronami
przez dodatnią liczbę 2a . Otrzymujemy równość
12
2
2
2
a
a
a

, a zatem
1
6
2
a
a


Ponieważ obie strony równości są dodatnie, więc ta równość jest równoważna równości
6
1
6
64
a
a


, a zatem
6
16
64
a
a

Ostatnia równość oznacza, że
6
6
log 64
1
a
a

. To kończy dowód.
Schemat oceniania III sposobu rozwiązania
Rozwiązanie, w którym postęp jest niewielki, ale konieczny na drodze
do pełnego rozwiązania zadania 1 p.
Zdający zapisze, że
12
2
2
2
a
a
a

i na tym zakończy lub dalej popełni błędy.
Pokonanie zasadniczych trudności zadania 2 p.
Zdający zapisze, że
6
1
6
64
a
a


i na tym zakończy lub dalej popełni błędy.
Rozwiązanie pełne 3 p.
Zdający przeprowadzi pełne rozumowanie.
5
Rozwiązania zadań i schemat punktowania - poziom rozszerzony

","solutions":[{"source":"site","label":"matematykaszkolna.pl","kind":"image","image":"/img/matematyka-2015-czerwiec-matura-rozszerzona/sol-8.svg"},{"source":"zadaniazmatur","label":"zadaniazmatur.pl","kind":"text","html":"

To kończy dowód.

"}]}