{"id":"matematyka-2015-czerwiec-matura-rozszerzona/zad/9","paper_id":"matematyka-2015-czerwiec-matura-rozszerzona","number":"9","points":0,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2015,"month":"czerwiec","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 9. (0-3)\nW trójkącie ABC kąt wewnętrzny przy wierzchołku A ma miarę 50°, a kąt wewnętrzny przy\nwierzchołku C ma miarę 60°. Okrąg\n1o przechodzi przez punkt A i przecina boki AB i AC\ntrójkąta odpowiednio w punktach D i E. Okrąg\n2o przechodzi przez punkt B, przecina okrąg\n1o w punkcie D oraz w punkcie F leżącym wewnątrz trójkąta ABC. Ponadto okrąg\n2o\nprzecina bok BC trójkąta w punkcie G.\nUdowodnij, że na czworokącie CEFG można opisać okrąg.\nD\nF\nG\nC\nE\nB\nA\n60°\n50°\n\nMMA_1R\n\nMMA_1R\nW trójkącie ABC kąt wewnętrzny przy wierzchołku A ma miarę 50°, a kąt wewnętrzny przy wierzchołku C ma miarę 60°. Okrąg o_1 przechodzi przez punkt A i przecina boki AB i AC trójkąta odpowiednio w punktach D i E. Okrąg o_2 przechodzi przez punkt B, przecina okrąg o_1 w punkcie D oraz w punkcie F leżącym wewnątrz trójkąta ABC. Ponadto okrąg o_2 przecina bok BC trójkąta w punkcie G. [rysunek] Udowodnij, że na czworokącie CEFG można opisać okrąg.","answer":null,"answer_text":"Zadanie 9. (0-3)\nW trójkącie ABC kąt wewnętrzny przy wierzchołku A ma miarę 50, a kąt wewnętrzny przy\nwierzchołku C ma miarę 60. Okrąg\n1o przechodzi przez punkt A i przecina boki AB i AC\ntrójkąta odpowiednio w punktach D i E. Okrąg\n2o przechodzi przez punkt B, przecina okrąg\n1o w punkcie D oraz w punkcie F leżącym wewnątrz trójkąta ABC. Ponadto okrąg\n2o\nprzecina bok BC trójkąta w punkcie G.\nUdowodnij, że na czworokącie CEFG można opisać okrąg.\nD\nF\nG\nC\nE\nB\nA\n60\n50\n6\nRozwiązania zadań i schemat punktowania - poziom rozszerzony\nRozwiązanie\nTrzeci kąt trójkąta ABC ma miarę:\n\n\n180\n50\n60\n70\nABC \n\n\n\n\nPołączmy punkt F z punktami D, E i G.\nCzworokąty ADFE i BDFG są wpisane odpowiednio w okręgi\n1\nO i\n2\nO , więc\n180\n50\n130\nDFE \n\n\n\noraz\n180\n70\n110\nDFG \n\n\n\n. Zatem\n\n\n360\n130\n110\n120\nEFG \n\n\n\n\nStąd\n120\n60\n180\nEFG\nECG\n\n\n\n\n\n, zatem na czworokącie CEFG można opisać\nokrąg, co kończy dowód.\nSchemat oceniania\nRozwiązanie, w którym jest istotny postęp 1 p.\nObliczenie miary kąta DFE:\n130\nDFE \n\nalbo miary kąta DFG:\n110\nDFG \n\nPokonanie zasadniczych trudności zadania 2 p.\nObliczenie miary kąta EFG:\n120\nEFG \n\nRozwiązanie pełne 3 p.\nPełne uzasadnienie, że na czworokącie CEFG można opisać okrąg.\nD\nF\nG\nC\nE\nB\nA\n60\n50\n7\nRozwiązania zadań i schemat punktowania - poziom rozszerzony","solution":"co kończy dowód.","image":"img/matematyka-2015-czerwiec-matura-rozszerzona/zad-9.webp","solution_image":"img/matematyka-2015-czerwiec-matura-rozszerzona/sol-9.svg","topics":"dowody_geometryczne","page_from":8,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"zadaniazmatur","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2015 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"

Zadanie 9. (0-3)
W trójkącie ABC kąt wewnętrzny przy wierzchołku A ma miarę 50°, a kąt wewnętrzny przy
wierzchołku C ma miarę 60°. Okrąg
1o przechodzi przez punkt A i przecina boki AB i AC
trójkąta odpowiednio w punktach D i E. Okrąg
2o przechodzi przez punkt B, przecina okrąg
1o w punkcie D oraz w punkcie F leżącym wewnątrz trójkąta ABC. Ponadto okrąg
2o
przecina bok BC trójkąta w punkcie G.
Udowodnij, że na czworokącie CEFG można opisać okrąg.
D
F
G
C
E
B
A
60°
50°

\n

MMA_1R

\n

MMA_1R
W trójkącie ABC kąt wewnętrzny przy wierzchołku A ma miarę 50°, a kąt wewnętrzny przy wierzchołku C ma miarę 60°. Okrąg o_1 przechodzi przez punkt A i przecina boki AB i AC trójkąta odpowiednio w punktach D i E. Okrąg o_2 przechodzi przez punkt B, przecina okrąg o_1 w punkcie D oraz w punkcie F leżącym wewnątrz trójkąta ABC. Ponadto okrąg o_2 przecina bok BC trójkąta w punkcie G. [rysunek] Udowodnij, że na czworokącie CEFG można opisać okrąg.

","answer_text_html":"

Zadanie 9. (0-3)
W trójkącie ABC kąt wewnętrzny przy wierzchołku A ma miarę 50, a kąt wewnętrzny przy
wierzchołku C ma miarę 60. Okrąg
1o przechodzi przez punkt A i przecina boki AB i AC
trójkąta odpowiednio w punktach D i E. Okrąg
2o przechodzi przez punkt B, przecina okrąg
1o w punkcie D oraz w punkcie F leżącym wewnątrz trójkąta ABC. Ponadto okrąg
2o
przecina bok BC trójkąta w punkcie G.
Udowodnij, że na czworokącie CEFG można opisać okrąg.
D
F
G
C
E
B
A
60
50
6
Rozwiązania zadań i schemat punktowania - poziom rozszerzony
Rozwiązanie
Trzeci kąt trójkąta ABC ma miarę:


180
50
60
70
ABC 




Połączmy punkt F z punktami D, E i G.
Czworokąty ADFE i BDFG są wpisane odpowiednio w okręgi
1
O i
2
O , więc
180
50
130
DFE 



oraz
180
70
110
DFG 



. Zatem


360
130
110
120
EFG 




Stąd
120
60
180
EFG
ECG





, zatem na czworokącie CEFG można opisać
okrąg, co kończy dowód.
Schemat oceniania
Rozwiązanie, w którym jest istotny postęp 1 p.
Obliczenie miary kąta DFE:
130
DFE 

albo miary kąta DFG:
110
DFG 

Pokonanie zasadniczych trudności zadania 2 p.
Obliczenie miary kąta EFG:
120
EFG 

Rozwiązanie pełne 3 p.
Pełne uzasadnienie, że na czworokącie CEFG można opisać okrąg.
D
F
G
C
E
B
A
60
50
7
Rozwiązania zadań i schemat punktowania - poziom rozszerzony

","solutions":[{"source":"site","label":"matematykaszkolna.pl","kind":"image","image":"/img/matematyka-2015-czerwiec-matura-rozszerzona/sol-9.svg"},{"source":"zadaniazmatur","label":"zadaniazmatur.pl","kind":"text","html":"

co kończy dowód.

"}]}