{"id":"matematyka-2015-egzamin-gimnazjalny/zad/22","paper_id":"matematyka-2015-egzamin-gimnazjalny","number":"22","points":2,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"egzamin-gimnazjalny","year":2015,"month":null,"level":null,"text":"Zadanie 22. (0-2)\nPrzekątna prostokąta ABCD nachylona jest do jednego z jego boków pod kątem 30°.\nUzasadnij, że pole prostokąta ABCD jest równe polu trójkąta równobocznego o boku\nrównym przekątnej tego prostokąta.\n\nRozwiązanie zadania 22. zapisz w wyznaczonym miejscu\nna karcie rozwiązań zadań.","answer":null,"answer_text":"Zadanie 22. (0-2)\nWymaganie ogólne\nWymagania szczegółowe\nV. Rozumowanie i argumentacja.\n10. Figury płaskie. Uczeń:\n8) korzysta z własności kątów i przekątnych\nw prostokątach […];\n9) oblicza pola [ ] trójkątów i czworokątów;\n14) stosuje cechy przystawania trójkątów;\n22) rozpoznaje wielokąty foremne i korzysta z ich\npodstawowych własności.\nPrzykładowe rozwiązania\nI sposób\n1. W prostokącie ABCD:\n|∢BCA| = 60°, |∢ACD| = 30°, |∢CAD| = 60°.\n2. ∆ADC i ∆CBA są przystające, zatem ich pola są równe.\n3. ∆AEC jest trójkątem równobocznym (kąty po 60°)\no boku AC i polu równym sumie pól ∆ACD i ∆ABC.\n4. Wniosek.\ntr\npr\nP\nP\nSchemat punktowania\nP6 - 2 punkty - pełne rozwiązanie\nuzasadnienie, że pole trójkąta ACE jest równe polu prostokąta ABCD\nP2 - 1 punkt - dokonano istotnego postępu, ale zasadnicze trudności zadania nie zostały\npokonane\nzapisanie miar kątów trójkąta ACD\nLUB\ndorysowanie trójkąta ABE i opisanie trójkąta ACE w sposób wskazujący na to, że jest to trójkąt\nrównoboczny\nP0 - 0 punktów - rozwiązanie niestanowiące postępu\nrozwiązanie błędne lub brak rozwiązania\n60°\n∙\n60°\n30°\n30°\nA\nB\nC\nD\n30°\n60°\n60°\n∙\n∙\n60°\n30°\nE\n30°\nA\nB\nC\nD\nII sposób\n∆ABC jest trójkątem o kątach 30°, 60°, 90°, zatem\nd\nb\n2\n1\nd\na\n2\n3\n2\n4\n3\n2\n1\n2\n3\nd\nd\nd\nab\npr\nP\n4\n3\n2\nd\ntr\nP\npr\nP\ntr\nP\nIII sposób\nab\npr\nP\nTrójkąt ACE jest równoboczny (kąty o mierze 60° każdy).\nPtr = 2\n1\n∙ 2a ∙ b = ab\nrp\nP\ntr\nP\nSchemat punktowania\nP6 - 2 punkty - pełne rozwiązanie\nprzedstawienie przekształceń prowadzących do wniosku, że\ntr\nP\npr\nP\nP2 - 1 punkt - dokonano istotnego postępu, ale zasadnicze trudności zadania nie zostały\npokonane\ndoprowadzenie wzoru na pole trójkąta równobocznego o boku równym przekątnej prostokąta do\npostaci, w której jest ono zależne od jednego z boków prostokąta, np.\n4\n3\n2\n2\nb\nb\ntr\nP\nLUB\ndoprowadzenie wzoru na pole prostokąta ABCD do postaci, w której jest ono zależne tylko od\ndługości przekątnej d, np.\nd\nd\npr\nP\n2\n1\n3\n2\n1\nLUB\nwyrażenie pola trójkąta ACE w zależności od długości boków prostokąta,\nnp.\nb\na\ntr\nP\n2\n2\n1\nP0 - 0 punktów - rozwiązanie niestanowiące postępu\nrozwiązanie błędne lub brak rozwiązania\n30°\nA\nB\nC\nD\nb\nd\na\n30°\n60°\n60°\n∙\n∙\na\nb\nE\n30°\nA\nB\nC\nD\nUwagi:\n Jeśli w rozwiązaniu zadania uczeń sprawdził tezę na liczbach (rozpatrzył konkretny\nprzypadek), to otrzymuje 0 p. (nawet jeśli zapisał miary kątów trójkąta ACD).\n Jeśli w rozwiązaniu zadania uczeń rozpatrzył (narysował) trójkąt równoramienny, którego\nwysokością jest krótszy bok prostokąta, to otrzymuje 0 p.","solution":null,"image":"img/matematyka-2015-egzamin-gimnazjalny/zad-22.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":11,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Egzamin gimnazjalny · 2015","subject_label":"Matematyka","category_label":"Egzamin gimnazjalny","text_html":"

Zadanie 22. (0-2)
Przekątna prostokąta ABCD nachylona jest do jednego z jego boków pod kątem 30°.
Uzasadnij, że pole prostokąta ABCD jest równe polu trójkąta równobocznego o boku
równym przekątnej tego prostokąta.

Rozwiązanie zadania 22. zapisz w wyznaczonym miejscu
na karcie rozwiązań zadań.

","answer_text_html":"

Zadanie 22. (0-2)
Wymaganie ogólne
Wymagania szczegółowe
V. Rozumowanie i argumentacja.

\n
  1. Figury płaskie. Uczeń:
  2. korzysta z własności kątów i przekątnych
\n

w prostokątach […];

\n
  1. oblicza pola [ ] trójkątów i czworokątów;
  2. stosuje cechy przystawania trójkątów;
  3. rozpoznaje wielokąty foremne i korzysta z ich
\n

podstawowych własności.
Przykładowe rozwiązania
I sposób

\n
  1. W prostokącie ABCD:
\n

|∢BCA| = 60°, |∢ACD| = 30°, |∢CAD| = 60°.

\n
  1. ∆ADC i ∆CBA są przystające, zatem ich pola są równe.
  2. ∆AEC jest trójkątem równobocznym (kąty po 60°)
\n

o boku AC i polu równym sumie pól ∆ACD i ∆ABC.

\n
  1. Wniosek.
\n

tr
pr
P
P
Schemat punktowania
P6 - 2 punkty - pełne rozwiązanie
uzasadnienie, że pole trójkąta ACE jest równe polu prostokąta ABCD
P2 - 1 punkt - dokonano istotnego postępu, ale zasadnicze trudności zadania nie zostały
pokonane
zapisanie miar kątów trójkąta ACD
LUB
dorysowanie trójkąta ABE i opisanie trójkąta ACE w sposób wskazujący na to, że jest to trójkąt
równoboczny
P0 - 0 punktów - rozwiązanie niestanowiące postępu
rozwiązanie błędne lub brak rozwiązania
60°
∙
60°
30°
30°
A
B
C
D
30°
60°
60°
∙
∙
60°
30°
E
30°
A
B
C
D
II sposób
∆ABC jest trójkątem o kątach 30°, 60°, 90°, zatem
d
b
2
1
d
a
2
3
2
4
3
2
1
2
3
d
d
d
ab
pr
P
4
3
2
d
tr
P
pr
P
tr
P
III sposób
ab
pr
P
Trójkąt ACE jest równoboczny (kąty o mierze 60° każdy).
Ptr = 2
1
∙ 2a ∙ b = ab
rp
P
tr
P
Schemat punktowania
P6 - 2 punkty - pełne rozwiązanie
przedstawienie przekształceń prowadzących do wniosku, że
tr
P
pr
P
P2 - 1 punkt - dokonano istotnego postępu, ale zasadnicze trudności zadania nie zostały
pokonane
doprowadzenie wzoru na pole trójkąta równobocznego o boku równym przekątnej prostokąta do
postaci, w której jest ono zależne od jednego z boków prostokąta, np.
4
3
2
2
b
b
tr
P
LUB
doprowadzenie wzoru na pole prostokąta ABCD do postaci, w której jest ono zależne tylko od
długości przekątnej d, np.
d
d
pr
P
2
1
3
2
1
LUB
wyrażenie pola trójkąta ACE w zależności od długości boków prostokąta,
np.
b
a
tr
P
2
2
1
P0 - 0 punktów - rozwiązanie niestanowiące postępu
rozwiązanie błędne lub brak rozwiązania
30°
A
B
C
D
b
d
a
30°
60°
60°
∙
∙
a
b
E
30°
A
B
C
D
Uwagi:
 Jeśli w rozwiązaniu zadania uczeń sprawdził tezę na liczbach (rozpatrzył konkretny
przypadek), to otrzymuje 0 p. (nawet jeśli zapisał miary kątów trójkąta ACD).
 Jeśli w rozwiązaniu zadania uczeń rozpatrzył (narysował) trójkąt równoramienny, którego
wysokością jest krótszy bok prostokąta, to otrzymuje 0 p.

","solutions":[]}