Zadanie 26. (0-2)
Rozwiąż nierówność
)
2
)(
3
(
4
2
2
x
x
x
x
Odpowiedź:
MMA_1P
Rozwiąż nierówność 2x^2-4x >= x-2.
Zadanie 26. (0-2)
Rozwiąż nierówność
)
2
)(
3
(
4
2
2
x
x
x
x
II. Wykorzystanie
i interpretowanie
reprezentacji.
kwadratowych z jedną niewiadomą (3.5).
Rozwiązanie
Rozwiązanie nierówności kwadratowej składa się z dwóch etapów.
Pierwszy etap, wyznaczenie pierwiastków trójmianu, może być realizowany na 2 sposoby:
I sposób rozwiązania (realizacja pierwszego etapu)
Zapisujemy nierówność w postaci
2
5
6
0
x
x
i znajdujemy pierwiastki trójmianu
2
5
6
x
x
• obliczamy wyróżnik tego trójmianu:
1
6
1
4
25
⋅
⋅
Δ
, stąd
1
5 1
2
2
x
oraz
2
5 1
2
3
x
albo
• stosujemy wzory Viète’a:
6
2
1
⋅x
x
oraz
5
2
1
x
, stąd
2
1 =
x
oraz
3
2 =
x
albo
• podajemy je bezpośrednio, np. zapisując pierwiastki trójmianu lub postać iloczynową
trójmianu, lub zaznaczając je na wykresie (wystarczy szkic wykresu, oś liczbowa itp.):
2
1 =
x
,
2
3
x =
lub (
)
(
)
[
]
3
2
2
x
x
x
lub (
)(
)
3
2
x
x
lub
II sposób rozwiązania (realizacja pierwszego etapu)
Wyznaczamy postać kanoniczną trójmianu kwadratowego
6
5
2
-x
x
i zapisujemy
nierówność w postaci, np. (
)
2
5
1
2
4
0
x -
, a następnie
• przekształcamy nierówność tak, aby jej lewa strona była zapisana w postaci
iloczynowej
(
)
(
)
5
5
1
1
2
2
2
2
0
x
x
⋅
,
(
)(
)
6
4
2
2
0
x
x
,
albo
• przekształcamy nierówność do postaci równoważnej, korzystając z własności wartości
bezwzględnej
(
)
2
5
1
2
4
x -
,
-1
1
2
3
4
-1
1
2
3
y
0
x
5
1
2
2
x -
Drugi etap rozwiązania:
Podajemy zbiór rozwiązań nierówności: (
)
(
)
∞
∪
∞
,3
2
,
lub
(
)
(
)
∞
∪
∞
∈
,3
2
,
x
Schemat oceniania
Zdający otrzymuje 1 p.
gdy:
• zrealizuje pierwszy etap rozwiązania i na tym poprzestanie lub błędnie zapisze zbiór
rozwiązań nierówności, np.
o obliczy lub poda pierwiastki trójmianu kwadratowego
2
1 =
x
,
3
2 =
x
i na tym poprzestanie lub błędnie zapisze zbiór rozwiązań nierówności,
o zaznaczy
na
wykresie
miejsca
zerowe
funkcji
6
5
)
(
2
x
x
x
f
i na tym poprzestanie lub błędnie zapisze zbiór rozwiązań nierówności,
o rozłoży trójmian kwadratowy na czynniki liniowe, np. (
)(
)
3
2
x
x
i na tym poprzestanie lub błędnie zapisze zbiór rozwiązań nierówności,
o zapisze nierówność
5
1
2
2
x -
i na tym poprzestanie lub błędnie zapisze zbiór
rozwiązań nierówności,
albo
• realizując pierwszy etap rozwiązania zadania popełni błąd (ale otrzyma dwa różne
pierwiastki) i konsekwentnie do tego zapisze zbiór rozwiązań nierówności, np.
o popełni błąd rachunkowy przy obliczaniu wyróżnika lub pierwiastków
trójmianu kwadratowego i konsekwentnie do popełnionego błędu zapisze zbiór
rozwiązań nierówności,
o błędnie zapisze równania wynikające ze wzorów Viète’a, np.:
1
2
5
2
x
x
i konsekwentnie do popełnionego błędu zapisze zbiór rozwiązań nierówności,
o błędnie zapisze nierówność, np.
5
1
2
2
x +
<
i konsekwentnie do popełnionego
błędu zapisze zbiór rozwiązań nierówności.
Zdający otrzymuje 2 p.
gdy:
• poda zbiór rozwiązań nierówności: (
)
(
)
∞
∪
∞
,3
2
,
lub
(
)
(
)
∞
∪
∞
∈
,3
2
,
x
lub (
2
<
x
lub
3
x
),
albo
• sporządzi ilustrację geometryczną (oś liczbowa, wykres) i zapisze zbiór rozwiązań
nierówności w postaci:
2,
3
x
x
<
,
albo
• poda zbiór rozwiązań nierówności w postaci graficznej z poprawnie zaznaczonymi
końcami przedziałów.
Uwagi
2
x - bez stosownego założenia,
to otrzymuje 0 punktów.
2
x -, rozważając dwa przypadki
2
0
x -
oraz
2
0
x -
<
, rozwiąże nierówność w każdym z tych przypadków, ale nie
rozważy przypadku
2
0
x -
, to otrzymuje 1 punkt.
Kryteria uwzględniające specyficzne trudności w uczeniu się matematyki
(
)
2, -∞.
2
1 =
x
,
3
2 =
x
i zapisze, np.
(
)
(
)
∞
∪
∞
,3
2
,
, popełniając tym samym błąd przy przepisywaniu jednego
z pierwiastków, to otrzymuje 2 punkty.
$x \\in (-\\infty, 2) \\cup (3, \\infty)$
"}]}