Zadanie 27. (0-2)
Wykaż, że dla każdej liczby rzeczywistej x i dla każdej liczby rzeczywistej y prawdziwa jest
nierówność
2
2
4
8
5
0
x
xy
y
≥
Wypełnia
egzaminator
Nr zadania
26.
27.
Maks. liczba pkt
2
2
Uzyskana liczba pkt
MMA_1P
Wykaż, że nierówność 4x^2-8xy+5y^2 >= 0 jest prawdziwa dla x, y w R.
Zadanie 27. (0-2)
Wykaż, że dla dowolnej liczby rzeczywistej x i dla dowolnej liczby rzeczywistej y prawdziwa
jest nierówność
2
2
4
8
5
0
x
xy
y
≥
V. Rozumowanie
i argumentacja.
skróconego mnożenia na (
)
2
a
b
±
oraz
2
2
a
b
(2.1).
I sposób rozwiązania
Nierówność
2
2
4
8
5
0
x
xy
y
≥
przekształcamy w sposób równoważny
2
2
2
4
8
4
0
y
x
xy
y
≥
,
(
)
2
2
2
2
0
y
x
y
≥
Ta nierówność jest prawdziwa dla dowolnych liczb rzeczywistych x i y, gdyż kwadrat każdej
liczby jest nieujemny i suma kwadratów liczb nieujemnych również jest nieujemna.
To kończy dowód.
Schemat oceniania I sposobu rozwiązania
Zdający otrzymuje 1 p.
gdy zapisze nierówność w postaci równoważnej
(
)
2
2
2
2
0
y
x
y
≥
i na tym poprzestanie lub
dalej popełnia błędy.
Zdający otrzymuje 2 p.
gdy przeprowadzi pełny dowód.
II sposób rozwiązania
Nierówność
2
2
4
8
5
0
x
xy
y
≥
możemy potraktować jak nierówność kwadratową
z niewiadomą x lub - analogicznie - z niewiadomą y. Wyróżnik trójmianu stojącego po lewej
stronie nierówności jest równy
(
)
(
)
2
2
2
8
4 4
5
16
0
y
y
y
Δ = -
-⋅⋅
≤
Stąd i z faktu, że współczynnik przy
2x trójmianu
2
2
( )
4
8
5
f x
x
xy
y
jest dodatni
wynika, że trójmian ten przyjmuje tylko wartości nieujemne. To kończy dowód.
Schemat oceniania II sposobu
Zdający otrzymuje 1 p.
gdy wyznaczy wyróżnik trójmianu
2
2
( )
4
8
5
f x
x
xy
y
:
2
16y
Δ = -
i na tym poprzestanie
lub dalej popełnia błędy.
Zdający otrzymuje 2 p.
gdy wyznaczy wyróżnik trójmianu
2
2
( )
4
8
5
f x
x
xy
y
, zapisze, że jest on niedodatni
i wyciągnie wniosek, że trójmian przyjmuje tylko wartości nieujemne.
III sposób rozwiązania
Dla dowolnych liczb rzeczywistych x, y prawdziwa jest nierówność
2
2
2
x
y
xy
≥
. Stąd
wynika, że prawdziwa jest nierówność
2
2
4
4
8
x
y
xy
≥
, czyli
2
2
4
8
4
0
x
xy
y
≥
Zatem, dla dowolnych liczb x, y mamy
2
2
2
2
4
8
5
4
8
4
0
x
xy
y
x
xy
y
≥
≥
To kończy dowód.
Schemat oceniania III sposobu rozwiązania
Zdający otrzymuje 1 p.
gdy zapisze, że dla dowolnych liczb rzeczywistych x, y prawdziwe są nierówności
2
2
2
2
4
8
5
4
8
4
x
xy
y
x
xy
y
≥
oraz
2
2
4
4
8
x
y
xy
≥
(lub
2
2
2
x
y
xy
≥
).
Zdający otrzymuje 2 p.
gdy przeprowadzi pełny dowód.
IV sposób rozwiązania
Gdy co najmniej jedna z liczb x, y jest równa 0, to nierówność
2
2
4
8
5
0
x
xy
y
≥
jest
prawdziwa, gdyż suma trzech liczb, z których co najmniej dwie są równe 0, a trzecia nieujemna,
jest nieujemna.
Gdy liczby x, y są przeciwnych znaków, to
0
xy <
, więc
8
0
xy
. Zatem nierówność
2
2
4
8
5
0
x
xy
y
≥
jest prawdziwa, gdyż lewa jej strona jest sumą trzech liczb dodatnich.
Pozostaje wykazać prawdziwość nierówności w przypadku, gdy liczby x, y są tego samego
znaku.
Zauważmy najpierw, że dla dowolnych liczb rzeczywistych x, y prawdziwa jest nierówność
(
)
2
2
5
0
x
y
≥
, czyli
2
2
4
4 5
5
0
x
xy
y
≥
Wykażemy teraz prawdziwość nierówności
2
2
2
2
4
8
5
4
4 5
5
x
xy
y
x
xy
y
≥
,
równoważnie
8
4 5
xy
xy
≥-
,
5
2
xy
xy
≤
Skoro x i y są tego samego znaku, to
0
xy >
, więc dzieląc obie strony nierówności przez xy,
otrzymujemy nierówność równoważną
5
2
1≤
, co jest prawdą. To kończy dowód.
Schemat oceniania IV sposobu rozwiązania
Zdający otrzymuje 1 p.
gdy wykaże prawdziwość nierówności w przypadku, gdy co najmniej jedna z liczb x, y jest
równa 0 oraz w przypadku, gdy liczby x, y są przeciwnych znaków, a w przypadku,
gdy x, y są tego samego znaku zauważy, że prawdziwa jest nierówność (
)
2
2
5
0
x
y
≥
Zdający otrzymuje 2 p.
gdy przeprowadzi pełny dowód.
Uwaga
Gdy zdający sprawdza jedynie prawdziwość nierówności dla konkretnych liczb x i y, to
otrzymuje 0 punktów.
Dowód
"}]}