{"id":"matematyka-2015-maj-matura-podstawowa/zad/28","paper_id":"matematyka-2015-maj-matura-podstawowa","number":"28","points":2,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2015,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 28. (0-2)\nDany jest kwadrat ABCD. Przekątne AC i BD przecinają się w punkcie E. Punkty K i M są\nśrodkami odcinków - odpowiednio - AE i EC. Punkty L i N leżą na przekątnej BD tak, że\nBE\nBL\n3\n1\ni\nDE\nDN\n3\n1\n(zobacz rysunek). Wykaż, że stosunek pola czworokąta KLMN\ndo pola kwadratu ABCD jest równy\n3\n:\n1\nA\nB\nC\nD\nE\nN\nM\nK\nL\n\nMMA_1P","answer":null,"answer_text":"Zadanie 28. (0-2)\nDany jest kwadrat ABCD. Przekątne AC i BD przecinają się w punkcie E. Punkty K i M są\nśrodkami odcinków - odpowiednio - AE i EC. Punkty L i N leżą na przekątnej BD tak, że\nBE\nBL\n3\n1\ni\nDE\nDN\n3\n1\n(zobacz rysunek). Wykaż, że stosunek pola czworokąta KLMN\ndo pola kwadratu ABCD jest równy\n3\n:\n1\nV. Rozumowanie\ni argumentacja.\nG10. Figury płaskie. Zdający oblicza pola i obwody trójkątów\ni czworokątów. (G10.9).\nI sposób rozwiązania\nPrzekątne w kwadracie ABCD są równe, więc\n2\nAC\nBD\nd\na\nPole kwadratu ABCD jest równe\n2\nABCD\nP\na\n. Czworokąt KLMN składa się z czterech\ntrójkątów prostokątnych przystających do trójkąta KEN. Pole każdego z nich jest równe\n(\n)\n2\n2\n2\n2\n1\n1\n2\n1\n1\n1\n1\n2\n2\n2\n4\n6\n24\n24\n24\n12\nP\nd\nd\nd\na\na\na\n\n\n\n⋅\n⋅\n⋅\n\n\n\n\n\n\nZatem pole czworokąta KLMN jest równe\nA\nB\nC\nD\nK\nL\nM\nN\nE\n1\n4 d\n2\n6 d\na\nA\nB\nC\nD\nE\nN\nM\nK\nL\n2\n2\n1\n1\n4 12\n3\nKLMN\nP\na\na\n⋅\nStąd\n2\n2\n1\n3\n1\n3\nKLMN\nABCD\na\nP\nP\na\nII sposób rozwiązania\nPrzekątne w kwadracie ABCD są równe, więc\n2\nAC\nBD\nd\na\nPole kwadratu ABCD jest równe\n2\nABCD\nP\na\n. Czworokąt KLMN składa się z dwóch trójkątów\nprzystających do trójkąta KLN. Pole każdego z nich jest równe\n(\n)\n2\n2\n2\n2\n1\n4\n1\n1\n1\n1\n1\n2\n2\n2\n6\n4\n12\n12\n12\n6\nP\nd\nd\nd\na\na\na\n\n\n\n⋅\n⋅\n⋅\n\n\n\n\n\n\nZatem pole czworokąta KLMN jest równe\n2\n2\n1\n1\n2 6\n3\nKLMN\nP\na\na\n⋅\nStąd\n2\n2\n1\n3\n1\n3\nKLMN\nABCD\na\nP\nP\na\nIII sposób rozwiązania\nPrzekątne w kwadracie ABCD są równe, więc\n2\nAC\nBD\nd\na\nA\nB\nC\nD\nK\nL\nM\nN\nE\na\n1\n4 d\n4\n6 d\nA\nB\nC\nD\nK\nL\nM\nN\nE\na\n1\n2 d\n2\n6 d\nPole kwadratu ABCD jest równe\n2\nABCD\nP\na\n. Czworokąt KLMN składa się z dwóch trójkątów\nprzystających do trójkąta KMN. Pole każdego z nich jest równe\n(\n)\n2\n2\n2\n2\n1\n1\n2\n1\n1\n1\n1\n2\n2\n2\n2\n6\n12\n12\n12\n6\nP\nd\nd\nd\na\na\na\n\n\n\n⋅\n⋅\n⋅\n\n\n\n\n\n\nZatem pole czworokąta KLMN jest równe\n2\n2\n1\n1\n2 6\n3\nKLMN\nP\na\na\n⋅\nStąd\n2\n2\n1\n3\n1\n3\nKLMN\nABCD\na\nP\nP\na\nIV sposób rozwiązania\nPonieważ przekątne w kwadracie są równe, więc AE\nED\n. Niech\n6\nAE\nED\nx\nWtedy\nx\nMC\nEM\nKE\nAK\n3\n,\nx\nLB\nDN\n2\noraz\nx\nEL\nNE\n4\nStąd\n6\nKM\nKE\nEM\nx\noraz\n8\nNL\nNE\nEL\nx\nPole kwadratu ABCD jest równe\n2\n72\n12\n12\n2\n1\n2\n1\nx\nx\nx\nBD\nAC\nPABCD\n⋅\n⋅\n⋅\nPole czworokąta KLMN jest równe\n2\n1\n1 6\n8\n24\n2\n2\nKLMN\nP\nKM\nNL\nx\nx\nx\n⋅\n⋅\n⋅\nStąd\n3\n1\n72\n24\n2\n2\nx\nx\nP\nP\nABCD\nKLMN\nA\nB\nC\nD\nK\nL\nM\nN\nE\n2x\n4x\n3x\n3x\nSchemat oceniania\nZdający otrzymuje 1 p.\ngdy wyznaczy pole jednego z trójkątów: KLE, LME, MNE, NKE (\n2\n1\n12\nP\na\n)\nalbo\ngdy wyznaczy pole jednego z trójkątów: NLM, LNK (\n2\n1\n6\nP\na\n)\nalbo\ngdy wyznaczy pole jednego z trójkątów: KMN, KLM (\n2\n1\n6\nP\na\n)\nalbo\ngdy wyznaczy pole czworokąta KLMN w zależności od jego przekątnych, np.\n2\n24\n8\n6\n2\n1\n2\n1\nx\nx\nx\nLN\nKM\nPKLMN\n⋅\n⋅\n⋅\ni na tym poprzestanie lub dalej popełnia błędy.\nZdający otrzymuje 2 p.\ngdy wykaże, że\n3\n1\nABCD\nKLMN\nP\nP\nUwagi\n1. Jeżeli zdający przy wyznaczaniu pola kwadratu i pola czworokąta KLMN przyjmuje\nkonkretne wartości liczbowe bez stosownego komentarza i rozwiązuje zadanie do końca,\nto otrzymuje 1 punkt.\n2. Jeżeli zdający przy wyznaczaniu pól trójkątów lub pól czworokątów o prostopadłych\nprzekątnych pomija współczynnik 1\n2 , otrzymując poprawny stosunek pola czworokąta\nKLMN do pola kwadratu ABCD, to otrzymuje 1 punkt.\n3. Jeżeli zdający w swoim rozumowaniu wykorzystuje tezę, to za całe rozwiązanie otrzymuje\n0 punktów.","solution":"Dowód","image":"img/matematyka-2015-maj-matura-podstawowa/zad-28.webp","solution_image":null,"topics":"dowody_geometryczne","page_from":14,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"zadaniazmatur","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2015 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"

Zadanie 28. (0-2)
Dany jest kwadrat ABCD. Przekątne AC i BD przecinają się w punkcie E. Punkty K i M są
środkami odcinków - odpowiednio - AE i EC. Punkty L i N leżą na przekątnej BD tak, że
BE
BL
3
1
i
DE
DN
3
1
(zobacz rysunek). Wykaż, że stosunek pola czworokąta KLMN
do pola kwadratu ABCD jest równy
3
:
1
A
B
C
D
E
N
M
K
L

\n

MMA_1P

","answer_text_html":"

Zadanie 28. (0-2)
Dany jest kwadrat ABCD. Przekątne AC i BD przecinają się w punkcie E. Punkty K i M są
środkami odcinków - odpowiednio - AE i EC. Punkty L i N leżą na przekątnej BD tak, że
BE
BL
3
1
i
DE
DN
3
1
(zobacz rysunek). Wykaż, że stosunek pola czworokąta KLMN
do pola kwadratu ABCD jest równy
3
:
1
V. Rozumowanie
i argumentacja.
G10. Figury płaskie. Zdający oblicza pola i obwody trójkątów
i czworokątów. (G10.9).
I sposób rozwiązania
Przekątne w kwadracie ABCD są równe, więc
2
AC
BD
d
a
Pole kwadratu ABCD jest równe
2
ABCD
P
a
. Czworokąt KLMN składa się z czterech
trójkątów prostokątnych przystających do trójkąta KEN. Pole każdego z nich jest równe
(
)
2
2
2
2
1
1
2
1
1
1
1
2
2
2
4
6
24
24
24
12
P
d
d
d
a
a
a



⋅
⋅
⋅






Zatem pole czworokąta KLMN jest równe
A
B
C
D
K
L
M
N
E
1
4 d
2
6 d
a
A
B
C
D
E
N
M
K
L
2
2
1
1
4 12
3
KLMN
P
a
a
⋅
Stąd
2
2
1
3
1
3
KLMN
ABCD
a
P
P
a
II sposób rozwiązania
Przekątne w kwadracie ABCD są równe, więc
2
AC
BD
d
a
Pole kwadratu ABCD jest równe
2
ABCD
P
a
. Czworokąt KLMN składa się z dwóch trójkątów
przystających do trójkąta KLN. Pole każdego z nich jest równe
(
)
2
2
2
2
1
4
1
1
1
1
1
2
2
2
6
4
12
12
12
6
P
d
d
d
a
a
a



⋅
⋅
⋅






Zatem pole czworokąta KLMN jest równe
2
2
1
1
2 6
3
KLMN
P
a
a
⋅
Stąd
2
2
1
3
1
3
KLMN
ABCD
a
P
P
a
III sposób rozwiązania
Przekątne w kwadracie ABCD są równe, więc
2
AC
BD
d
a
A
B
C
D
K
L
M
N
E
a
1
4 d
4
6 d
A
B
C
D
K
L
M
N
E
a
1
2 d
2
6 d
Pole kwadratu ABCD jest równe
2
ABCD
P
a
. Czworokąt KLMN składa się z dwóch trójkątów
przystających do trójkąta KMN. Pole każdego z nich jest równe
(
)
2
2
2
2
1
1
2
1
1
1
1
2
2
2
2
6
12
12
12
6
P
d
d
d
a
a
a



⋅
⋅
⋅






Zatem pole czworokąta KLMN jest równe
2
2
1
1
2 6
3
KLMN
P
a
a
⋅
Stąd
2
2
1
3
1
3
KLMN
ABCD
a
P
P
a
IV sposób rozwiązania
Ponieważ przekątne w kwadracie są równe, więc AE
ED
. Niech
6
AE
ED
x
Wtedy
x
MC
EM
KE
AK
3
,
x
LB
DN
2
oraz
x
EL
NE
4
Stąd
6
KM
KE
EM
x
oraz
8
NL
NE
EL
x
Pole kwadratu ABCD jest równe
2
72
12
12
2
1
2
1
x
x
x
BD
AC
PABCD
⋅
⋅
⋅
Pole czworokąta KLMN jest równe
2
1
1 6
8
24
2
2
KLMN
P
KM
NL
x
x
x
⋅
⋅
⋅
Stąd
3
1
72
24
2
2
x
x
P
P
ABCD
KLMN
A
B
C
D
K
L
M
N
E
2x
4x
3x
3x
Schemat oceniania
Zdający otrzymuje 1 p.
gdy wyznaczy pole jednego z trójkątów: KLE, LME, MNE, NKE (
2
1
12
P
a
)
albo
gdy wyznaczy pole jednego z trójkątów: NLM, LNK (
2
1
6
P
a
)
albo
gdy wyznaczy pole jednego z trójkątów: KMN, KLM (
2
1
6
P
a
)
albo
gdy wyznaczy pole czworokąta KLMN w zależności od jego przekątnych, np.
2
24
8
6
2
1
2
1
x
x
x
LN
KM
PKLMN
⋅
⋅
⋅
i na tym poprzestanie lub dalej popełnia błędy.
Zdający otrzymuje 2 p.
gdy wykaże, że
3
1
ABCD
KLMN
P
P
Uwagi

\n
  1. Jeżeli zdający przy wyznaczaniu pola kwadratu i pola czworokąta KLMN przyjmuje
\n

konkretne wartości liczbowe bez stosownego komentarza i rozwiązuje zadanie do końca,
to otrzymuje 1 punkt.

\n
  1. Jeżeli zdający przy wyznaczaniu pól trójkątów lub pól czworokątów o prostopadłych
\n

przekątnych pomija współczynnik 1
2 , otrzymując poprawny stosunek pola czworokąta
KLMN do pola kwadratu ABCD, to otrzymuje 1 punkt.

\n
  1. Jeżeli zdający w swoim rozumowaniu wykorzystuje tezę, to za całe rozwiązanie otrzymuje
\n

0 punktów.

","solutions":[{"source":"zadaniazmatur","label":"zadaniazmatur.pl","kind":"text","html":"

Dowód

"}]}