{"id":"matematyka-2015-maj-matura-podstawowa/zad/31","paper_id":"matematyka-2015-maj-matura-podstawowa","number":"31","points":2,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2015,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 31. (0-2)\nJeżeli do licznika i do mianownika nieskracalnego dodatniego ułamka dodamy połowę jego\nlicznika, to otrzymamy 4\n7 , a jeżeli do licznika i do mianownika dodamy 1, to otrzymamy 1\n2 .\nWyznacz ten ułamek.\nOdpowiedź:\nWypełnia\negzaminator\nNr zadania\n30.\n31.\nMaks. liczba pkt\n2\n2\nUzyskana liczba pkt\n\nMMA_1P","answer":null,"answer_text":"Zadanie 31. (0-2)\nJeżeli do licznika i do mianownika nieskracalnego dodatniego ułamka dodamy połowę jego\nlicznika, to otrzymamy 4\n7 , a jeżeli do licznika i do mianownika dodamy 1, to otrzymamy 1\n2 .\nWyznacz ten ułamek.\nIII. Modelowanie\nmatematyczne.\nG7. Równania. Zdający za pomocą równań lub układów\nrównań opisuje i rozwiązuje zadania osadzone w kontekście\npraktycznym, a także rozwiązuje układy równań stopnia\npierwszego z dwiema niewiadomymi (G7.7, G7.6).\nI sposób rozwiązania\nNiech x i y oznaczają odpowiednio licznik i mianownik szukanego ułamka nieskracalnego.\nZ treści zadania otrzymujemy układ równań\n1\n4\n2\n1\n7\n2\nx\nx\ny\nx\noraz\n1\n1\n1\n2\nx\ny\n,\n3\n1\n7\n4\n2\n2\nx\ny\nx\n\n\n⋅\n\n\n\n\noraz (\n)\n2\n1\n1\nx\ny\n+ ,\n21\n4\n2\n2 x\ny\nx\noraz 2\n1\nx\ny\nStąd\n(\n)\n17\n4 2\n1\n2 x\nx\n,\n17\n16\n8\nx\nx\n+ ,\n8\nx =\n, więc\n2 8 1\n17\ny =\n⋅+ =\nZatem szukany ułamek to 8\n17 . Jest to ułamek nieskracalny.\nSchemat oceniania I sposobu rozwiązania\nZdający otrzymuje 1 p.\ngdy\n• zapisze układ równań z dwiema niewiadomymi, np.:\n1\n4\n2\n1\n7\n2\nx\nx\ny\nx\ni\n1\n1\n1\n2\nx\ny\nalbo\n• zapisze równanie z jedną niewiadomą, np.:\n(\n)\n17\n4 2\n1\n2 x\nx\nZdający otrzymuje 2 p.\ngdy wyznaczy szukany ułamek: 8\n17 .\nII sposób rozwiązania\nNiech x i y oznaczają odpowiednio licznik i mianownik szukanego ułamka nieskracalnego.\nZ treści zadania otrzymujemy równanie\n1\n2\n1\n2\n4\n7\nx\nx\ny\nx\n,\n3\n2\n1\n2\n4\n7\nx\ny\nx =\n,\n21\n4\n2\n2 x\ny\nx\n,\n17\n4\n2 x\ny\nStąd\n8\n17\nx\ny =\nOtrzymany ułamek jest nieskracalny oraz\n1\n9\n1\n1\n18\n2\nx\ny\nStąd wynika, że 8\n17 to jedyny szukany ułamek.\nSchemat oceniania II sposobu rozwiązania\nZdający otrzymuje 1 p.\ngdy zapisze równanie z dwiema niewiadomymi:\n1\n2\n1\n2\n4\n7\nx\nx\ny\nx\ni doprowadzi je postaci\n8\n17\nx\ny =\ni na tym zakończy\nZdający otrzymuje 2 p.\ngdy zapisze równanie z dwiema niewiadomymi:\n1\n2\n1\n2\n4\n7\nx\nx\ny\nx\n, doprowadzi je postaci\n8\n17\nx\ny =\ni sprawdzi, że ułamek ten spełnia drugi z warunków podanych w treści zadania:\n1\n9\n1\n1\n18\n2\nx\ny\nUwagi:\n1. Jeżeli zdający od razu poda ułamek\n8\n17 i nie sprawdzi, że\n8 1\n1\n17 1\n2\n, to otrzymuje\n0 punktów.\n2. Jeżeli zdający od razu poda ułamek 8\n17 i sprawdzi, że spełnia on drugi z warunków\npodanych w treści zadania 8 1\n1\n17 1\n2\n, to otrzymuje 1 punkt.","solution":"$\\dfrac{8}{17}$","image":"img/matematyka-2015-maj-matura-podstawowa/zad-31.webp","solution_image":null,"topics":"uklady_rownan","page_from":17,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"zadaniazmatur","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2015 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"

Zadanie 31. (0-2)
Jeżeli do licznika i do mianownika nieskracalnego dodatniego ułamka dodamy połowę jego
licznika, to otrzymamy 4
7 , a jeżeli do licznika i do mianownika dodamy 1, to otrzymamy 1
2 .
Wyznacz ten ułamek.
Odpowiedź:
Wypełnia
egzaminator
Nr zadania
30.
31.
Maks. liczba pkt
2
2
Uzyskana liczba pkt

\n

MMA_1P

","answer_text_html":"

Zadanie 31. (0-2)
Jeżeli do licznika i do mianownika nieskracalnego dodatniego ułamka dodamy połowę jego
licznika, to otrzymamy 4
7 , a jeżeli do licznika i do mianownika dodamy 1, to otrzymamy 1
2 .
Wyznacz ten ułamek.
III. Modelowanie
matematyczne.
G7. Równania. Zdający za pomocą równań lub układów
równań opisuje i rozwiązuje zadania osadzone w kontekście
praktycznym, a także rozwiązuje układy równań stopnia
pierwszego z dwiema niewiadomymi (G7.7, G7.6).
I sposób rozwiązania
Niech x i y oznaczają odpowiednio licznik i mianownik szukanego ułamka nieskracalnego.
Z treści zadania otrzymujemy układ równań
1
4
2
1
7
2
x
x
y
x
oraz
1
1
1
2
x
y
,
3
1
7
4
2
2
x
y
x


⋅




oraz (
)
2
1
1
x
y

\n\n

21
4
2
2 x
y
x
oraz 2
1
x
y
Stąd
(
)
17
4 2
1
2 x
x
,
17
16
8
x
x

\n\n

8
x =
, więc
2 8 1
17
y =
⋅+ =
Zatem szukany ułamek to 8
17 . Jest to ułamek nieskracalny.
Schemat oceniania I sposobu rozwiązania
Zdający otrzymuje 1 p.
gdy
• zapisze układ równań z dwiema niewiadomymi, np.:
1
4
2
1
7
2
x
x
y
x
i
1
1
1
2
x
y
albo
• zapisze równanie z jedną niewiadomą, np.:
(
)
17
4 2
1
2 x
x
Zdający otrzymuje 2 p.
gdy wyznaczy szukany ułamek: 8
17 .
II sposób rozwiązania
Niech x i y oznaczają odpowiednio licznik i mianownik szukanego ułamka nieskracalnego.
Z treści zadania otrzymujemy równanie
1
2
1
2
4
7
x
x
y
x
,
3
2
1
2
4
7
x
y
x =
,
21
4
2
2 x
y
x
,
17
4
2 x
y
Stąd
8
17
x
y =
Otrzymany ułamek jest nieskracalny oraz
1
9
1
1
18
2
x
y
Stąd wynika, że 8
17 to jedyny szukany ułamek.
Schemat oceniania II sposobu rozwiązania
Zdający otrzymuje 1 p.
gdy zapisze równanie z dwiema niewiadomymi:
1
2
1
2
4
7
x
x
y
x
i doprowadzi je postaci
8
17
x
y =
i na tym zakończy
Zdający otrzymuje 2 p.
gdy zapisze równanie z dwiema niewiadomymi:
1
2
1
2
4
7
x
x
y
x
, doprowadzi je postaci
8
17
x
y =
i sprawdzi, że ułamek ten spełnia drugi z warunków podanych w treści zadania:
1
9
1
1
18
2
x
y
Uwagi:

\n
  1. Jeżeli zdający od razu poda ułamek
\n

8
17 i nie sprawdzi, że
8 1
1
17 1
2
, to otrzymuje
0 punktów.

\n
  1. Jeżeli zdający od razu poda ułamek 8
\n

17 i sprawdzi, że spełnia on drugi z warunków
podanych w treści zadania 8 1
1
17 1
2
, to otrzymuje 1 punkt.

","solutions":[{"source":"zadaniazmatur","label":"zadaniazmatur.pl","kind":"text","html":"

$\\dfrac{8}{17}$

"}]}