{"id":"matematyka-2015-maj-matura-podstawowa/zad/32","paper_id":"matematyka-2015-maj-matura-podstawowa","number":"32","points":4,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2015,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 32. (0-4)\nWysokość graniastosłupa prawidłowego czworokątnego jest równa 16. Przekątna graniastosłupa\njest nachylona do płaszczyzny jego podstawy pod kątem, którego cosinus jest równy 3\n5 . Oblicz\npole powierzchni całkowitej tego graniastosłupa.\n\nMMA_1P\nOdpowiedź:\nWypełnia\negzaminator\nNr zadania\n32.\nMaks. liczba pkt\n4\nUzyskana liczba pkt\n\nMMA_1P\nWysokość graniastosłupa prawidłowego czworokątnego jest równa 16. Przekątna graniastosłupa jest nachylona do płaszczyzny jego podstawy pod kątem, którego cosinus jest równy 3/5. Oblicz pole powierzchni całkowitej tego graniastosłupa.","answer":null,"answer_text":"Zadanie 32. (0-4)\nWysokość graniastosłupa prawidłowego czworokątnego jest równa 16. Przekątna\ngraniastosłupa jest nachylona do płaszczyzny jego podstawy pod kątem, którego cosinus jest\nrówny 3\n5 . Oblicz pole powierzchni całkowitej tego graniastosłupa.\nIV. Użycie i tworzenie\nstrategii.\n9. Stereometria. Zdający stosuje trygonometrię do obliczeń\ndługości odcinków, miar kątów, pól powierzchni i objętości\n(9.6).\nI sposób rozwiązania\nNiech a oznacza długość krawędzi podstawy tego graniastosłupa i niech α będzie kątem\nnachylenia przekątnej graniastosłupa do płaszczyzny jego podstawy (zobacz rysunek).\nPonieważ\n3\ncos\n5\nα =\n, więc kąt α jest ostry oraz\n4\nsin\n5\nα =\n. Stąd wynika, że\n4\ntg\n3\nα =\nZ drugiej strony\n16\ntg\n2\na\nα =\n. Obliczamy długość krawędzi podstawy graniastosłupa.\nRozwiązujemy równanie:\n16\n4\n3\n2\na\n, skąd\n6 2\na =\nSzukane pole powierzchni całkowitej tego graniastosłupa jest równe:\n(\n)\n(\n)\n2\n2\n6 2\n4 6 2 16\n144\n384 2\n48 3\n8 2\ncP =\n⋅\n⋅\n⋅\nII sposób rozwiązania\nNiech a oznacza długość krawędzi podstawy tego graniastosłupa, α - kąt nachylenia\nprzekątnej graniastosłupa do płaszczyzny jego podstawy oraz niech przekątna podstawy\ngraniastosłupa ma długość 3x, a przekątna graniastosłupa 5x (zobacz rysunek).\nα\na\na\n16\nZ twierdzenia Pitagorasa otrzymujemy równanie\n(\n)\n(\n)\n2\n2\n2\n3\n16\n5\nx\nx\n,\n2\n2\n9\n256\n25\nx\nx\n,\n2\n256\n16x\n,\n2\n16\nx\nStąd\n4\nx =\n. Zatem przekątna podstawy graniastosłupa ma długość 3\n3 4\n12\nx = ⋅\nObliczamy długość krawędzi podstawy graniastosłupa:\n2\n12\na\n, skąd\n6 2\na =\nSzukane pole powierzchni całkowitej tego graniastosłupa jest równe:\n(\n)\n(\n)\n2\n2\n6 2\n4 6 2 16\n144\n384 2\n48 3\n8 2\ncP =\n⋅\n⋅\n⋅\nUwaga\n3\nMożemy również zauważyć, że trójkąt prostokątny o kącie ostrym α takim, że cos\n5\nα =\njest\npodobny do trójkąta pitagorejskiego o bokach długości 3, 4 i 5. Skala tego podobieństwa jest\nrówna\n16\n4\n4\nx =\n. W rezultacie szukane pole\ncP powierzchni całkowitej graniastosłupa jest\nrówne\n2\nm\nx P , gdzie\nm\nP to pole powierzchni całkowitej graniastosłupa, którego przekątna ma\ndługość 5, a przekątna podstawy długość 3. Długość krawędzi podstawy tego graniastosłupa\njest równa 3\n3\n2\n2\n2\n, więc\n(\n)\n2\n3\n3\n2\n2\n2\n2\n4\n2 4\n9\n24 2\nm\nP =\n⋅\n+ ⋅\n⋅\nZatem\n(\n)\n(\n)\n2\n4\n16 9\n24 2\n48 3 8 2\nc\nm\nP\nP\n⋅\nSchemat oceniania I i II sposobu rozwiązania\nRozwiązanie, w którym postęp jest niewielki, ale konieczny na drodze\ndo pełnego rozwiązania 1 p.\nZdający:\nzapisze, że\n4\ntg\n3\nα =\nalbo\nzapisze równanie, z którego można obliczyć skalę x podobieństwa trójkąta o bokach\ndługości 3, 4 i 5 do trójkąta o przyprostokątnej długości 16 leżącej naprzeciw kąta α ,\nnp. (\n)\n(\n)\n2\n2\n2\n3\n16\n5\nx\nx\nalbo\n3x\n5x\nα\na\na\n16\n• poda skalę x podobieństwa trójkąta o bokach długości 3, 4 i 5 do trójkąta\no przyprostokątnej długości 16 leżącej naprzeciw kąta α ,\n4\nx =\nalbo\n• zaznaczy na rysunku kąt nachylenia przekątnej graniastosłupa do płaszczyzny jego\npodstawy\nalbo\n• zapisze, że długość d przekątnej graniastosłupa jest równa 20\ni na tym zakończy lub dalej popełni błędy.\nRozwiązanie, w którym jest istotny postęp 2 p.\nZdający:\n• obliczy długość e przekątnej podstawy tego graniastosłupa e =12\nalbo\n• zapisze równanie, z którego można obliczyć długość krawędzi podstawy tego\ngraniastosłupa, np.\n(\n)\n2\n2\n2\n5\n2\n16\n2\n3\na\na\n\n\n= \n\n\n\n\n\n(\n)\n2\n2\n2\n16\n2\n20\na\nlub 16\n4\n3\n2\na\nalbo\n• zapisze układ równań, z którego można obliczyć długość krawędzi podstawy tego\ngraniastosłupa, np.\n(\n)\n2\n2\n2\n2\n3\n5\n2\n16\n\n\n\n\na\nd\na\nd\ngdzie d oznacza długość przekątnej tego graniastosłupa\ni na tym zakończy lub dalej popełni błędy.\nPokonanie zasadniczych trudności zadania 3 p.\nZdający obliczy długość krawędzi podstawy graniastosłupa:\n6 2\na =\ni na tym zakończy lub\ndalej popełni błędy.\nRozwiązanie pełne 4 p.\nZdający obliczy pole powierzchni całkowitej tego graniastosłupa:\n(\n)\n48 3\n8 2\ncP =\nUwagi\n1. Akceptujemy sytuację, w której zdający wprowadza do rozwiązania poprawne przybliżenia\ndziesiętne liczb rzeczywistych.\n2. Jeżeli zdający przyjmie miarę kąta nachylenia, która nie wynika z treści zadania (np.\n30\nα =\n°), i w rozwiązaniu z tego korzysta, to za całe rozwiązanie otrzymuje 0 punktów.\n3. Jeżeli zdający błędnie zaznaczy na rysunku podany kąt i korzysta z tego kąta, to za całe\nrozwiązanie otrzymuje 0 punktów.\n4. Jeżeli zdający zapisze, że\n3\n5\nsinα =\ni korzysta z tej równości, to za całe rozwiązanie może\notrzymać co najwyżej 1 punkt.\n5. Jeżeli zdający zapisze błędnie, że\n3\ne\na\n, to za całe rozwiązanie może otrzymać co\nnajwyżej 2 punkty.","solution":"$48(3+8\\sqrt{2})$","image":"img/matematyka-2015-maj-matura-podstawowa/zad-32.webp","solution_image":"img/matematyka-2015-maj-matura-podstawowa/sol-32.svg","topics":"stereometria","page_from":18,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"zadaniazmatur","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2015 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"

Zadanie 32. (0-4)
Wysokość graniastosłupa prawidłowego czworokątnego jest równa 16. Przekątna graniastosłupa
jest nachylona do płaszczyzny jego podstawy pod kątem, którego cosinus jest równy 3
5 . Oblicz
pole powierzchni całkowitej tego graniastosłupa.

\n

MMA_1P
Odpowiedź:
Wypełnia
egzaminator
Nr zadania
32.
Maks. liczba pkt
4
Uzyskana liczba pkt

\n

MMA_1P
Wysokość graniastosłupa prawidłowego czworokątnego jest równa 16. Przekątna graniastosłupa jest nachylona do płaszczyzny jego podstawy pod kątem, którego cosinus jest równy 3/5. Oblicz pole powierzchni całkowitej tego graniastosłupa.

","answer_text_html":"

Zadanie 32. (0-4)
Wysokość graniastosłupa prawidłowego czworokątnego jest równa 16. Przekątna
graniastosłupa jest nachylona do płaszczyzny jego podstawy pod kątem, którego cosinus jest
równy 3
5 . Oblicz pole powierzchni całkowitej tego graniastosłupa.
IV. Użycie i tworzenie
strategii.

\n
  1. Stereometria. Zdający stosuje trygonometrię do obliczeń
\n

długości odcinków, miar kątów, pól powierzchni i objętości
(9.6).
I sposób rozwiązania
Niech a oznacza długość krawędzi podstawy tego graniastosłupa i niech α będzie kątem
nachylenia przekątnej graniastosłupa do płaszczyzny jego podstawy (zobacz rysunek).
Ponieważ
3
cos
5
α =
, więc kąt α jest ostry oraz
4
sin
5
α =
. Stąd wynika, że
4
tg
3
α =
Z drugiej strony
16
tg
2
a
α =
. Obliczamy długość krawędzi podstawy graniastosłupa.
Rozwiązujemy równanie:
16
4
3
2
a
, skąd
6 2
a =
Szukane pole powierzchni całkowitej tego graniastosłupa jest równe:
(
)
(
)
2
2
6 2
4 6 2 16
144
384 2
48 3
8 2
cP =
⋅
⋅
⋅
II sposób rozwiązania
Niech a oznacza długość krawędzi podstawy tego graniastosłupa, α - kąt nachylenia
przekątnej graniastosłupa do płaszczyzny jego podstawy oraz niech przekątna podstawy
graniastosłupa ma długość 3x, a przekątna graniastosłupa 5x (zobacz rysunek).
α
a
a
16
Z twierdzenia Pitagorasa otrzymujemy równanie
(
)
(
)
2
2
2
3
16
5
x
x
,
2
2
9
256
25
x
x
,
2
256
16x
,
2
16
x
Stąd
4
x =
. Zatem przekątna podstawy graniastosłupa ma długość 3
3 4
12
x = ⋅
Obliczamy długość krawędzi podstawy graniastosłupa:
2
12
a
, skąd
6 2
a =
Szukane pole powierzchni całkowitej tego graniastosłupa jest równe:
(
)
(
)
2
2
6 2
4 6 2 16
144
384 2
48 3
8 2
cP =
⋅
⋅
⋅
Uwaga
3
Możemy również zauważyć, że trójkąt prostokątny o kącie ostrym α takim, że cos
5
α =
jest
podobny do trójkąta pitagorejskiego o bokach długości 3, 4 i 5. Skala tego podobieństwa jest
równa
16
4
4
x =
. W rezultacie szukane pole
cP powierzchni całkowitej graniastosłupa jest
równe
2
m
x P , gdzie
m
P to pole powierzchni całkowitej graniastosłupa, którego przekątna ma
długość 5, a przekątna podstawy długość 3. Długość krawędzi podstawy tego graniastosłupa
jest równa 3
3
2
2
2
, więc
(
)
2
3
3
2
2
2
2
4
2 4
9
24 2
m
P =
⋅

\n\n

⋅
Zatem
(
)
(
)
2
4
16 9
24 2
48 3 8 2
c
m
P
P
⋅
Schemat oceniania I i II sposobu rozwiązania
Rozwiązanie, w którym postęp jest niewielki, ale konieczny na drodze
do pełnego rozwiązania 1 p.
Zdający:
zapisze, że
4
tg
3
α =
albo
zapisze równanie, z którego można obliczyć skalę x podobieństwa trójkąta o bokach
długości 3, 4 i 5 do trójkąta o przyprostokątnej długości 16 leżącej naprzeciw kąta α ,
np. (
)
(
)
2
2
2
3
16
5
x
x
albo
3x
5x
α
a
a
16
• poda skalę x podobieństwa trójkąta o bokach długości 3, 4 i 5 do trójkąta
o przyprostokątnej długości 16 leżącej naprzeciw kąta α ,
4
x =
albo
• zaznaczy na rysunku kąt nachylenia przekątnej graniastosłupa do płaszczyzny jego
podstawy
albo
• zapisze, że długość d przekątnej graniastosłupa jest równa 20
i na tym zakończy lub dalej popełni błędy.
Rozwiązanie, w którym jest istotny postęp 2 p.
Zdający:
• obliczy długość e przekątnej podstawy tego graniastosłupa e =12
albo
• zapisze równanie, z którego można obliczyć długość krawędzi podstawy tego
graniastosłupa, np.
(
)
2
2
2
5
2
16
2
3
a
a


= 





(
)
2
2
2
16
2
20
a
lub 16
4
3
2
a
albo
• zapisze układ równań, z którego można obliczyć długość krawędzi podstawy tego
graniastosłupa, np.
(
)
2
2
2
2
3
5
2
16




a
d
a
d
gdzie d oznacza długość przekątnej tego graniastosłupa
i na tym zakończy lub dalej popełni błędy.
Pokonanie zasadniczych trudności zadania 3 p.
Zdający obliczy długość krawędzi podstawy graniastosłupa:
6 2
a =
i na tym zakończy lub
dalej popełni błędy.
Rozwiązanie pełne 4 p.
Zdający obliczy pole powierzchni całkowitej tego graniastosłupa:
(
)
48 3
8 2
cP =
Uwagi

\n
  1. Akceptujemy sytuację, w której zdający wprowadza do rozwiązania poprawne przybliżenia
\n

dziesiętne liczb rzeczywistych.

\n
  1. Jeżeli zdający przyjmie miarę kąta nachylenia, która nie wynika z treści zadania (np.
\n

30
α =
°), i w rozwiązaniu z tego korzysta, to za całe rozwiązanie otrzymuje 0 punktów.

\n
  1. Jeżeli zdający błędnie zaznaczy na rysunku podany kąt i korzysta z tego kąta, to za całe
\n

rozwiązanie otrzymuje 0 punktów.

\n
  1. Jeżeli zdający zapisze, że
\n

3
5
sinα =
i korzysta z tej równości, to za całe rozwiązanie może
otrzymać co najwyżej 1 punkt.

\n
  1. Jeżeli zdający zapisze błędnie, że
\n

3
e
a
, to za całe rozwiązanie może otrzymać co
najwyżej 2 punkty.

","solutions":[{"source":"site","label":"matematykaszkolna.pl","kind":"image","image":"/img/matematyka-2015-maj-matura-podstawowa/sol-32.svg"},{"source":"zadaniazmatur","label":"zadaniazmatur.pl","kind":"text","html":"

$48(3+8\\sqrt{2})$

"}]}