Zadanie 34. (0-5)
W nieskończonym ciągu arytmetycznym (
)
na
, określonym dla
1
n ≥, suma jedenastu
początkowych wyrazów tego ciągu jest równa 187. Średnia arytmetyczna pierwszego,
trzeciego i dziewiątego wyrazu tego ciągu, jest równa 12. Wyrazy
1a ,
3a ,
ka ciągu (
)
na
,
w podanej kolejności, tworzą nowy ciąg - trzywyrazowy ciąg geometryczny (
)
nb
. Oblicz k.
MMA_1P
Odpowiedź:
Wypełnia
egzaminator
Nr zadania
34.
Maks. liczba pkt
5
Uzyskana liczba pkt
MMA_1P
BRUDNOPIS (nie podlega ocenie)
W ciągu arytmetycznym (a_n) określonym dla n >= 1 dane są a_1=-4 i r=2. Którym wyrazem tego ciągu jest liczba 156? A. 81, B. 80, C. 76, D. 77.
Zadanie 34. (0-5)
W nieskończonym ciągu arytmetycznym (
)
na
, określonym dla
1
n ≥, suma jedenastu
początkowych wyrazów tego ciągu jest równa 187. Średnia arytmetyczna pierwszego,
trzeciego i dziewiątego wyrazu tego ciągu, jest równa 12. Wyrazy
1a ,
3a ,
ka ciągu (
)
na
,
w podanej kolejności, tworzą nowy ciąg - trzywyrazowy ciąg geometryczny (
)
nb
. Oblicz k.
IV. Użycie i tworzenie
strategii.
n początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego stosuje wzór
na n-ty wyraz i na sumę n początkowych wyrazów ciągu
geometrycznego (5.3, 5.4).
Rozwiązanie
Korzystamy ze wzoru na sumę n początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego i zapisujemy
równanie:
1
2
10
11
187
2
a
r
⋅
,
(
)
1
5
11
187
a
r
⋅
,
1
5
17
a
r
Korzystamy z informacji o średniej arytmetycznej trzech wyrazów i zapisujemy równanie:
1
1
1
2
8
12
3
a
a
r
a
r
,
1
3
10
12
3
a
r
,
1
10
12
3
a
r
Zapisujemy układ równań:
1
1
5
17
10
12.
3
a
r
a
r
Z pierwszego równania otrzymujemy
1
17
5
a
r
Otrzymaną wartość
1a podstawiamy do drugiego równania i otrzymujemy równanie
z niewiadomą r:
10
17
5
12
3
r
r
,
3
r = .
Obliczamy pierwszy wyraz:
1
2
a =
Uwaga
W rozwiązaniu układu równań zdający może najpierw wyznaczyć niewiadomą
1
5
1
5
17
a
r
Otrzymaną wartość r podstawiamy do drugiego równania i otrzymujemy równanie
z niewiadomą
1a :
1
1
10 17
1
12
3
5
5
a
a
,
1
1
170
10
12
15
15
a
a
,
1
1
2
3
3
a =
,
1
2
a =
Dla
2
1 =
a
mamy
3
r
Wyznaczamy pozostałe wyrazy tworzące ciąg geometryczny:
8
2
1
3
r
a
a
,
(
)
(
)
1
1
2
1 3
ka
a
k
r
k
⋅.
Kolejne wyrazy
1a ,
3a ,
ka ciągu geometrycznego spełniają warunek:
ka
a
a
⋅
1
2
3
, stąd
(
)
28
2
2
1 3
k
⋅
⋅
,
32
3
1
k
-,
11
k
Dla
11
k
wyrazy
1a ,
3a ,
ka w podanej kolejności tworzą ciąg geometryczny.
Schemat oceniania
Rozwiązanie, w którym postęp 1 p.
Zdający wykorzysta
• wzór na sumę n-początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego i zapisze równanie
z dwiema niewiadomymi
1a i r, np.:
1
2
10
11
187
2
a
r
⋅
lub
1
5
17
a
r
albo
• średnią arytmetyczną pierwszego, trzeciego oraz dziewiątego wyrazu ciągu (
)
na
i zapisze równanie z dwiema niewiadomymi
1a i r, np.:
1
1
1
2
8
12
3
a
a
r
a
r
lub
1
10
12
3
a
r
albo
• zależność między pierwszym, trzecim i k-tym wyrazem ciągu (
)
na
wynikającą
z faktu, że ciąg (
)
1
3
,
,
k
a a a
jest geometryczny i zapisze np.:
ka
a
a
⋅
1
2
3
Rozwiązanie, w którym jest istotny postęp 2 p.
Zdający zapisze układ równań z dwiema niewiadomymi
1a i r, np.:
1
1
5
17
10
12
3
a
r
a
r
Pokonanie zasadniczych trudności zadania 3 p.
Zdający rozwiąże układ równań
2
1 =
a
i
3
r
oraz zapisze zależność między pierwszym,
trzecim i k-tym wyrazem ciągu (
)
na
wynikającą z faktu, że ciąg (
)
1
3
,
,
k
a a a
jest
geometryczny, np.:
ka
a
a
⋅
1
2
3
Rozwiązanie zadania do końca, lecz z usterkami, które jednak nie przekreślają
poprawności rozwiązania (np. błędy rachunkowe) 4 p.
Zdający
• zapisze równanie z niewiadomą k wynikające z faktu, że ciąg (
)
1
3
,
,
k
a a a
jest
geometryczny oraz
ka jest k-tym wyrazem ciągu arytmetycznego, np.:
(
)
(
)
28
2 2
1 3
k
⋅
albo
• rozwiąże układ równań z błędem rachunkowym i konsekwentnie do popełnionego
błędu obliczy k, o ile otrzymana wartość k jest całkowita dodatnia.
Rozwiązanie pełne 5 p.
Zdający obliczy
11
k
Uwagi
2
1 =
a
i
3
r
lub wypisze kolejne wyrazy ciągu
arytmetycznego: 2, 5, 8, 11, …, ale nie uzasadni, że jest to jedyny ciąg spełniający warunki
zadania i na tym zakończy, to otrzymuje 1 punkt.
2
1 =
a
i
3
r
lub wypisze kolejne wyrazy ciągu
arytmetycznego: 2, 5, 8, 11, …, ale nie uzasadni, że jest to jedyny ciąg spełniający warunki
zadania i wskaże lub obliczy
11
k
, to otrzymuje 3 punkty.
2
1 =
a
i
3
r
lub wypisze kolejne wyrazy ciągu
arytmetycznego: 2, 5, 8, 11, …, ale nie uzasadni, że jest to jedyny ciąg spełniający warunki
zadania i zapisze równanie z niewiadomą k i popełni błąd rachunkowy w trakcie jego
rozwiązywania, to otrzymuje 2 punkty.
(suma 11 początkowych jego wyrazów jest różna od 187 lub średnia pierwszego, trzeciego
i dziewiątego wyrazu jest różna od 12), to za całe zadanie otrzymuje 0 punktów.
$k=11$
"}]}