{"id":"matematyka-2015-maj-matura-rozszerzona/zad/10","paper_id":"matematyka-2015-maj-matura-rozszerzona","number":"10","points":4,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2015,"month":"maj","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 10. (0-4)\nDługości boków czworokąta ABCD są równe:\n2\nAB =\n,\n3\nBC = ,\n4\nCD =\n,\n5\nDA =\nNa czworokącie ABCD opisano okrąg. Oblicz długość przekątnej AC tego czworokąta.\nOdpowiedź:\n\nMMA_1R\nO trapezie ABCD wiadomo, że można w niego wpisać okrąg, a ponadto długości jego boków AB, BC, CD, AD - w podanej kolejności - tworzą ciąg geometryczny. Uzasadnij, że trapez ABCD jest rombem.","answer":null,"answer_text":"Zadanie 10. (0-4)\nDługości boków czworokąta ABCD są równe:\n2\nAB =\n,\n3\nBC = ,\n4\nCD =\n,\n5\nDA =\nNa czworokącie ABCD opisano okrąg. Oblicz długość przekątnej AC tego czworokąta.\nIV. Użycie i tworzenie\nstrategii.\n7. Planimetria. Zdający stosuje twierdzenia charakteryzujące\nczworokąty wpisane w okrąg i czworokąty opisane na okręgu;\nznajduje związki miarowe w figurach płaskich\nz zastosowaniem twierdzenia sinusów i twierdzenia cosinusów\n(R7.1, R7.5).\nRozwiązanie (I sposób)\nPrzyjmijmy oznaczenia\n2\na\nAB\n,\n3\nb\nBC\n,\n4\nc\nCD\n,\n5\nd\nDA\n, x\nAC\n,\nABC\nα = \njak na rysunku.\nPonieważ na czworokącie ABCD jest opisany okrąg, więc\n180\nCDA\nα\n°-\n\nZ twierdzenia cosinusów zastosowanego do trójkąta ABC otrzymujemy:\n2\n2\n2\n2\ncos\nAC\nAB\nBC\nAB\nBC\nα\n-⋅\n⋅\n⋅\n,\n(1)\n2\n2\n2\n2\n3\n2 2 3 cos\nAC\nα\n-⋅⋅⋅\nTeraz ponownie zastosujemy twierdzenie cosinusów, tym razem do trójkąta ACD :\n(\n)\n2\n2\n2\n2\ncos 180\nAC\nCD\nDA\nCD\nDA\nα\n-⋅\n⋅\n⋅\n°-\n,\n(2)\n2\n2\n2\n4\n5\n2 4 5 cos\nAC\nα\n+ ⋅⋅⋅\nPorównujemy prawe strony równań (1) i (2):\n2\n2\n2\n2\n2\n3\n2 2 3 cos\n4\n5\n2 4 5 cos\nα\nα\n-⋅⋅⋅\n+ ⋅⋅⋅\n,\n13 12 cos\n41\n40 cos\nα\nα\n⋅\n⋅\nA\nB\nC\nD\na\nb\nc\nd\nα\nβ\nx\n28\n7\ncos\n52\n13\nα = -\nPodstawiamy otrzymaną wartość do równania (1) i otrzymujemy:\n2\n7\n84\n169\n84\n253\n13 12\n13\n13\n13\n13\n13\nAC\n\n\n⋅-\n\n\n\n\nStąd wynika, że długość przekątnej AC jest równa:\n253\n13\nAC =\nUwaga\nUkład równań (1) i (2) możemy rozwiązać rugując cosα . Wtedy mnożymy obie strony\nrównania (1) przez 10, a obie strony równania (2 ) przez 3 i mamy\n2\n10\n10 4 10 9 120 cos\nx\nα\n⋅+\n⋅-\n⋅\noraz\n2\n3\n3 16\n3 25 120 cos\nx\nα\n= ⋅\n+ ⋅\n⋅\nDodając stronami otrzymane równania mamy\n2\n13\n253\nx =\nStąd\n253\n13\nx\nAC\nSchemat oceniania I sposobu rozwiązania\nRozwiązanie, w którym postęp jest niewielki, ale konieczny na drodze do pełnego\nrozwiązania 1 p.\nZdający zapisze równanie wynikające z twierdzenia cosinusów zastosowanego do trójkąta\nABC albo do trójkąta CDA:\n2\n2\n2\n2\n3\n2 2 3 cos\nx\nα\n-⋅⋅⋅\nalbo\n2\n2\n2\n4\n5\n2 4 5 cos\nx\nβ\n-⋅⋅⋅\ni na tym zakończy lub dalej popełni błędy.\nRozwiązanie, w którym jest istotny postęp 2 p.\nZdający zapisze\n• równanie z jedną niewiadomą, np.:\n(\n)\n2\n2\n2\n2\n2\n3\n2 2 3 cos\n4\n5\n2 4 5 cos 180\nα\nα\n-⋅⋅⋅\n-⋅⋅⋅\n°-\nalbo\n• układ równań w postaci:\n2\n10\n10 4 10 9 120 cos\nx\nα\n⋅+\n⋅-\n⋅\ni\n2\n3\n3 16\n3 25 120 cos\nx\nα\n= ⋅\n+ ⋅\n⋅\ni na tym zakończy lub dalej popełni błędy.\nPokonanie zasadniczych trudności zadania 3 p.\nZdający\n• obliczy cosinus kąta ABC:\n7\ncos\n13\na = -\nalbo\n• zapisze równanie z niewiadomą x, np.:\n2\n13\n253\nx =\nRozwiązanie pełne 4 p.\nZdający obliczy długość przekątnej AC:\n253\n13\nAC =\nRozwiązanie (II sposób)\nPrzyjmijmy oznaczenia x\nAC\ny\nBD\njak na rysunku i niech R oznacza promień okręgu\nopisanego na czworokącie ABCD.\nZ twierdzenia Ptolemeusza otrzymujemy równanie\n2 4\n5 3\nxy =\n⋅+ ⋅,\n23\nxy =\nOkrąg opisany na czworokącie ABCD jest jednocześnie okręgiem opisanym na każdym\nz trójkątów ABC, BCD, CDA i ABD. Pole czworokąta ABCD możemy zapisać na dwa\nsposoby\nABCD\nABC\nCDA\nBCD\nABD\nP\nP\nP\nP\nP\nStąd i ze wzoru na pole trójkąta\n4\nabc\nP\nR\notrzymujemy równanie\n2 3\n4 5\n2 5\n3 4\n4\n4\n4\n4\nx\nx\ny\ny\nR\nR\nR\nR\n⋅⋅\n⋅⋅\n⋅⋅\n⋅⋅\n,\n26\n22\nx\ny\n,\n13\n11\ny\nx\nStąd i z równości\n23\nxy =\notrzymujemy\n13\n23\n11\nx\nx\n⋅\n,\n2\n23 11\n13\nx\n⋅\n,\n253\n13\nx =\nSchemat oceniania II sposobu rozwiązania\nRozwiązanie, w którym postęp jest niewielki, ale konieczny na drodze do pełnego\nrozwiązania 1 p.\nZdający zapisze\n• równanie wynikające z twierdzenia Ptolemeusza:\n2 4\n5 3\nxy =\n⋅+ ⋅\nalbo\nA\nB\nC\nD\n2\n3\n4\n5\nx\ny\n• pole czworokąta ABCD na dwa sposoby i zapisze\nABC\nCDA\nBCD\nABD\nP\nP\nP\nP\nlub\n2 3\n4 5\n2 5\n3 4\n4\n4\n4\n4\nx\nx\ny\ny\nR\nR\nR\nR\n⋅⋅\n⋅⋅\n⋅⋅\n⋅⋅\ni na tym zakończy lub dalej popełni błędy.\nRozwiązanie, w którym jest istotny postęp 2 p.\nZdający zapisze układ równań z niewiadomymi x i y:\n2 4\n5 3\nxy =\n⋅+ ⋅ oraz 2 3\n4 5\n2 5\n3 4\nx\nx\ny\ny\n⋅⋅+ ⋅⋅\n⋅⋅\n+ ⋅⋅\ni na tym zakończy lub dalej popełni błędy.\nPokonanie zasadniczych trudności zadania 3 p.\nZdający zapisze równanie z jedną niewiadomą, np.:\n13\n23\n11\nx\nx\n⋅\nlub 11\n23\n13 y y\n⋅\nRozwiązanie pełne 4 p.\nZdający obliczy długość przekątnej AC:\n253\n13\nx\nAC","solution":"$|AC|=\\sqrt{\\dfrac{253}{13}}$","image":"img/matematyka-2015-maj-matura-rozszerzona/zad-10.webp","solution_image":"img/matematyka-2015-maj-matura-rozszerzona/sol-10.svg","topics":"planimetria","page_from":10,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"zadaniazmatur","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2015 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"

Zadanie 10. (0-4)
Długości boków czworokąta ABCD są równe:
2
AB =
,
3
BC = ,
4
CD =
,
5
DA =
Na czworokącie ABCD opisano okrąg. Oblicz długość przekątnej AC tego czworokąta.
Odpowiedź:

\n

MMA_1R
O trapezie ABCD wiadomo, że można w niego wpisać okrąg, a ponadto długości jego boków AB, BC, CD, AD - w podanej kolejności - tworzą ciąg geometryczny. Uzasadnij, że trapez ABCD jest rombem.

","answer_text_html":"

Zadanie 10. (0-4)
Długości boków czworokąta ABCD są równe:
2
AB =
,
3
BC = ,
4
CD =
,
5
DA =
Na czworokącie ABCD opisano okrąg. Oblicz długość przekątnej AC tego czworokąta.
IV. Użycie i tworzenie
strategii.

\n
  1. Planimetria. Zdający stosuje twierdzenia charakteryzujące
\n

czworokąty wpisane w okrąg i czworokąty opisane na okręgu;
znajduje związki miarowe w figurach płaskich
z zastosowaniem twierdzenia sinusów i twierdzenia cosinusów
(R7.1, R7.5).
Rozwiązanie (I sposób)
Przyjmijmy oznaczenia
2
a
AB
,
3
b
BC
,
4
c
CD
,
5
d
DA
, x
AC
,
ABC
α = 
jak na rysunku.
Ponieważ na czworokącie ABCD jest opisany okrąg, więc
180
CDA
α
°-

Z twierdzenia cosinusów zastosowanego do trójkąta ABC otrzymujemy:
2
2
2
2
cos
AC
AB
BC
AB
BC
α
-⋅
⋅
⋅
,
(1)
2
2
2
2
3
2 2 3 cos
AC
α
-⋅⋅⋅
Teraz ponownie zastosujemy twierdzenie cosinusów, tym razem do trójkąta ACD :
(
)
2
2
2
2
cos 180
AC
CD
DA
CD
DA
α
-⋅
⋅
⋅
°-
,
(2)
2
2
2
4
5
2 4 5 cos
AC
α

\n\n

Porównujemy prawe strony równań (1) i (2):
2
2
2
2
2
3
2 2 3 cos
4
5
2 4 5 cos
α
α
-⋅⋅⋅

\n\n

,
13 12 cos
41
40 cos
α
α
⋅
⋅
A
B
C
D
a
b
c
d
α
β
x
28
7
cos
52
13
α = -
Podstawiamy otrzymaną wartość do równania (1) i otrzymujemy:
2
7
84
169
84
253
13 12
13
13
13
13
13
AC


⋅-




Stąd wynika, że długość przekątnej AC jest równa:
253
13
AC =
Uwaga
Układ równań (1) i (2) możemy rozwiązać rugując cosα . Wtedy mnożymy obie strony
równania (1) przez 10, a obie strony równania (2 ) przez 3 i mamy
2
10
10 4 10 9 120 cos
x
α
⋅+
⋅-
⋅
oraz
2
3
3 16
3 25 120 cos
x
α
= ⋅

\n\n

⋅
Dodając stronami otrzymane równania mamy
2
13
253
x =
Stąd
253
13
x
AC
Schemat oceniania I sposobu rozwiązania
Rozwiązanie, w którym postęp jest niewielki, ale konieczny na drodze do pełnego
rozwiązania 1 p.
Zdający zapisze równanie wynikające z twierdzenia cosinusów zastosowanego do trójkąta
ABC albo do trójkąta CDA:
2
2
2
2
3
2 2 3 cos
x
α
-⋅⋅⋅
albo
2
2
2
4
5
2 4 5 cos
x
β
-⋅⋅⋅
i na tym zakończy lub dalej popełni błędy.
Rozwiązanie, w którym jest istotny postęp 2 p.
Zdający zapisze
• równanie z jedną niewiadomą, np.:
(
)
2
2
2
2
2
3
2 2 3 cos
4
5
2 4 5 cos 180
α
α
-⋅⋅⋅
-⋅⋅⋅
°-
albo
• układ równań w postaci:
2
10
10 4 10 9 120 cos
x
α
⋅+
⋅-
⋅
i
2
3
3 16
3 25 120 cos
x
α
= ⋅

\n\n

⋅
i na tym zakończy lub dalej popełni błędy.
Pokonanie zasadniczych trudności zadania 3 p.
Zdający
• obliczy cosinus kąta ABC:
7
cos
13
a = -
albo
• zapisze równanie z niewiadomą x, np.:
2
13
253
x =
Rozwiązanie pełne 4 p.
Zdający obliczy długość przekątnej AC:
253
13
AC =
Rozwiązanie (II sposób)
Przyjmijmy oznaczenia x
AC
y
BD
jak na rysunku i niech R oznacza promień okręgu
opisanego na czworokącie ABCD.
Z twierdzenia Ptolemeusza otrzymujemy równanie
2 4
5 3
xy =
⋅+ ⋅,
23
xy =
Okrąg opisany na czworokącie ABCD jest jednocześnie okręgiem opisanym na każdym
z trójkątów ABC, BCD, CDA i ABD. Pole czworokąta ABCD możemy zapisać na dwa
sposoby
ABCD
ABC
CDA
BCD
ABD
P
P
P
P
P
Stąd i ze wzoru na pole trójkąta
4
abc
P
R
otrzymujemy równanie
2 3
4 5
2 5
3 4
4
4
4
4
x
x
y
y
R
R
R
R
⋅⋅
⋅⋅
⋅⋅
⋅⋅
,
26
22
x
y
,
13
11
y
x
Stąd i z równości
23
xy =
otrzymujemy
13
23
11
x
x
⋅
,
2
23 11
13
x
⋅
,
253
13
x =
Schemat oceniania II sposobu rozwiązania
Rozwiązanie, w którym postęp jest niewielki, ale konieczny na drodze do pełnego
rozwiązania 1 p.
Zdający zapisze
• równanie wynikające z twierdzenia Ptolemeusza:
2 4
5 3
xy =
⋅+ ⋅
albo
A
B
C
D
2
3
4
5
x
y
• pole czworokąta ABCD na dwa sposoby i zapisze
ABC
CDA
BCD
ABD
P
P
P
P
lub
2 3
4 5
2 5
3 4
4
4
4
4
x
x
y
y
R
R
R
R
⋅⋅
⋅⋅
⋅⋅
⋅⋅
i na tym zakończy lub dalej popełni błędy.
Rozwiązanie, w którym jest istotny postęp 2 p.
Zdający zapisze układ równań z niewiadomymi x i y:
2 4
5 3
xy =
⋅+ ⋅ oraz 2 3
4 5
2 5
3 4
x
x
y
y
⋅⋅+ ⋅⋅
⋅⋅

\n\n

i na tym zakończy lub dalej popełni błędy.
Pokonanie zasadniczych trudności zadania 3 p.
Zdający zapisze równanie z jedną niewiadomą, np.:
13
23
11
x
x
⋅
lub 11
23
13 y y
⋅
Rozwiązanie pełne 4 p.
Zdający obliczy długość przekątnej AC:
253
13
x
AC

","solutions":[{"source":"site","label":"matematykaszkolna.pl","kind":"image","image":"/img/matematyka-2015-maj-matura-rozszerzona/sol-10.svg"},{"source":"zadaniazmatur","label":"zadaniazmatur.pl","kind":"text","html":"

$|AC|=\\sqrt{\\dfrac{253}{13}}$

"}]}