{"id":"matematyka-2015-maj-matura-rozszerzona/zad/11","paper_id":"matematyka-2015-maj-matura-rozszerzona","number":"11","points":4,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2015,"month":"maj","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 11. (0-4)\nW pierwszej urnie umieszczono 3 kule białe i 5 kul czarnych, a w drugiej urnie 7 kul białych\ni 2 kule czarne. Losujemy jedną kulę z pierwszej urny, przekładamy ją do urny drugiej\ni dodatkowo dokładamy do urny drugiej jeszcze dwie kule tego samego koloru, co\nwylosowana kula. Następnie losujemy dwie kule z urny drugiej. Oblicz prawdopodobieństwo\nzdarzenia polegającego na tym, że obie kule wylosowane z drugiej urny będą białe.\nOdpowiedź:\nWypełnia\negzaminator\nNr zadania\n10.\n11.\nMaks. liczba pkt\n4\n4\nUzyskana liczba pkt\n\nMMA_1R","answer":null,"answer_text":"Zadanie 11. (0-4)\nW pierwszej urnie umieszczono 3 kule białe i 5 kul czarnych, a w drugiej urnie 7 kul białych\ni 2 kule czarne. Losujemy jedną kulę z pierwszej urny, przekładamy ją do urny drugiej\ni dodatkowo dokładamy do urny drugiej jeszcze dwie kule tego samego koloru, co\nwylosowana kula. Następnie losujemy dwie kule z urny drugiej. Oblicz prawdopodobieństwo\nzdarzenia polegającego na tym, że obie kule wylosowane z drugiej urny będą białe.\nIV. Użycie i tworzenie\nstrategii.\n10. Elementy statystyki opisowej. Teoria prawdopodobieństwa\ni kombinatoryka. Zdający korzysta z twierdzenia\no prawdopodobieństwie całkowitym (R10.3).\nRozwiązanie (I sposób)\nPrzyjmijmy następujące oznaczenia zdarzeń:\nA - zdarzenie polegające na tym, że z drugiej urny wylosujemy dwie kule białe,\n1\nB - zdarzenie polegające na tym, że z pierwszej urny wylosujemy kulę białą.\n2\nB - zdarzenie polegające na tym, że z pierwszej urny wylosujemy kulę czarną.\nWówczas\n1\n2\nB\nB\n∩\n= ∅ oraz\n1\n2\nB\nB\n∪\n= Ω . Następnie\n(\n)\n1\n3\n0\n8\nP B\n>\noraz\n(\n)\n2\n5\n0\n8\nP B\n>\nZatem spełnione są założenia twierdzenia o prawdopodobieństwie całkowitym. Obliczamy\nteraz prawdopodobieństwa warunkowe:\n(\n) ( )\n( )\n1\n10\n2\n12\n2\n15\n22\nP A B\noraz\n(\n)\n( )\n( )\n2\n7\n2\n12\n2\n7\n22\nP A B\nZ twierdzenia o prawdopodobieństwie całkowitym otrzymujemy\n( )\n(\n)\n(\n)\n(\n)\n(\n)\n1\n1\n2\n2\n15 3\n7\n5\n45\n35\n80\n5\n22 8\n22 8\n8 22\n8 22\n11\nP A\nP A B\nP B\nP A B\nP B\n⋅\n⋅\n⋅\n⋅\n⋅\n⋅\nSchemat oceniania I sposobu rozwiązania\nRozwiązanie, w którym postęp jest niewielki, ale konieczny na drodze do pełnego\nrozwiązania 1 p.\nZdający opisze zdarzenia A,\n1\nB i\n2\nB .\nRozwiązanie, w którym jest istotny postęp 2 p.\nZdający\n• obliczy prawdopodobieństwa\n(\n)\n1\n3\n8\nP B\noraz\n(\n)\n2\n5\n8\nP B\nalbo\n• obliczy prawdopodobieństwa\n(\n)\n1\n15\n22\nP A B\n,\n(\n)\n2\n7\n22\nP A B\nalbo\n• obliczy prawdopodobieństwa\n(\n)\n1\n3\n8\nP B\noraz\n(\n)\n1\n15\n22\nP A B\nalbo\n• obliczy prawdopodobieństwa\n(\n)\n2\n5\n8\nP B\noraz\n(\n)\n2\n7\n22\nP A B\nPokonanie zasadniczych trudności zadania 3 p.\nZdający obliczy prawdopodobieństwa: (\n)\n1\n3\n8\nP B\n,\n(\n)\n2\n5\n8\nP B\n,\n(\n)\n1\n15\n22\nP A B\n,\n(\n)\n2\n7\n22\nP A B\nRozwiązanie pełne 4 p.\nZdający obliczy prawdopodobieństwo:\n( )\n5\n11\nP A =\nRozwiązanie (II sposób)\nPrzyjmijmy, że A to zdarzenie polegające na tym, że z drugiej urny wylosujemy dwie kule\nbiałe. Rysujemy drzewo z istotnymi gałęziami\nlub\nPrawdopodobieństwo zdarzenia A jest równe\n( )\n15 3\n7\n5\n45\n35\n80\n5\n22 8\n22 8\n8 22\n8 22\n11\nP A\n⋅\n⋅\n⋅\n⋅\nLosowanie kuli z pierwszej urny\nLosowanie pierwszej kuli z drugiej urny\n1\nB\n2\nB\nLosowanie drugiej kuli z drugiej urny\nb\nb\nc\nc\nb\nb\nb\nb\nc\nc\nc\nc\n3\n8\n5\n8\n10\n12\n7\n12\n9\n11\n6\n11\nLosowanie kuli z pierwszej urny\nLosowanie dwóch kul z drugiej urny\n( )\n( )\n7\n2\n12\n2\n( )\n( )\n10\n2\n12\n2\n1\nB\n2\nB\n5\n8\n3\n8\nb b\nb b\nlub\n( )\n3\nP A =\n1\n8\n4\n10\n⋅\n5\n12\n4\n9\n5\n7\n11\n8 12\n⋅\n⋅\n2\n6\n⋅\n1\n45\n35\n80\n5\n11\n16 11\n176\n11\n⋅\nSchemat oceniania II sposobu rozwiązania\nRozwiązanie, w którym postęp jest niewielki, ale konieczny na drodze do pełnego\nrozwiązania 1 p.\nZdający narysuje drzewo ilustrujące losowanie (na rysunku muszą wystąpić wszystkie istotne\ngałęzie).\nRozwiązanie, w którym jest istotny postęp 2 p.\nZdający zapisze prawdopodobieństwa przynajmniej na wszystkich istotnych odcinkach\njednego z etapów lub na jednej z istotnych gałęzi.\nPokonanie zasadniczych trudności zadania 3 p.\nZdający zapisze prawdopodobieństwa na wszystkich istotnych gałęziach: 3\n8 , 10\n12 , 9\n11\noraz 5\n8 , 7\n12 , 6\n11 lub 3\n8 ,\n10\n2\n12\n2\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\noraz 5\n8 ,\n7\n2\n12\n2\n\n\n\n\n\n\n\n\n\nRozwiązanie pełne 4 p.\nZdający obliczy prawdopodobieństwo:\n( )\n5\n11\nP A =\nUwaga\nJeżeli zdający rozwiąże zadanie do końca i otrzyma prawdopodobieństwo ujemne lub większe\nod 1, to za całe rozwiązanie otrzymuje 0 punktów.","solution":"$P(A)=\\dfrac{5}{11}$","image":"img/matematyka-2015-maj-matura-rozszerzona/zad-11.webp","solution_image":null,"topics":"prawdopodobienstwo","page_from":11,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"zadaniazmatur","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2015 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"

Zadanie 11. (0-4)
W pierwszej urnie umieszczono 3 kule białe i 5 kul czarnych, a w drugiej urnie 7 kul białych
i 2 kule czarne. Losujemy jedną kulę z pierwszej urny, przekładamy ją do urny drugiej
i dodatkowo dokładamy do urny drugiej jeszcze dwie kule tego samego koloru, co
wylosowana kula. Następnie losujemy dwie kule z urny drugiej. Oblicz prawdopodobieństwo
zdarzenia polegającego na tym, że obie kule wylosowane z drugiej urny będą białe.
Odpowiedź:
Wypełnia
egzaminator
Nr zadania
10.
11.
Maks. liczba pkt
4
4
Uzyskana liczba pkt

\n

MMA_1R

","answer_text_html":"

Zadanie 11. (0-4)
W pierwszej urnie umieszczono 3 kule białe i 5 kul czarnych, a w drugiej urnie 7 kul białych
i 2 kule czarne. Losujemy jedną kulę z pierwszej urny, przekładamy ją do urny drugiej
i dodatkowo dokładamy do urny drugiej jeszcze dwie kule tego samego koloru, co
wylosowana kula. Następnie losujemy dwie kule z urny drugiej. Oblicz prawdopodobieństwo
zdarzenia polegającego na tym, że obie kule wylosowane z drugiej urny będą białe.
IV. Użycie i tworzenie
strategii.

\n
  1. Elementy statystyki opisowej. Teoria prawdopodobieństwa
\n

i kombinatoryka. Zdający korzysta z twierdzenia
o prawdopodobieństwie całkowitym (R10.3).
Rozwiązanie (I sposób)
Przyjmijmy następujące oznaczenia zdarzeń:
A - zdarzenie polegające na tym, że z drugiej urny wylosujemy dwie kule białe,
1
B - zdarzenie polegające na tym, że z pierwszej urny wylosujemy kulę białą.
2
B - zdarzenie polegające na tym, że z pierwszej urny wylosujemy kulę czarną.
Wówczas
1
2
B
B
∩
= ∅ oraz
1
2
B
B
∪
= Ω . Następnie
(
)
1
3
0
8
P B

\n
\n

oraz
(
)
2
5
0
8
P B

\n
\n

Zatem spełnione są założenia twierdzenia o prawdopodobieństwie całkowitym. Obliczamy
teraz prawdopodobieństwa warunkowe:
(
) ( )
( )
1
10
2
12
2
15
22
P A B
oraz
(
)
( )
( )
2
7
2
12
2
7
22
P A B
Z twierdzenia o prawdopodobieństwie całkowitym otrzymujemy
( )
(
)
(
)
(
)
(
)
1
1
2
2
15 3
7
5
45
35
80
5
22 8
22 8
8 22
8 22
11
P A
P A B
P B
P A B
P B
⋅
⋅
⋅
⋅
⋅
⋅
Schemat oceniania I sposobu rozwiązania
Rozwiązanie, w którym postęp jest niewielki, ale konieczny na drodze do pełnego
rozwiązania 1 p.
Zdający opisze zdarzenia A,
1
B i
2
B .
Rozwiązanie, w którym jest istotny postęp 2 p.
Zdający
• obliczy prawdopodobieństwa
(
)
1
3
8
P B
oraz
(
)
2
5
8
P B
albo
• obliczy prawdopodobieństwa
(
)
1
15
22
P A B
,
(
)
2
7
22
P A B
albo
• obliczy prawdopodobieństwa
(
)
1
3
8
P B
oraz
(
)
1
15
22
P A B
albo
• obliczy prawdopodobieństwa
(
)
2
5
8
P B
oraz
(
)
2
7
22
P A B
Pokonanie zasadniczych trudności zadania 3 p.
Zdający obliczy prawdopodobieństwa: (
)
1
3
8
P B
,
(
)
2
5
8
P B
,
(
)
1
15
22
P A B
,
(
)
2
7
22
P A B
Rozwiązanie pełne 4 p.
Zdający obliczy prawdopodobieństwo:
( )
5
11
P A =
Rozwiązanie (II sposób)
Przyjmijmy, że A to zdarzenie polegające na tym, że z drugiej urny wylosujemy dwie kule
białe. Rysujemy drzewo z istotnymi gałęziami
lub
Prawdopodobieństwo zdarzenia A jest równe
( )
15 3
7
5
45
35
80
5
22 8
22 8
8 22
8 22
11
P A
⋅
⋅
⋅
⋅
Losowanie kuli z pierwszej urny
Losowanie pierwszej kuli z drugiej urny
1
B
2
B
Losowanie drugiej kuli z drugiej urny
b
b
c
c
b
b
b
b
c
c
c
c
3
8
5
8
10
12
7
12
9
11
6
11
Losowanie kuli z pierwszej urny
Losowanie dwóch kul z drugiej urny
( )
( )
7
2
12
2
( )
( )
10
2
12
2
1
B
2
B
5
8
3
8
b b
b b
lub
( )
3
P A =
1
8
4
10
⋅
5
12
4
9
5
7
11
8 12
⋅
⋅
2
6
⋅
1
45
35
80
5
11
16 11
176
11
⋅
Schemat oceniania II sposobu rozwiązania
Rozwiązanie, w którym postęp jest niewielki, ale konieczny na drodze do pełnego
rozwiązania 1 p.
Zdający narysuje drzewo ilustrujące losowanie (na rysunku muszą wystąpić wszystkie istotne
gałęzie).
Rozwiązanie, w którym jest istotny postęp 2 p.
Zdający zapisze prawdopodobieństwa przynajmniej na wszystkich istotnych odcinkach
jednego z etapów lub na jednej z istotnych gałęzi.
Pokonanie zasadniczych trudności zadania 3 p.
Zdający zapisze prawdopodobieństwa na wszystkich istotnych gałęziach: 3
8 , 10
12 , 9
11
oraz 5
8 , 7
12 , 6
11 lub 3
8 ,
10
2
12
2












oraz 5
8 ,
7
2
12
2









Rozwiązanie pełne 4 p.
Zdający obliczy prawdopodobieństwo:
( )
5
11
P A =
Uwaga
Jeżeli zdający rozwiąże zadanie do końca i otrzyma prawdopodobieństwo ujemne lub większe
od 1, to za całe rozwiązanie otrzymuje 0 punktów.

","solutions":[{"source":"zadaniazmatur","label":"zadaniazmatur.pl","kind":"text","html":"

$P(A)=\\dfrac{5}{11}$

"}]}