{"id":"matematyka-2015-maj-matura-rozszerzona/zad/12","paper_id":"matematyka-2015-maj-matura-rozszerzona","number":"12","points":4,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2015,"month":"maj","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 12. (0-4)\nFunkcja f określona jest wzorem\n1\n2\n)\n(\n2\n3\nx\nx\nx\nf\ndla każdej liczby rzeczywistej x.\nWyznacz równania tych stycznych do wykresu funkcji\n,f które są równoległe do prostej\no równaniu\n4\ny\nx\n\nMMA_1R\nOdpowiedź:\nWypełnia\negzaminator\nNr zadania\n12.\nMaks. liczba pkt\n4\nUzyskana liczba pkt\n\nMMA_1R\nWyznacz równania prostych stycznych do okręgu o równaniu x^2 + y^2 + 4x - 6y - 3 = 0 i zarazem prostopadłych do prostej x + 2y - 6 = 0.","answer":null,"answer_text":"Zadanie 12. (0-4)\nFunkcja f określona jest wzorem\n1\n2\n)\n(\n2\n3\nx\nx\nx\nf\ndla każdej liczby rzeczywistej x.\nWyznacz równania tych stycznych do wykresu funkcji\n,f które są równoległe do prostej\no równaniu\n4\ny\nx\nIV. Użycie i tworzenie\nstrategii.\n11. Rachunek różniczkowy. Zdający korzysta z geometrycznej\ni fizycznej interpretacji pochodnej (R11.3).\n8. Geometria na płaszczyźnie kartezjańskiej. Zdający\nwyznacza równania prostej, która jest równoległa lub\nprostopadła do prostej danej w postaci kierunkowej\ni przechodzi przez dany punkt (8.3).\nRozwiązanie\nAby styczne były równoległe do prostej o równaniu\nx\ny\n4\n, ich współczynnik kierunkowy\nmusi być równy 4. Obliczamy pochodną funkcji f:\nx\nx\nx\nf\n4\n3\n)\n('\n2 -\nWspółczynnik kierunkowy stycznej jest równy wartości pierwszej pochodnej funkcji\nw punkcie styczności. Stąd\n(\n)\n0\n4\nf\nx\n′\n. Wówczas\n2\n0\n0\n3\n4\n4\nx\nx\n,\n2\n0\n0\n3\n4\n4\n0\nx\nx\n,\n64\nΔ =\n,\n0\n2\n3\nx = -\nlub\n0\n2\nx =\nIstnieją zatem dwie styczne do wykresu funkcji f równoległe do prostej o równaniu\n4\ny\nx\nw punktach\n(\n)\n1\n5\n2\n3\n27\n,\nP = -\noraz\n(\n)\n2\n2,1\nP =\n. Styczne mają zatem równania postaci\n(\n)\n5\n2\n27\n3\n4\ny\nx\noraz\n(\n)\n1\n4\n2\ny\nx\n, czyli\n67\n27\n4\ny\nx\noraz\n7\n4 -\nx\ny\nOdp. Równania prostych stycznych mają postać:\n27\n67\n4 +\nx\ny\noraz\n7\n4 -\nx\ny\nSchemat oceniania\nRozwiązanie, w którym postęp jest niewielki, ale konieczny na drodze do pełnego\nrozwiązania zadania 1 p.\nZdający\n• obliczy pochodną funkcji f:\nx\nx\nx\nf\n4\n3\n)\n('\n2 -\nalbo\n• zapisze warunek\n(\n)\n0\n4\nf\nx\n′\nRozwiązanie, w którym jest istotny postęp 2 p.\nZdający obliczy pochodną funkcji f:\nx\nx\nx\nf\n4\n3\n)\n('\n2 -\ni zapisze warunek\n(\n)\n0\n4\nf\nx\n′\nPokonanie zasadniczych trudności zadania 3 p.\nZdający rozwiąże równanie\n2\n0\n0\n3\n4\n4\nx\nx\ni obliczy współrzędne obu punktów styczności:\n1\n2\n5\n,\n3\n27\nP\n\n\n\n\n\n\n,\n(\n)\n2\n2,1\nP =\nUwaga\nJeżeli zdający korzysta ze wzoru\n(\n)\n0\ny\nf\nx\nx\nb\n′\n, gdzie\n(\n)\n(\n)\n0\n0\n0\nb\nf x\nf\nx\nx\n′\n⋅\n, to obliczenie\nwspółczynnika b traktujemy jak obliczenie drugiej współrzędnej punktu styczności.\nRozwiązanie pełne 4 p.\nWyznaczenie równań stycznych:\n27\n67\n4 +\nx\ny\ni\n7\n4 -\nx\ny\nUwaga\nJeżeli zdający wyznaczy poprawnie współrzędne tylko jednego punktu styczności\ni w konsekwencji wyznaczy poprawnie równanie jednej stycznej, to otrzymuje 3 punkty.","solution":"$y=4x+\\dfrac{67}{27}$ oraz $y=4x-7$","image":"img/matematyka-2015-maj-matura-rozszerzona/zad-12.webp","solution_image":"img/matematyka-2015-maj-matura-rozszerzona/sol-12.svg","topics":"funkcje","page_from":12,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"zadaniazmatur","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2015 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"

Zadanie 12. (0-4)
Funkcja f określona jest wzorem
1
2
)
(
2
3
x
x
x
f
dla każdej liczby rzeczywistej x.
Wyznacz równania tych stycznych do wykresu funkcji
,f które są równoległe do prostej
o równaniu
4
y
x

\n

MMA_1R
Odpowiedź:
Wypełnia
egzaminator
Nr zadania
12.
Maks. liczba pkt
4
Uzyskana liczba pkt

\n

MMA_1R
Wyznacz równania prostych stycznych do okręgu o równaniu x^2 + y^2 + 4x - 6y - 3 = 0 i zarazem prostopadłych do prostej x + 2y - 6 = 0.

","answer_text_html":"

Zadanie 12. (0-4)
Funkcja f określona jest wzorem
1
2
)
(
2
3
x
x
x
f
dla każdej liczby rzeczywistej x.
Wyznacz równania tych stycznych do wykresu funkcji
,f które są równoległe do prostej
o równaniu
4
y
x
IV. Użycie i tworzenie
strategii.

\n
  1. Rachunek różniczkowy. Zdający korzysta z geometrycznej
\n

i fizycznej interpretacji pochodnej (R11.3).

\n
  1. Geometria na płaszczyźnie kartezjańskiej. Zdający
\n

wyznacza równania prostej, która jest równoległa lub
prostopadła do prostej danej w postaci kierunkowej
i przechodzi przez dany punkt (8.3).
Rozwiązanie
Aby styczne były równoległe do prostej o równaniu
x
y
4
, ich współczynnik kierunkowy
musi być równy 4. Obliczamy pochodną funkcji f:
x
x
x
f
4
3
)
('
2 -
Współczynnik kierunkowy stycznej jest równy wartości pierwszej pochodnej funkcji
w punkcie styczności. Stąd
(
)
0
4
f
x
′
. Wówczas
2
0
0
3
4
4
x
x
,
2
0
0
3
4
4
0
x
x
,
64
Δ =
,
0
2
3
x = -
lub
0
2
x =
Istnieją zatem dwie styczne do wykresu funkcji f równoległe do prostej o równaniu
4
y
x
w punktach
(
)
1
5
2
3
27
,
P = -
oraz
(
)
2
2,1
P =
. Styczne mają zatem równania postaci
(
)
5
2
27
3
4
y
x
oraz
(
)
1
4
2
y
x
, czyli
67
27
4
y
x
oraz
7
4 -
x
y
Odp. Równania prostych stycznych mają postać:
27
67
4 +
x
y
oraz
7
4 -
x
y
Schemat oceniania
Rozwiązanie, w którym postęp jest niewielki, ale konieczny na drodze do pełnego
rozwiązania zadania 1 p.
Zdający
• obliczy pochodną funkcji f:
x
x
x
f
4
3
)
('
2 -
albo
• zapisze warunek
(
)
0
4
f
x
′
Rozwiązanie, w którym jest istotny postęp 2 p.
Zdający obliczy pochodną funkcji f:
x
x
x
f
4
3
)
('
2 -
i zapisze warunek
(
)
0
4
f
x
′
Pokonanie zasadniczych trudności zadania 3 p.
Zdający rozwiąże równanie
2
0
0
3
4
4
x
x
i obliczy współrzędne obu punktów styczności:
1
2
5
,
3
27
P






,
(
)
2
2,1
P =
Uwaga
Jeżeli zdający korzysta ze wzoru
(
)
0
y
f
x
x
b
′
, gdzie
(
)
(
)
0
0
0
b
f x
f
x
x
′
⋅
, to obliczenie
współczynnika b traktujemy jak obliczenie drugiej współrzędnej punktu styczności.
Rozwiązanie pełne 4 p.
Wyznaczenie równań stycznych:
27
67
4 +
x
y
i
7
4 -
x
y
Uwaga
Jeżeli zdający wyznaczy poprawnie współrzędne tylko jednego punktu styczności
i w konsekwencji wyznaczy poprawnie równanie jednej stycznej, to otrzymuje 3 punkty.

","solutions":[{"source":"site","label":"matematykaszkolna.pl","kind":"image","image":"/img/matematyka-2015-maj-matura-rozszerzona/sol-12.svg"},{"source":"zadaniazmatur","label":"zadaniazmatur.pl","kind":"text","html":"

$y=4x+\\dfrac{67}{27}$ oraz $y=4x-7$

"}]}