{"id":"matematyka-2015-maj-matura-rozszerzona/zad/13","paper_id":"matematyka-2015-maj-matura-rozszerzona","number":"13","points":5,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2015,"month":"maj","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 13. (0-5)\nDany jest trójmian kwadratowy\n(\n)\n(\n)\n4\n2\n2\n1\n)\n(\n2\nm\nx\nm\nx\nm\nx\nf\n. Wyznacz wszystkie\nwartości parametru m, dla których trójmian f ma dwa różne pierwiastki rzeczywiste\n1x ,\n2x ,\nspełniające warunek\n2\n2\n4\n4\n1\n2\n1\n2\nx\nx\nx\nx\n\nMMA_1R\nOdpowiedź:\nWypełnia\negzaminator\nNr zadania\n13.\nMaks. liczba pkt\n5\nUzyskana liczba pkt\n\nMMA_1R\nWyznacz wszystkie wartości parametru m, dla których równanie (m^2-m)x^2-x+1 = 0 ma dwa różne rozwiązania rzeczywiste x_1, x_2 takie, że 1 / x_1 + x_2 <= m / 3 <= 1 / x_1 + 1 / x_2.","answer":null,"answer_text":"Zadanie 13. (0-5)\nDany jest trójmian kwadratowy\n(\n)\n(\n)\n4\n2\n2\n1\n)\n(\n2\nm\nx\nm\nx\nm\nx\nf\n. Wyznacz wszystkie\nwartości parametru m, dla których trójmian f ma dwa różne pierwiastki rzeczywiste\n1x ,\n2x ,\nspełniające warunek\n2\n2\n4\n4\n1\n2\n1\n2\nx\nx\nx\nx\nIII. Modelowanie\nmatematyczne.\n3. Równania i nierówności. Zdający stosuje wzory Viète’a\n(R3.1).\nRozwiązanie\nZ treści zadania wynika, że\n0\n1 ≠\nm\n, czyli\n1\nm ≠-.\nTrójmian f ma dwa różne pierwiastki rzeczywiste, gdy jego wyróżnik jest dodatni, czyli\n(\n)\n(\n)\n(\n)\n2\n2\n2\n4 (\n1)\n4\n0\nm\nm\nm\nΔ =\n-⋅\n⋅-\n>\n,\n0\n28\n8\n2\n>\nm\nm\n,\n(\n)\n0\n7\n2\n4\n>\nm\nm\nStąd\n(\n) (\n)\n7\n2\n,0\n,\nm∈-∞\n∪\n+∞.\n(\n)\n(\n)\n(\n)\n7\n2\n,\n1\n1, 0\n,\nD = -∞-\n∪-\n∪\n+ ∞ jest zbiorem wszystkich wartości parametru m, dla których\nfunkcja f jest trójmianem kwadratowym i ma dwa różne pierwiastki.\nWarunek\n4\n2\n4\n1\n2\n2\n2\n1\nx\nx\nx\nx\nmożemy zapisać w postaci równoważnej\n(\n)(\n)\n2\n2\n2\n1\n2\n2\n2\n1\n2\n2\n2\n1\nx\nx\nx\nx\nx\nx\n,\n(\n)(\n)\n(\n)\n(\n)\n0\n1\n2\n2\n2\n1\n2\n1\n2\n1\nx\nx\nx\nx\nx\nx\nStąd\n0\n2\n1\n-x\nx\nlub\n0\n2\n1\n+ x\nx\nlub\n(\n)\n0\n1\n2\n2\n2\n1\nx\nx\nRówność\n0\n2\n1\n-x\nx\nprzeczy założeniu\n1\n2\nx\nx\n≠\nZe wzoru Viète’a na sumę pierwiastków trójmianu kwadratowego możemy równanie\n0\n2\n1\n+ x\nx\nzapisać w postaci\n0\n1\n)\n2\n(\n2\nm\nm\n. Stąd\nD\nm\n∉\n= 2\nRównanie\n(\n)\n0\n1\n2\n2\n2\n1\nx\nx\nmożemy zapisać w postaci równoważnej\n(\n)\n2\n1\n2\n1\n2\n2\n1\nx\nx\nx x\nZe wzorów Viète’a otrzymujemy\n2\n2(\n2)\n4\n2\n1\n1\n1\nm\nm\nm\nm\n\n-⋅\n\n\n\n\n,\n(\n)\n(\n)\n2\n2\n4\n4\n4\n2\n8\n1\n0\n1\n1\nm\nm\nm\nm\nm\n,\n(\n)(\n) (\n)\n2\n2\n4\n16\n16\n2\n8\n1\n1\n0\nm\nm\nm\nm\nm\n,\n2\n5\n24\n7\n0\nm\nm\nRozwiązaniami tego równania są liczby\n1\n12\n109\n5\nm\nD\n∉\noraz\n2\n12\n109\n5\nm\nD\n∈\nIstnieje zatem jedna wartość parametru\n12\n109\n5\nm\n, dla której trójmian f ma dwa różne\npierwiastki rzeczywiste spełniające warunek\n4\n2\n4\n1\n2\n2\n2\n1\nx\nx\nx\nx\nSchemat oceniania\nRozwiązanie zadania składa się z trzech etapów.\nPierwszy z nich polega na rozwiązaniu nierówności\n0\n>\nΔ\n:\n(\n) (\n)\n7\n2\n,0\n,\nm∈-∞\n∪\n+∞.\nZa poprawne rozwiązanie tego etapu zdający otrzymuje 1 punkt.\nUwaga\nJeżeli zdający zapisze\n0\nΔ ≥\n, to za tę część otrzymuje 0 punktów.\nDrugi etap polega na rozwiązaniu równania\n4\n2\n4\n1\n2\n2\n2\n1\nx\nx\nx\nx\nZa tę część rozwiązania zdający otrzymuje 3 punkty.\nPodział punktów za drugi etap rozwiązania:\n1 punkt zdający otrzymuje za zapisanie równania w postaci:\n(\n)(\n)\n(\n)\n(\n)\n0\n1\n2\n2\n2\n1\n2\n1\n2\n1\nx\nx\nx\nx\nx\nx\nlub równoważnej.\n2 punkty zdający otrzymuje za:\nzapisanie równości\n0\n2\n1\n-x\nx\ni stwierdzenie, że przeczy ona założeniu\n1\n2\nx\nx\n≠\nalbo\nrozwiązanie równania\n0\n1\n)\n2\n(\n2\nm\nm\n:\n2\nm =\nalbo\nzapisanie równania\n(\n)\n0\n1\n2\n2\n2\n1\nx\nx\nw postaci, np.:\n2\n2(\n2)\n4\n2\n1\n1\n1\nm\nm\nm\nm\n\n-⋅\n\n\n\n\n3 punkty zdający otrzymuje za:\nrozwiązanie równania\n0\n1\n)\n2\n(\n2\nm\nm\n:\n2\nm =\noraz\nrozwiązanie równania\n2\n2(\n2)\n4\n2\n1\n1\n1\nm\nm\nm\nm\n\n-⋅\n\n\n\n\n:\n1\n12\n109\n5\nm\n,\n2\n12\n109\n5\nm\nTrzeci etap polega na wyznaczeniu szukanej wartości parametru m:\n12\n109\n5\nm\n. Za ten\netap zdający otrzymuje 1 punkt, o ile poprawnie wykona etapy I i II rozwiązania albo\npoprawnie wykona etap I i popełnia błędy w rozwiązaniu równania z etapu II, albo gdy\npopełnia błędy w etapie I i dobrze rozwiąże równanie z etapu II.\nUwagi:\n1. Akceptujemy rozwiązania, w których zdający nie zapisuje założenia\n0\n1 ≠\nm\n, które\nwynika ze sformułowania zadania.\n2. Zdający nie musi rozwiązywać nierówności\n0\n>\nΔ\n, o ile sprawdzi czy dla\n2\nm =\n,\n12\n109\n5\nm\n,\n12\n109\n5\nm\ntrójmian ma dwa różne pierwiastki rzeczywiste.\n3. Jeżeli zdający podzieli obie strony równania\n4\n2\n4\n1\n2\n2\n2\n1\nx\nx\nx\nx\nprzez\n2\n2\n1\n2\nx\nx\nbez\nstosownego założenia i rozwiąże równanie\n2\n2\n1\n2\n1\nx\nx\n, otrzymując\n12\n109\n5\nm\nlub\n12\n109\n5\nm\n, to otrzymuje co najwyżej 3 punkty za całe rozwiązanie, przy czym\n1 punkt może otrzymać za rozwiązanie nierówności\n0\n>\nΔ\n, 1 punkt za zapisanie\nrównania\n2\n2\n1\n2\n1\nx\nx\nw\npostaci\nrównania\nwymiernego\nz\njedną\nniewiadomą,\nnp.:\n2\n2(\n2)\n4\n2\n1\n1\n1\nm\nm\nm\nm\n\n-⋅\n\n\n\n\noraz 1 punkt za wyznaczenie tego rozwiązania\nrównania, które spełnia nierówność\n0\n>\nΔ\n4. Jeżeli\nzdający\nnie\nrozwiązywał\nnierówności\n0\n>\nΔ\n,\nale\nrozwiązał\nrównanie\n2\n2(\n2)\n4\n2\n1\n1\n1\nm\nm\nm\nm\n\n-⋅\n\n\n\n\ni sprawdził, dla której z otrzymanych wartości m trójmian ma\npierwiastki rzeczywiste, to otrzymuje 3 punkty.","solution":"$m=\\dfrac{12+\\sqrt{109}}{5}$","image":"img/matematyka-2015-maj-matura-rozszerzona/zad-13.webp","solution_image":"img/matematyka-2015-maj-matura-rozszerzona/sol-13.svg","topics":"parametr","page_from":14,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"zadaniazmatur","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2015 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"

Zadanie 13. (0-5)
Dany jest trójmian kwadratowy
(
)
(
)
4
2
2
1
)
(
2
m
x
m
x
m
x
f
. Wyznacz wszystkie
wartości parametru m, dla których trójmian f ma dwa różne pierwiastki rzeczywiste
1x ,
2x ,
spełniające warunek
2
2
4
4
1
2
1
2
x
x
x
x

\n

MMA_1R
Odpowiedź:
Wypełnia
egzaminator
Nr zadania
13.
Maks. liczba pkt
5
Uzyskana liczba pkt

\n

MMA_1R
Wyznacz wszystkie wartości parametru m, dla których równanie (m^2-m)x^2-x+1 = 0 ma dwa różne rozwiązania rzeczywiste x_1, x_2 takie, że 1 / x_1 + x_2 <= m / 3 <= 1 / x_1 + 1 / x_2.

","answer_text_html":"

Zadanie 13. (0-5)
Dany jest trójmian kwadratowy
(
)
(
)
4
2
2
1
)
(
2
m
x
m
x
m
x
f
. Wyznacz wszystkie
wartości parametru m, dla których trójmian f ma dwa różne pierwiastki rzeczywiste
1x ,
2x ,
spełniające warunek
2
2
4
4
1
2
1
2
x
x
x
x
III. Modelowanie
matematyczne.

\n
  1. Równania i nierówności. Zdający stosuje wzory Viète’a
\n

(R3.1).
Rozwiązanie
Z treści zadania wynika, że
0
1 ≠
m
, czyli
1
m ≠-.
Trójmian f ma dwa różne pierwiastki rzeczywiste, gdy jego wyróżnik jest dodatni, czyli
(
)
(
)
(
)
2
2
2
4 (
1)
4
0
m
m
m
Δ =
-⋅
⋅-

\n
\n

,
0
28
8
2

\n
\n

m
m
,
(
)
0
7
2
4

\n
\n

m
m
Stąd
(
) (
)
7
2
,0
,
m∈-∞
∪
+∞.
(
)
(
)
(
)
7
2
,
1
1, 0
,
D = -∞-
∪-
∪

\n\n

funkcja f jest trójmianem kwadratowym i ma dwa różne pierwiastki.
Warunek
4
2
4
1
2
2
2
1
x
x
x
x
możemy zapisać w postaci równoważnej
(
)(
)
2
2
2
1
2
2
2
1
2
2
2
1
x
x
x
x
x
x
,
(
)(
)
(
)
(
)
0
1
2
2
2
1
2
1
2
1
x
x
x
x
x
x
Stąd
0
2
1
-x
x
lub
0
2
1

\n\n

x
lub
(
)
0
1
2
2
2
1
x
x
Równość
0
2
1
-x
x
przeczy założeniu
1
2
x
x
≠
Ze wzoru Viète’a na sumę pierwiastków trójmianu kwadratowego możemy równanie
0
2
1

\n\n

x
zapisać w postaci
0
1
)
2
(
2
m
m
. Stąd
D
m
∉
= 2
Równanie
(
)
0
1
2
2
2
1
x
x
możemy zapisać w postaci równoważnej
(
)
2
1
2
1
2
2
1
x
x
x x
Ze wzorów Viète’a otrzymujemy
2
2(
2)
4
2
1
1
1
m
m
m
m

-⋅




,
(
)
(
)
2
2
4
4
4
2
8
1
0
1
1
m
m
m
m
m
,
(
)(
) (
)
2
2
4
16
16
2
8
1
1
0
m
m
m
m
m
,
2
5
24
7
0
m
m
Rozwiązaniami tego równania są liczby
1
12
109
5
m
D
∉
oraz
2
12
109
5
m
D
∈
Istnieje zatem jedna wartość parametru
12
109
5
m
, dla której trójmian f ma dwa różne
pierwiastki rzeczywiste spełniające warunek
4
2
4
1
2
2
2
1
x
x
x
x
Schemat oceniania
Rozwiązanie zadania składa się z trzech etapów.
Pierwszy z nich polega na rozwiązaniu nierówności
0

\n
\n

Δ
:
(
) (
)
7
2
,0
,
m∈-∞
∪
+∞.
Za poprawne rozwiązanie tego etapu zdający otrzymuje 1 punkt.
Uwaga
Jeżeli zdający zapisze
0
Δ ≥
, to za tę część otrzymuje 0 punktów.
Drugi etap polega na rozwiązaniu równania
4
2
4
1
2
2
2
1
x
x
x
x
Za tę część rozwiązania zdający otrzymuje 3 punkty.
Podział punktów za drugi etap rozwiązania:
1 punkt zdający otrzymuje za zapisanie równania w postaci:
(
)(
)
(
)
(
)
0
1
2
2
2
1
2
1
2
1
x
x
x
x
x
x
lub równoważnej.
2 punkty zdający otrzymuje za:
zapisanie równości
0
2
1
-x
x
i stwierdzenie, że przeczy ona założeniu
1
2
x
x
≠
albo
rozwiązanie równania
0
1
)
2
(
2
m
m
:
2
m =
albo
zapisanie równania
(
)
0
1
2
2
2
1
x
x
w postaci, np.:
2
2(
2)
4
2
1
1
1
m
m
m
m

-⋅




3 punkty zdający otrzymuje za:
rozwiązanie równania
0
1
)
2
(
2
m
m
:
2
m =
oraz
rozwiązanie równania
2
2(
2)
4
2
1
1
1
m
m
m
m

-⋅




:
1
12
109
5
m
,
2
12
109
5
m
Trzeci etap polega na wyznaczeniu szukanej wartości parametru m:
12
109
5
m
. Za ten
etap zdający otrzymuje 1 punkt, o ile poprawnie wykona etapy I i II rozwiązania albo
poprawnie wykona etap I i popełnia błędy w rozwiązaniu równania z etapu II, albo gdy
popełnia błędy w etapie I i dobrze rozwiąże równanie z etapu II.
Uwagi:

\n
  1. Akceptujemy rozwiązania, w których zdający nie zapisuje założenia
\n

0
1 ≠
m
, które
wynika ze sformułowania zadania.

\n
  1. Zdający nie musi rozwiązywać nierówności
\n

0

\n
\n

Δ
, o ile sprawdzi czy dla
2
m =
,
12
109
5
m
,
12
109
5
m
trójmian ma dwa różne pierwiastki rzeczywiste.

\n
  1. Jeżeli zdający podzieli obie strony równania
\n

4
2
4
1
2
2
2
1
x
x
x
x
przez
2
2
1
2
x
x
bez
stosownego założenia i rozwiąże równanie
2
2
1
2
1
x
x
, otrzymując
12
109
5
m
lub
12
109
5
m
, to otrzymuje co najwyżej 3 punkty za całe rozwiązanie, przy czym
1 punkt może otrzymać za rozwiązanie nierówności
0

\n
\n

Δ
, 1 punkt za zapisanie
równania
2
2
1
2
1
x
x
w
postaci
równania
wymiernego
z
jedną
niewiadomą,
np.:
2
2(
2)
4
2
1
1
1
m
m
m
m

-⋅




oraz 1 punkt za wyznaczenie tego rozwiązania
równania, które spełnia nierówność
0

\n
\n

Δ

\n
  1. Jeżeli
\n

zdający
nie
rozwiązywał
nierówności
0

\n
\n

Δ
,
ale
rozwiązał
równanie
2
2(
2)
4
2
1
1
1
m
m
m
m

-⋅




i sprawdził, dla której z otrzymanych wartości m trójmian ma
pierwiastki rzeczywiste, to otrzymuje 3 punkty.

","solutions":[{"source":"site","label":"matematykaszkolna.pl","kind":"image","image":"/img/matematyka-2015-maj-matura-rozszerzona/sol-13.svg"},{"source":"zadaniazmatur","label":"zadaniazmatur.pl","kind":"text","html":"

$m=\\dfrac{12+\\sqrt{109}}{5}$

"}]}