Zadanie 15. (0-6)
Suma wszystkich czterech współczynników wielomianu
c
bx
ax
x
x
W
2
3
)
(
jest
równa 0. Trzy pierwiastki tego wielomianu tworzą ciąg arytmetyczny o różnicy równej 3.
Oblicz współczynniki a , b i c . Rozważ wszystkie możliwe przypadki.
MMA_1R
Odpowiedź:
Wypełnia
egzaminator
Nr zadania
15.
Maks. liczba pkt
6
Uzyskana liczba pkt
MMA_1R
Dany jest wielomian W(x) = x^3 - 3mx^2 + (3m^2-1)x - 9m^2 + 20m + 4. Wykres tego wielomianu, po przesunięciu o wektor u = [-3,0], przechodzi przez początek układu współrzędnych. Wyznacz wszystkie pierwiastki wielomianu W.
Zadanie 15. (0-6)
Suma wszystkich czterech współczynników wielomianu
c
bx
ax
x
x
W
2
3
)
(
jest
równa 0. Trzy pierwiastki tego wielomianu tworzą ciąg arytmetyczny o różnicy równej 3.
Oblicz współczynniki a , b i c . Rozważ wszystkie możliwe przypadki.
IV. Użycie i tworzenie
strategii.
n początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego (5.3).
\niloczynu przy rozwiązywaniu równań typu (
)(
)
1
7
0
x x
x
(3.7).
Rozwiązanie (I sposób)
Suma współczynników wielomianu
c
bx
ax
x
x
W
2
3
)
(
jest równa
0
1
c
b
a
Niech p oznacza najmniejszy pierwiastek wielomianu W. Ponieważ pierwiastki wielomianu
tworzą ciąg arytmetyczny o różnicy 3, więc pozostałe dwa pierwiastki są równe
3
p
oraz
6
p
a)
Wielomian możemy więc zapisać w postaci iloczynowej
(
)(
)(
)
6
3
)
(
p
x
p
x
p
x
x
W
Stąd
(
)(
)
2
2
( )
3
3
6
W x
x
px
x
px
p
p
x
p
,
3
2
2
2
2
2
3
2
2
( )
6
6
6
3
3
18
W x
x
px
x
px
p x
px
p x
p
p
px
p
p
,
(
)
(
)
(
)
3
2
2
3
2
( )
3
9
3
18
18
9
18
W x
x
p
x
p
p
x
p
p
p
Porównujemy współczynniki wielomianu, otrzymując układ równań:
2
3
2
3
9
3
18
18
9
18
a
p
b
p
p
c
p
p
p
=
= -
b)
Możemy zapisać układ równań
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
3
2
3
2
3
2
0
3
3
3
0
6
6
6
0
p
ap
bp
c
p
a p
b p
c
p
a p
b p
c
Stąd po przekształceniach, otrzymujemy układ równań:
2
3
2
3
9
3
18
18
9
18
a
p
b
p
p
c
p
p
p
=
= -
c)
Korzystając ze wzorów Viète’a
1
2
3
1
2
1
3
2
3
1
2
3
x
x
x
a
x
x
x
x
x
x
b
x
x
x
c
⋅
⋅
⋅
⋅
⋅
, możemy zapisać układ
równań, otrzymując kolejno
(
)
(
) (
) (
)
(
) (
)
3
6
3
6
3
6
3
6
p
p
p
a
p
p
p
p
p
p
b
p
p
p
c
⋅
⋅
⋅
⋅
⋅
2
3
2
3
9
3
18
18
9
18
a
p
b
p
p
c
p
p
p
=
= -
Stąd i z równości 1
0
a
b
c
, otrzymujemy
(
) (
) (
)
2
3
2
3
9
3
18
18
9
18
1
0
p
p
p
p
p
p
,
3
2
6
3
10
0
p
p
p
Liczba 1 jest pierwiastkiem tego równania, więc z twierdzenia Bézouta wynika, że wielomian
3
2
6
3
10
p
p
p
jest podzielny przez dwumian
1
p -.
Wykonujemy dzielenie, stosując np. schemat Hornera.
1
6
3
-10
1
1
7
10
0
Równanie możemy więc zapisać w postaci (
)(
)
2
1
7
10
0
p
p
p
Pozostałe rozwiązania równania
3
2
6
3
10
0
p
p
p
to pierwiastki trójmianu
kwadratowego
2
7
10
p
p
, czyli liczby
5
p = -,
2
p = -.
Gdy
1
p = , to wtedy
12
a = -
,
39
b =
,
28
c = -
Gdy
5
p = -, to wtedy
6
a =
,
3
b =
,
10
c = -
Gdy
2
p = -, to wtedy
3
a = -,
6
b = -,
8
c =
Odpowiedź: Współczynniki a, b, c są równe:
28
39
12
c
b
a
lub
8
6
3
c
b
a
lub
10
3
6
c
b
a
Rozwiązanie (II sposób)
Z równości 1
0
a
b
c
otrzymujemy
1
c
a
b
-. Wielomian W możemy zapisać
w postaci
3
2
( )
1
W x
x
ax
bx
a
b
,
3
2
( )
1
W x
x
ax
a
bx
b
,
(
)(
)
(
)
(
)
2
2
( )
1
1
1
1
W x
x
x
x
a x
b x
,
(
)
(
)
(
)
2
( )
1
1
1
W x
x
x
a
x
a
b
Stąd wynika, że liczba
1
x = jest pierwiastkiem wielomianu W.
Dalszą część rozwiązania możemy przeprowadzić na dwa sposoby
a) Pierwiastki tego wielomianu tworzą ciąg arytmetyczny o różnicy równej 3, więc
mamy trzy takie ciągi (
)
1,4,7 , (
)
2,1,4
, (
)
5, 2,1
. Wielomian możemy wówczas zapisać
w postaci iloczynowej, odpowiednio:
( )
(
)(
)(
)
1
4
7
W x
x
x
x
,
( )
(
)(
)(
)
2
1
4
W x
x
x
x
,
( )
(
)(
)(
)
5
2
1
W x
x
x
x
Po doprowadzeniu do postaci uporządkowanej mamy
( )
3
2
12
39
28
W x
x
x
x
,
( )
3
2
3
6
8
W x
x
x
x
( )
3
2
6
3
10
W x
x
x
x
Wyznaczamy odpowiednio współczynniki wielomianu W:
(
12
a = -
,
39
b =
,
28
c = -
) lub (
3
a = -,
6
b = -,
8
c =
) lub (
6
a =
,
3
b =
,
10
c = -
).
b) Niech
1x i
2x oznaczają pierwiastki trójmianu
(
)
2
( )
1
1
T x
x
a
x
a
b
założyć, że
1
2
x
x
≤
. Pierwiastki wielomianu W tworzą ciąg arytmetyczny, więc z własności
ciągu arytmetycznego otrzymujemy np.:
(
1
4
x =
,
2
7
x =
) lub (
1
2
x = -,
2
4
x =
) lub (
1
5
x = -,
2
2
x = -)
Korzystając ze wzorów Viète’a, otrzymujemy trzy układy równań
(
)
4
7
1
4 7
1
a
a
b
⋅
lub
(
)
2
4
1
2 4
1
a
a
b
-⋅
lub
(
)
(
)
5
2
1
5
2
1
a
a
b
-⋅-
(
)
11
1
28
1
a
a
b
lub
(
)
2
1
8
1
a
a
b
-=
lub
(
)
7
1
10
1
a
a
b
12
39
a
b
=
lub
3
6
a
b
= -
lub
6
3
a
b
=
Obliczamy odpowiednio
1
c
a
b
-:
28
39
12
c
b
a
lub
8
6
3
c
b
a
lub
10
3
6
c
b
a
Rozwiązanie (III sposób)
Suma współczynników wielomianu
c
bx
ax
x
x
W
2
3
)
(
jest równa
0
1
c
b
a
Z równości 1
0
a
b
c
wynika, że liczba 1 jest pierwiastkiem wielomianu W.
Ponieważ pierwiastki wielomianu tworzą ciąg arytmetyczny o różnicy 3, to możemy zapisać
trzy ciągi arytmetyczne, których jednym z wyrazów jest liczba 1: (
)
1,4,7 , (
)
2,1,4
,
(
)
5, 2,1
Stąd wielomian W możemy więc zapisać w postaci:
( )
(
)(
)(
)
1
4
7
W x
x
x
x
lub
( )
(
)(
)(
)
2
1
4
W x
x
x
x
,
lub
( )
(
)(
)(
)
5
2
1
W x
x
x
x
Po doprowadzeniu do postaci uporządkowanej mamy
( )
3
2
12
39
28
W x
x
x
x
lub
( )
3
2
3
6
8
W x
x
x
x
( )
3
2
6
3
10
W x
x
x
x
Wyznaczamy współczynniki wielomianu W :
(
12
a = -
,
39
b =
,
28
c = -
) lub (
3
a = -,
6
b = -,
8
c =
), lub (
6
a =
,
3
b =
,
10
c = -
).
Schemat oceniania
Rozwiązanie, w którym postęp jest niewielki, ale konieczny na drodze do pełnego
rozwiązania 1 p.
Zdający
• zapisze wielomian W w postaci iloczynowej, np.:
(
)(
)(
)
( )
3
6
W x
x
p
x
p
x
p
,
gdzie p jest pierwiastkiem wielomianu
albo
• zapisze układ równań, gdzie p jest pierwiastkiem wielomianu
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
3
2
3
2
3
2
0
3
3
3
0
6
6
6
0
p
ap
bp
c
p
a p
b p
c
p
a p
b p
c
albo
• zapisze układ równań, korzystając ze wzorów Viète’a
(
)
(
) (
) (
)
(
) (
)
3
6
3
6
3
6
3
6
p
p
p
a
p
p
p
p
p
p
b
p
p
p
c
⋅
⋅
⋅
⋅
⋅
albo
• wyznaczy
1
c
a
b
(
)
(
)
3
2
( )
1
1
1
W x
x
a x
b x
Rozwiązanie, w którym jest istotny postęp 2 p.
Zdający zapisze
• układ równań:
2
3
2
3
9
3
18
18
9
18
a
p
b
p
p
c
p
p
p
=
= -
albo
• wielomian W w postaci iloczynu:
(
)
(
)
(
)
2
( )
1
1
1
W x
x
x
a
x
a
b
albo
• zapisze, że z równości 1
0
a
b
c
wynika, że liczba 1 jest pierwiastkiem
wielomianu W
albo
• zapisze układ czterech równań z 4 niewiadomymi, np.
(
)
(
) (
) (
)
(
) (
)
3
6
3
6
3
6
3
6
1
0
⋅
⋅
⋅
⋅
⋅
+
p
p
p
a
p
p
p
p
p
p
b
p
p
p
c
a
b
c
Pokonanie zasadniczych trudności 4 p.
Zdający
• wyznaczy wszystkie rozwiązania równania
3
2
6
3
10
0
p
p
p
:
5
,2
,1
albo
• zauważy, że liczba 1 jest pierwiastkiem wielomianu W i zapisze trzy ciągi
arytmetyczne o różnicy 3, których jednym z wyrazów jest liczba 1:
(
)
1,4,7 , (
)
2,1,4
, (
)
5, 2,1
albo
• zauważy, że liczba 1 jest pierwiastkiem wielomianu W i zapisze jeden ciąg
arytmetyczny o różnicy 3, w którym jednym z wyrazów jest liczba 1:
np.(
)
1,4,7 lub (
)
2,1,4
, lub(
)
5, 2,1
i dla tego ciągu obliczy współczynniki a, b, c
wielomianu, to otrzymuje 4 punkty.
Uwagi:
• Jeżeli zdający wyznaczy jeden z pierwiastków wielomianu W i wykorzystuje
informację, że pierwiastki wielomianu są kolejnymi wyrazami ciągu
arytmetycznego, to otrzymuje 3 punkty.
• Jeżeli zdający zapisze równanie z jedną niewiadomą, np.
3
2
6
3
10
0
p
p
p
,
to otrzymuje 3 punkty.
Rozwiązanie zadania do końca, lecz z usterkami, które jednak nie przekreślają lub
poprawności rozwiązania (np. błędy rachunkowe) 5 p.
Zdający
• rozwiąże zadanie do końca, popełniając błędy rachunkowe
albo
• zapisze, że z równości 1
0
a
b
c
wynika, że liczba 1 jest pierwiastkiem
wielomianu W , zapisze trzy ciągi arytmetyczne o różnicy 3, których jednym
z wyrazów jest liczba 1: (
)
1,4,7 , (
)
2,1,4
, (
)
5, 2,1
oraz zapisze, że
( )
(
)(
)(
)
1
4
7
W x
x
x
x
lub
( )
(
)(
)(
)
2
1
4
W x
x
x
x
,
lub
( )
(
)(
)(
)
5
2
1
W x
x
x
x
albo
• wyznaczy współczynniki a, b, c wielomianu tylko dla dwóch ciągów
Rozwiązanie pełne 6 p.
Zdający wyznaczy współczynniki wielomianu W: (
12
a = -
,
39
b =
,
28
c = -
) lub (
3
a = -,
6
b = -,
8
c =
), lub (
6
a =
,
3
b =
,
10
c = -
).
$a=-12, b=39, c=-28$ lub $a=-3, b=-6, c=8$ lub $a=6, b=3, c=-10$
"}]}