{"id":"matematyka-2015-maj-matura-rozszerzona/zad/8","paper_id":"matematyka-2015-maj-matura-rozszerzona","number":"8","points":3,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2015,"month":"maj","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 8. (0-3)\nUdowodnij, że dla każdej liczby rzeczywistej x prawdziwa jest nierówność\n4\n2\n2\n3\n0\nx\nx\nx\n>\n\nMMA_1R\nWypełnia\negzaminator\nNr zadania\n8.\nMaks. liczba pkt\n3\nUzyskana liczba pkt\n\nMMA_1R\nWykaż, że dla każdej dodatniej liczby rzeczywistej x różnej od 1 oraz dla każdej dodatniej liczby rzeczywistej y różnej od 1 prawdziwa jest równość log_x (xy) * log_y (y/x) = log_y (xy) * log_x (y/x).","answer":null,"answer_text":"Zadanie 8. (0-3)\nUdowodnij, że dla każdej liczby rzeczywistej x prawdziwa jest nierówność\n4\n2\n2\n3\n0\nx\nx\nx\n>\nV. Rozumowanie\ni argumentacja\n2. Wyrażenia algebraiczne. Zdający dodaje, odejmuje, mnoży\ni dzieli wyrażenia wymierne; rozszerza i (w łatwych\nprzykładach) skraca wyrażenia wymierne; używa wzory\nskróconego mnożenia na (\n)\n2\na\nb\n±\n,\n2\n2\na\nb\n. (R2.6, 2.1).\nRozwiązanie (I sposób)\nPrzekształćmy nierówność równoważnie w następujący sposób\n4\n2\n2\n2\n1\n2\n1 1\n0\nx\nx\nx\nx\n+ + >\n,\n(\n)\n(\n)\n2\n2\n2\n1\n1\n1\n0\nx\nx\n+ >\nLewa strona tej nierówności jest sumą trzech składników, z których dwa pierwsze są\nnieujemne, a trzeci dodatni, więc suma ta jest dodatnia dla każdej liczby rzeczywistej x.\nSchemat oceniania I sposobu rozwiązania\nZdający otrzymuje 1 p.\ngdy zapisze nierówność w postaci, z której lewą stronę łatwo można zapisać w postaci sumy\nskładników nieujemnych:\n4\n2\n2\n2\n1\n2\n1 1\n0\nx\nx\nx\nx\n+ + >\nZdający otrzymuje 2 p.\ngdy zapisze nierówność w postaci: (\n)\n(\n)\n2\n2\n2\n1\n1\n1\n0\nx\nx\n+ >\ni nie uzasadni prawdziwości tej\nnierówności.\nZdający otrzymuje 3 p.\ngdy przeprowadzi pełne rozumowanie.\nRozwiązanie (II sposób)\nPrzekształćmy nierówność równoważnie w następujący sposób\n4\n2\n2\n2 1\n0\nx\nx\nx\n+ >\n,\n(\n)\n(\n)\n2\n2\n1\n2\n1\n1\n0\nx\nx\nx\n+ >\n,\n(\n)(\n)\n(\n)\n2\n1\n1\n2\n1\n1\n0\nx\nx\nx\nx\n+ >\n,\n(\n)\n(\n)\n(\n)\n2\n1\n1\n2\n1\n0\nx\nx\nx\n+ >\n,\n(\n)(\n)\n3\n2\n1\n2\n1\n0\nx\nx\nx\n+ >\n,\n(\n)(\n)\n3\n2\n2\n1\n2\n2\n1\n0\nx\nx\nx\nx\n+ >\n,\n(\n)\n(\n)\n(\n)\n(\n)\n2\n2\n1\n1\n2\n1\n1\n0\nx\nx\nx\nx\n+ >\n(\n)\n(\n)\n(\n)(\n)\n(\n)\n2\n1\n1\n2\n1\n1\n1\n0\nx\nx\nx\nx\nx\n+ >\n,\n(\n)\n(\n)\n(\n)\n2\n2\n1\n2\n1\n1\n0\nx\nx\nx\n+ >\n,\n(\n) (\n)\n2\n2\n1\n2\n1 1\n1\n0\nx\nx\nx\n+ >\n,\n(\n) (\n)\n(\n)\n2\n2\n1\n1\n1\n1\n0\nx\nx\n+ >\nPonieważ (\n)\n2\n1\n0\nx -\n≥\noraz (\n)\n2\n1\n1\n0\nx +\n+ >\ndla każdej liczby rzeczywistej x, więc iloczyn\n(\n) (\n)\n(\n)\n2\n2\n1\n1\n1\nx\nx\njest nieujemny. Stąd wynika, że lewa strona nierówności jest dodatnia\ndla każdej liczby rzeczywistej x.\nSchemat oceniania II sposobu rozwiązania\nZdający otrzymuje 1 p.\ngdy zapisze nierówność w postaci:\n(\n)\n(\n)\n2\n2\n1\n2\n1\n1\n0\nx\nx\nx\n+ >\nZdający otrzymuje 2 p.\ngdy zapisze nierówność w postaci: (\n) (\n)\n2\n2\n1\n2\n2\n1\n0\nx\nx\nx\n+ >\ni nie uzasadni prawdziwości\ntej nierówności.\nZdający otrzymuje 3 p.\ngdy przeprowadzi pełne rozumowanie.\nRozwiązanie (III sposób)\nRozważmy wielomian\n( )\n4\n2\n2\n3\nf x\nx\nx\nx\nPochodna tego wielomianu jest równa\n( )\n3\n4\n2\n2\nf\nx\nx\nx\n′\ndla każdej liczby rzeczywistej x.\nPonieważ\n( )\n1\n4\n2\n2\n0\nf ′\n, więc wielomian f ′ jest podzielny przez dwumian\n1\nx -.\nWykorzystując schemat Hornera, otrzymujemy\n4\n0\n-2\n-2\n1\n4\n4\n2\n0\nZatem\n( )\n(\n)(\n)\n2\n1\n4\n4\n2\nf\nx\nx\nx\nx\n′\n. Wyróżnik trójmianu kwadratowego\n2\n4\n4\n2\nx\nx\njest\nrówny\n2\n4\n4 4 2\n0\nΔ =\n-⋅⋅\n<\n, współczynnik przy\n2x jest dodatni, więc\n2\n4\n4\n2\n0\nx\nx\n>\ndla każdej\nliczby rzeczywistej x. Wynika stąd, że\n( )\n0\nf\nx\n′\nwtedy i tylko wtedy, gdy\n1\nx = ,\n( )\n0\nf\nx\n′\n>\nwtedy i tylko wtedy, gdy\n1\nx > ,\n( )\n0\nf\nx\n′\n<\nwtedy i tylko wtedy, gdy\n1\nx < .\nTo oznacza, że w punkcie\n1\nx = wielomian f osiąga minimum lokalne, które jest jednocześnie\njego najmniejsza wartością, gdyż w przedziale (\n,1\n-∞\nwielomian f jest funkcją malejącą,\na w przedziale\n)\n1,+∞ rosnącą.\nPonieważ\n( )\n4\n2\n1\n1\n1\n2 1 3\n1\nf\n-⋅+\n= , więc\n( )\n( )\n1\n1\n0\nf x\nf\n≥\n= >\n, czyli\n4\n2\n2\n3\n0\nx\nx\nx\n>\ndla\nkażdej liczby rzeczywistej x. To kończy dowód.\nSchemat oceniania III sposobu rozwiązania\nZdający otrzymuje 1 p.\ngdy obliczy pochodną wielomianu\n( )\n4\n2\n2\n3\nf x\nx\nx\nx\n+ , zapisze, że liczba 1 jest\npierwiastkiem pochodnej:\n( )\n3\n4\n2\n2\nf\nx\nx\nx\n′\n,\n( )\n1\n4\n2\n2\n0\nf ′\nZdający otrzymuje 2 p.\ngdy zapisze pochodną w postaci :\n( )\n(\n)(\n)\n2\n1\n4\n4\n2\nf\nx\nx\nx\nx\n′\ni zbada znak pochodnej, ale nie\nprzeprowadzi rozumowania do końca lub przeprowadzi je z błędem.\nZdający otrzymuje 3 p.\ngdy przeprowadzi pełne rozumowanie.","solution":"Dowód w pełnym rozwiązaniu.","image":"img/matematyka-2015-maj-matura-rozszerzona/zad-8.webp","solution_image":"img/matematyka-2015-maj-matura-rozszerzona/sol-8.svg","topics":"algebra","page_from":6,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"zadaniazmatur","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2015 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"

Zadanie 8. (0-3)
Udowodnij, że dla każdej liczby rzeczywistej x prawdziwa jest nierówność
4
2
2
3
0
x
x
x

\n
\n

MMA_1R
Wypełnia
egzaminator
Nr zadania
8.
Maks. liczba pkt
3
Uzyskana liczba pkt

\n

MMA_1R
Wykaż, że dla każdej dodatniej liczby rzeczywistej x różnej od 1 oraz dla każdej dodatniej liczby rzeczywistej y różnej od 1 prawdziwa jest równość log_x (xy) * log_y (y/x) = log_y (xy) * log_x (y/x).

","answer_text_html":"

Zadanie 8. (0-3)
Udowodnij, że dla każdej liczby rzeczywistej x prawdziwa jest nierówność
4
2
2
3
0
x
x
x

\n
\n

V. Rozumowanie
i argumentacja

\n
  1. Wyrażenia algebraiczne. Zdający dodaje, odejmuje, mnoży
\n

i dzieli wyrażenia wymierne; rozszerza i (w łatwych
przykładach) skraca wyrażenia wymierne; używa wzory
skróconego mnożenia na (
)
2
a
b
±
,
2
2
a
b
. (R2.6, 2.1).
Rozwiązanie (I sposób)
Przekształćmy nierówność równoważnie w następujący sposób
4
2
2
2
1
2
1 1
0
x
x
x
x

\n\n

,
(
)
(
)
2
2
2
1
1
1
0
x
x

\n\n

Lewa strona tej nierówności jest sumą trzech składników, z których dwa pierwsze są
nieujemne, a trzeci dodatni, więc suma ta jest dodatnia dla każdej liczby rzeczywistej x.
Schemat oceniania I sposobu rozwiązania
Zdający otrzymuje 1 p.
gdy zapisze nierówność w postaci, z której lewą stronę łatwo można zapisać w postaci sumy
składników nieujemnych:
4
2
2
2
1
2
1 1
0
x
x
x
x

\n\n

Zdający otrzymuje 2 p.
gdy zapisze nierówność w postaci: (
)
(
)
2
2
2
1
1
1
0
x
x

\n\n

i nie uzasadni prawdziwości tej
nierówności.
Zdający otrzymuje 3 p.
gdy przeprowadzi pełne rozumowanie.
Rozwiązanie (II sposób)
Przekształćmy nierówność równoważnie w następujący sposób
4
2
2
2 1
0
x
x
x

\n\n

,
(
)
(
)
2
2
1
2
1
1
0
x
x
x

\n\n

,
(
)(
)
(
)
2
1
1
2
1
1
0
x
x
x
x

\n\n

,
(
)
(
)
(
)
2
1
1
2
1
0
x
x
x

\n\n

,
(
)(
)
3
2
1
2
1
0
x
x
x

\n\n

,
(
)(
)
3
2
2
1
2
2
1
0
x
x
x
x

\n\n

,
(
)
(
)
(
)
(
)
2
2
1
1
2
1
1
0
x
x
x
x

\n\n

(
)
(
)
(
)(
)
(
)
2
1
1
2
1
1
1
0
x
x
x
x
x

\n\n

,
(
)
(
)
(
)
2
2
1
2
1
1
0
x
x
x

\n\n

,
(
) (
)
2
2
1
2
1 1
1
0
x
x
x

\n\n

,
(
) (
)
(
)
2
2
1
1
1
1
0
x
x

\n\n

Ponieważ (
)
2
1
0
x -
≥
oraz (
)
2
1
1
0
x +

\n\n

dla każdej liczby rzeczywistej x, więc iloczyn
(
) (
)
(
)
2
2
1
1
1
x
x
jest nieujemny. Stąd wynika, że lewa strona nierówności jest dodatnia
dla każdej liczby rzeczywistej x.
Schemat oceniania II sposobu rozwiązania
Zdający otrzymuje 1 p.
gdy zapisze nierówność w postaci:
(
)
(
)
2
2
1
2
1
1
0
x
x
x

\n\n

Zdający otrzymuje 2 p.
gdy zapisze nierówność w postaci: (
) (
)
2
2
1
2
2
1
0
x
x
x

\n\n

i nie uzasadni prawdziwości
tej nierówności.
Zdający otrzymuje 3 p.
gdy przeprowadzi pełne rozumowanie.
Rozwiązanie (III sposób)
Rozważmy wielomian
( )
4
2
2
3
f x
x
x
x
Pochodna tego wielomianu jest równa
( )
3
4
2
2
f
x
x
x
′
dla każdej liczby rzeczywistej x.
Ponieważ
( )
1
4
2
2
0
f ′
, więc wielomian f ′ jest podzielny przez dwumian
1
x -.
Wykorzystując schemat Hornera, otrzymujemy
4
0
-2
-2
1
4
4
2
0
Zatem
( )
(
)(
)
2
1
4
4
2
f
x
x
x
x
′
. Wyróżnik trójmianu kwadratowego
2
4
4
2
x
x
jest
równy
2
4
4 4 2
0
Δ =
-⋅⋅
<
, współczynnik przy
2x jest dodatni, więc
2
4
4
2
0
x
x

\n
\n

dla każdej
liczby rzeczywistej x. Wynika stąd, że
( )
0
f
x
′
wtedy i tylko wtedy, gdy
1
x = ,
( )
0
f
x
′

\n
\n

wtedy i tylko wtedy, gdy
1
x > ,
( )
0
f
x
′
<
wtedy i tylko wtedy, gdy
1
x < .
To oznacza, że w punkcie
1
x = wielomian f osiąga minimum lokalne, które jest jednocześnie
jego najmniejsza wartością, gdyż w przedziale (
,1
-∞
wielomian f jest funkcją malejącą,
a w przedziale
)
1,+∞ rosnącą.
Ponieważ
( )
4
2
1
1
1
2 1 3
1
f
-⋅+
= , więc
( )
( )
1
1
0
f x
f
≥
= >
, czyli
4
2
2
3
0
x
x
x

\n
\n

dla
każdej liczby rzeczywistej x. To kończy dowód.
Schemat oceniania III sposobu rozwiązania
Zdający otrzymuje 1 p.
gdy obliczy pochodną wielomianu
( )
4
2
2
3
f x
x
x
x

\n\n

pierwiastkiem pochodnej:
( )
3
4
2
2
f
x
x
x
′
,
( )
1
4
2
2
0
f ′
Zdający otrzymuje 2 p.
gdy zapisze pochodną w postaci :
( )
(
)(
)
2
1
4
4
2
f
x
x
x
x
′
i zbada znak pochodnej, ale nie
przeprowadzi rozumowania do końca lub przeprowadzi je z błędem.
Zdający otrzymuje 3 p.
gdy przeprowadzi pełne rozumowanie.

","solutions":[{"source":"site","label":"matematykaszkolna.pl","kind":"image","image":"/img/matematyka-2015-maj-matura-rozszerzona/sol-8.svg"},{"source":"zadaniazmatur","label":"zadaniazmatur.pl","kind":"text","html":"

Dowód w pełnym rozwiązaniu.

"}]}