{"id":"matematyka-2015-maj-matura-rozszerzona/zad/9","paper_id":"matematyka-2015-maj-matura-rozszerzona","number":"9","points":3,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2015,"month":"maj","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 9. (0-3)\nDwusieczne czworokąta ABCD wpisanego w okrąg przecinają się w czterech różnych\npunktach: P, Q, R, S (zobacz rysunek).\nWykaż, że na czworokącie PQRS można opisać okrąg.\nP\nA\nB\nC\nD\nQ\nR\nS\n\nMMA_1R\nWypełnia\negzaminator\nNr zadania\n9.\nMaks. liczba pkt\n3\nUzyskana liczba pkt\n\nMMA_1R","answer":null,"answer_text":"Zadanie 9. (0-3)\nDwusieczne czworokąta ABCD wpisanego w okrąg przecinają się w czterech różnych\npunktach: P, Q, R, S (zobacz rysunek).\nWykaż, że na czworokącie PQRS można opisać okrąg.\nV. Rozumowanie\ni argumentacja.\n7. Planimetria. Zdający stosuje twierdzenia charakteryzujące\nczworokąty wpisane w okrąg i czworokąty opisane na okręgu\n(R7.1).\nRozwiązanie (I sposób)\nOznaczmy\nBAP\nPAD\nα\n\n\noraz\nCBP\nABP\nβ\n\n\nPonieważ czworokąt ABCD jest wpisany w okrąg, więc\n180\n2\n90\n2\nBCR\nα\nα\n°-\n°-\n\noraz\n180\n2\n90\n2\nADR\nβ\nβ\n°-\n°-\n\nZauważmy, że\n(\n)\n(\n)\n(\n)\n180\n180\n90\n90\nAQD\nDAQ\nADQ\nα\nβ\nα\nβ\n°-\n°-\n°-\n°-\n\n\n\noraz\n(\n)\n(\n)\n(\n)\n180\n180\n90\n90\nBSC\nBCR\nCBP\nα\nβ\nα\nβ\n°-\n°-\n°-\n°+\n\n\n\nZatem\n(\n) (\n)\n90\n90\n180\nPQR\nPSR\nα\nβ\nα\nβ\n°-\n°+\n°\n\n\nP\nA\nB\nC\nD\nQ\nR\nS\nα\nα\nβ β\nP\nA\nB\nC\nD\nQ\nR\nS\nSuma wszystkich kątów czworokąta jest równa 360°, więc suma pozostałych dwóch kątów\nczworokąta PQRS także jest równa 180°. To oznacza, że na czworokącie PQRS można opisać\nokrąg, co kończy dowód.\nSchemat oceniania I sposobu rozwiązania\nZdający otrzymuje 1 p.\ngdy przyjmie oznaczenia dwóch sąsiednich kątów wewnętrznych czworokąta ABCD (lub\noznaczy połowy tych kątów) np.:\nBAP\nPAD\nα\n\n\n,\nCBP\nABP\nβ\n\n\noraz zapisze\ndwa pozostałe kąty wewnętrzne tego czworokąta (lub ich połowy) w zależności od α i β :\n90\nBCR\nDCR\nα\n°-\n\n\n,\n90\nCDR\nADR\nβ\n°-\n\n\nZdający otrzymuje 2 p.\ngdy wyznaczy dwa przeciwległe kąty czworokąta PQRS w zależności od α i β :\n90\nAQD\nα\nβ\n° -\n\n,\n90\nBSC\nα\nβ\n° +\n\nZdający otrzymuje 3 p.\ngdy wykaże, że suma dwóch przeciwległych kątów wewnętrznych czworokąta PQRS jest\nrówna 180°.\nRozwiązanie (II sposób)\nOznaczmy\nBAP\nPAD\nα\n\n\noraz\nCBP\nABP\nβ\n\n\nPonieważ czworokąt ABCD jest wpisany w okrąg, więc\n180\n2\n90\n2\nBCR\nDCR\nα\nα\n°-\n°-\n\n\noraz\n180\n2\n90\n2\nCDR\nADR\nβ\nβ\n°-\n°-\n\n\nZauważmy, że\n(\n)\n(\n)\n180\n180\nSPQ\nAPB\nABP\nBAP\nα\nβ\n°-\n°-\n\n\n\n\noraz\n(\n)\n(\n) (\n)\n(\n)\n180\n180\n90\n90\nSRQ\nCRD\nDCR\nCDR\nα\nβ\nα\nβ\n°-\n°-\n°-\n°-\n\n\n\n\nZatem\n(\n)\n180\n180\nSPQ\nSRQ\nα\nβ\nα\nβ\n°-\n°\n\n\nSuma wszystkich kątów czworokąta jest równa 360°, więc suma pozostałych dwóch kątów\nczworokąta PQRS także jest równa 180°. To oznacza, że na czworokącie PQRS można opisać\nokrąg, co kończy dowód.\nP\nA\nB\nC\nD\nQ\nR\nα\nα\nβ β\nSchemat oceniania II sposobu rozwiązania\nZdający otrzymuje 1 p.\ngdy przyjmie oznaczenia dwóch sąsiednich kątów wewnętrznych czworokąta ABCD (lub\noznaczy połowy tych kątów) np.:\nBAP\nPAD\nα\n\n\n,\nCBP\nABP\nβ\n\n\noraz zapisze\ndwa pozostałe kąty wewnętrzne tego czworokąta (lub ich połowy) w zależności od α i β :\n90\nBCR\nDCR\nα\n°-\n\n\n,\n90\nCDR\nADR\nβ\n°-\n\n\nZdający otrzymuje 2 p.\ngdy wyznaczy dwa przeciwległe kąty czworokąta PQRS w zależności od α i β :\n(\n)\n180\nSPQ\nα\nβ\n°-\n\n,\nSRQ\nα\nβ\n\nZdający otrzymuje 3 p.\ngdy wykaże, że suma dwóch przeciwległych kątów wewnętrznych czworokąta PQRS jest\nrówna 180°.\nRozwiązanie (III sposób)\nOznaczmy:\nBAP\nDAP\nα\n\n\n,\nCBP\nABP\nβ\n\n\n,\nDCR\nBCR\nγ\n\n\n,\nADR\nCDR\nδ\n\n\nSuma kątów czworokąta ABCD jest równa\n2\n60\nα\nβ\nγ\nδ\n+ 2\n+ 2 + 2\n= 3\n°.\nStąd\n(1)\n180\nα\nβ\nγ\nδ\n°.\nZ bilansu kątów w trójkątach ADQ i BCS otrzymujemy\n(\n)\n180\nAQD\nα\nδ\n°-\n\noraz\n(\n)\n180\nBSC\nβ\nγ\n°-\n\nSuma przeciwległych kątów PQR i PSR czworokąta PQRS jest więc równa\n(\n)\n(\n)\n(\n)\n180\n180\n360\nPQR\nPSR\nα\nδ\nβ\nγ\nα\nβ\nγ\nδ\n° -\n° -\n° -\n\n\nStąd i z (1) otrzymujemy\n360\n180\n180\nPQR\nPSR\n°-\n° =\n°\n\n\nTo oznacza, że suma pozostałych dwóch kątów czworokąta PQRS także jest równa 180°.\nZatem na czworokącie PQRS można opisać okrąg. To kończy dowód.\nP\nA\nB\nC\nD\nQ\nR\nS\nα\nα\nβ β\nγ γ\nδ δ\nRozwiązanie (IV sposób)\nOznaczmy:\nBAP\nDAP\nα\n\n\n,\nCBP\nABP\nβ\n\n\n,\nDCR\nBCR\nγ\n\n\n,\nADR\nCDR\nδ\n\n\nSuma kątów czworokąta ABCD jest równa\n2\n60\nα\nβ\nγ\nδ\n+ 2\n+ 2 + 2\n= 3\n°.\nStąd\n(1)\n180\nα\nβ\nγ\nδ\n°.\nZ bilansu kątów w trójkątach ABP i CDR otrzymujemy\n(\n)\n180\nBPA\nα\nβ\n° -\n\noraz\n(\n)\n180\nCRD\nγ\nδ\n° -\n\nKąty BPA i SPQ są wierzchołkowe, podobnie jak kąty CRD i SRQ. Zatem\n(\n)\n180\nSPQ\nα\nβ\n°-\n\noraz\n(\n)\n180\nSRQ\nγ\nδ\n°-\n\nSuma przeciwległych kątów SPQ i SRQ czworokąta PQRS jest więc równa\n(\n)\n(\n)\n(\n)\n180\n180\n360\nSPQ\nSRQ\nα\nβ\nγ\nδ\nα\nβ\nγ\nδ\n°-\n°-\n°-\n\n\nStąd i z (1) otrzymujemy\n360\n180\n180\nSPQ\nSRQ\n°-\n° =\n°\n\n\nTo oznacza, że suma pozostałych dwóch kątów czworokąta PQRS także jest równa 180°.\nZatem na czworokącie PQRS można opisać okrąg. To kończy dowód.\nSchemat oceniania III i IV sposobu rozwiązania\nZdający otrzymuje 1 p.\ngdy przyjmie oznaczenia kątów wewnętrznych czworokąta ABCD (lub oznaczy połowy tych kątów), np.:\nBAP\nDAP\nα\n\n\n,\nCBP\nABP\nβ\n\n\n,\nDCR\nBCR\nγ\n\n\n,\nADR\nCDR\nδ\n\n\ni zapisze:\n• że ich suma jest równa 360°: 2\n60\nα\nβ\nγ\nδ\n+ 2\n+ 2 + 2\n= 3\n°\nalbo\n• wyznaczy dwa przeciwległe kąty PQR i PSR czworokąta PQRS w zależności od\nα , β ,γ i δ :\n(\n)\n180\nPQR\nα\nδ\n°-\n\n,\n(\n)\n180\nPSR\nβ\nγ\n° -\n\nalbo\n• wyznaczy dwa przeciwległe kąty SPQ i SRQ czworokąta PQRS w zależności od\nα , β ,γ i δ :\n(\n)\n180\nSPQ\nα\nβ\n°-\n\n,\n(\n)\n180\nSRQ\nγ\nδ\n°-\n\nZdający otrzymuje 2 p.\ngdy zapisze, że 2\n60\nα\nβ\nγ\nδ\n+ 2\n+ 2 + 2\n= 3\n° oraz\n• wyznaczy dwa przeciwległe kąty PQR i PSR czworokąta PQRS w zależności od\nα , β ,γ i δ :\n(\n)\n180\nPQR\nα\nδ\n°-\n\n,\n(\n)\n180\nPSR\nβ\nγ\n° -\n\nP\nA\nB\nC\nD\nQ\nR\nS\nα\nα\nβ β\nγ γ\nδ δ\nalbo\n• wyznaczy dwa przeciwległe kąty SPQ i SRQ czworokąta PQRS w zależności od\nα , β ,γ i δ :\n(\n)\n180\nSPQ\nα\nβ\n°-\n\n,\n(\n)\n180\nSRQ\nγ\nδ\n°-\n\nZdający otrzymuje 3 p.\ngdy wykaże, że suma dwóch przeciwległych kątów wewnętrznych czworokąta PQRS jest\nrówna 180°.","solution":"Dowód w pełnym rozwiązaniu.","image":"img/matematyka-2015-maj-matura-rozszerzona/zad-9.webp","solution_image":null,"topics":"dowody_geometryczne","page_from":8,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"zadaniazmatur","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2015 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"

Zadanie 9. (0-3)
Dwusieczne czworokąta ABCD wpisanego w okrąg przecinają się w czterech różnych
punktach: P, Q, R, S (zobacz rysunek).
Wykaż, że na czworokącie PQRS można opisać okrąg.
P
A
B
C
D
Q
R
S

\n

MMA_1R
Wypełnia
egzaminator
Nr zadania
9.
Maks. liczba pkt
3
Uzyskana liczba pkt

\n

MMA_1R

","answer_text_html":"

Zadanie 9. (0-3)
Dwusieczne czworokąta ABCD wpisanego w okrąg przecinają się w czterech różnych
punktach: P, Q, R, S (zobacz rysunek).
Wykaż, że na czworokącie PQRS można opisać okrąg.
V. Rozumowanie
i argumentacja.

\n
  1. Planimetria. Zdający stosuje twierdzenia charakteryzujące
\n

czworokąty wpisane w okrąg i czworokąty opisane na okręgu
(R7.1).
Rozwiązanie (I sposób)
Oznaczmy
BAP
PAD
α


oraz
CBP
ABP
β


Ponieważ czworokąt ABCD jest wpisany w okrąg, więc
180
2
90
2
BCR
α
α
°-
°-

oraz
180
2
90
2
ADR
β
β
°-
°-

Zauważmy, że
(
)
(
)
(
)
180
180
90
90
AQD
DAQ
ADQ
α
β
α
β
°-
°-
°-
°-



oraz
(
)
(
)
(
)
180
180
90
90
BSC
BCR
CBP
α
β
α
β
°-
°-
°-
°+



Zatem
(
) (
)
90
90
180
PQR
PSR
α
β
α
β
°-
°+
°


P
A
B
C
D
Q
R
S
α
α
β β
P
A
B
C
D
Q
R
S
Suma wszystkich kątów czworokąta jest równa 360°, więc suma pozostałych dwóch kątów
czworokąta PQRS także jest równa 180°. To oznacza, że na czworokącie PQRS można opisać
okrąg, co kończy dowód.
Schemat oceniania I sposobu rozwiązania
Zdający otrzymuje 1 p.
gdy przyjmie oznaczenia dwóch sąsiednich kątów wewnętrznych czworokąta ABCD (lub
oznaczy połowy tych kątów) np.:
BAP
PAD
α


,
CBP
ABP
β


oraz zapisze
dwa pozostałe kąty wewnętrzne tego czworokąta (lub ich połowy) w zależności od α i β :
90
BCR
DCR
α
°-


,
90
CDR
ADR
β
°-


Zdający otrzymuje 2 p.
gdy wyznaczy dwa przeciwległe kąty czworokąta PQRS w zależności od α i β :
90
AQD
α
β
° -

,
90
BSC
α
β
° +

Zdający otrzymuje 3 p.
gdy wykaże, że suma dwóch przeciwległych kątów wewnętrznych czworokąta PQRS jest
równa 180°.
Rozwiązanie (II sposób)
Oznaczmy
BAP
PAD
α


oraz
CBP
ABP
β


Ponieważ czworokąt ABCD jest wpisany w okrąg, więc
180
2
90
2
BCR
DCR
α
α
°-
°-


oraz
180
2
90
2
CDR
ADR
β
β
°-
°-


Zauważmy, że
(
)
(
)
180
180
SPQ
APB
ABP
BAP
α
β
°-
°-




oraz
(
)
(
) (
)
(
)
180
180
90
90
SRQ
CRD
DCR
CDR
α
β
α
β
°-
°-
°-
°-




Zatem
(
)
180
180
SPQ
SRQ
α
β
α
β
°-
°


Suma wszystkich kątów czworokąta jest równa 360°, więc suma pozostałych dwóch kątów
czworokąta PQRS także jest równa 180°. To oznacza, że na czworokącie PQRS można opisać
okrąg, co kończy dowód.
P
A
B
C
D
Q
R
α
α
β β
Schemat oceniania II sposobu rozwiązania
Zdający otrzymuje 1 p.
gdy przyjmie oznaczenia dwóch sąsiednich kątów wewnętrznych czworokąta ABCD (lub
oznaczy połowy tych kątów) np.:
BAP
PAD
α


,
CBP
ABP
β


oraz zapisze
dwa pozostałe kąty wewnętrzne tego czworokąta (lub ich połowy) w zależności od α i β :
90
BCR
DCR
α
°-


,
90
CDR
ADR
β
°-


Zdający otrzymuje 2 p.
gdy wyznaczy dwa przeciwległe kąty czworokąta PQRS w zależności od α i β :
(
)
180
SPQ
α
β
°-

,
SRQ
α
β

Zdający otrzymuje 3 p.
gdy wykaże, że suma dwóch przeciwległych kątów wewnętrznych czworokąta PQRS jest
równa 180°.
Rozwiązanie (III sposób)
Oznaczmy:
BAP
DAP
α


,
CBP
ABP
β


,
DCR
BCR
γ


,
ADR
CDR
δ


Suma kątów czworokąta ABCD jest równa
2
60
α
β
γ
δ

\n\n

= 3
°.
Stąd
(1)
180
α
β
γ
δ
°.
Z bilansu kątów w trójkątach ADQ i BCS otrzymujemy
(
)
180
AQD
α
δ
°-

oraz
(
)
180
BSC
β
γ
°-

Suma przeciwległych kątów PQR i PSR czworokąta PQRS jest więc równa
(
)
(
)
(
)
180
180
360
PQR
PSR
α
δ
β
γ
α
β
γ
δ
° -
° -
° -


Stąd i z (1) otrzymujemy
360
180
180
PQR
PSR
°-
° =
°


To oznacza, że suma pozostałych dwóch kątów czworokąta PQRS także jest równa 180°.
Zatem na czworokącie PQRS można opisać okrąg. To kończy dowód.
P
A
B
C
D
Q
R
S
α
α
β β
γ γ
δ δ
Rozwiązanie (IV sposób)
Oznaczmy:
BAP
DAP
α


,
CBP
ABP
β


,
DCR
BCR
γ


,
ADR
CDR
δ


Suma kątów czworokąta ABCD jest równa
2
60
α
β
γ
δ

\n\n

= 3
°.
Stąd
(1)
180
α
β
γ
δ
°.
Z bilansu kątów w trójkątach ABP i CDR otrzymujemy
(
)
180
BPA
α
β
° -

oraz
(
)
180
CRD
γ
δ
° -

Kąty BPA i SPQ są wierzchołkowe, podobnie jak kąty CRD i SRQ. Zatem
(
)
180
SPQ
α
β
°-

oraz
(
)
180
SRQ
γ
δ
°-

Suma przeciwległych kątów SPQ i SRQ czworokąta PQRS jest więc równa
(
)
(
)
(
)
180
180
360
SPQ
SRQ
α
β
γ
δ
α
β
γ
δ
°-
°-
°-


Stąd i z (1) otrzymujemy
360
180
180
SPQ
SRQ
°-
° =
°


To oznacza, że suma pozostałych dwóch kątów czworokąta PQRS także jest równa 180°.
Zatem na czworokącie PQRS można opisać okrąg. To kończy dowód.
Schemat oceniania III i IV sposobu rozwiązania
Zdający otrzymuje 1 p.
gdy przyjmie oznaczenia kątów wewnętrznych czworokąta ABCD (lub oznaczy połowy tych kątów), np.:
BAP
DAP
α


,
CBP
ABP
β


,
DCR
BCR
γ


,
ADR
CDR
δ


i zapisze:
• że ich suma jest równa 360°: 2
60
α
β
γ
δ

\n\n

= 3
°
albo
• wyznaczy dwa przeciwległe kąty PQR i PSR czworokąta PQRS w zależności od
α , β ,γ i δ :
(
)
180
PQR
α
δ
°-

,
(
)
180
PSR
β
γ
° -

albo
• wyznaczy dwa przeciwległe kąty SPQ i SRQ czworokąta PQRS w zależności od
α , β ,γ i δ :
(
)
180
SPQ
α
β
°-

,
(
)
180
SRQ
γ
δ
°-

Zdający otrzymuje 2 p.
gdy zapisze, że 2
60
α
β
γ
δ

\n\n

= 3
° oraz
• wyznaczy dwa przeciwległe kąty PQR i PSR czworokąta PQRS w zależności od
α , β ,γ i δ :
(
)
180
PQR
α
δ
°-

,
(
)
180
PSR
β
γ
° -

P
A
B
C
D
Q
R
S
α
α
β β
γ γ
δ δ
albo
• wyznaczy dwa przeciwległe kąty SPQ i SRQ czworokąta PQRS w zależności od
α , β ,γ i δ :
(
)
180
SPQ
α
β
°-

,
(
)
180
SRQ
γ
δ
°-

Zdający otrzymuje 3 p.
gdy wykaże, że suma dwóch przeciwległych kątów wewnętrznych czworokąta PQRS jest
równa 180°.

","solutions":[{"source":"zadaniazmatur","label":"zadaniazmatur.pl","kind":"text","html":"

Dowód w pełnym rozwiązaniu.

"}]}