{"id":"matematyka-2015-maj-matura-stara-podstawowa/zad/10","paper_id":"matematyka-2015-maj-matura-stara-podstawowa","number":"10","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2015,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 10. (1 pkt)\nNa rysunku przedstawiono fragment prostej o równaniu\ny\nax\nb .\nWspółczynnik kierunkowy tej prostej jest równy\nA.\n3\n2\na = -\nB.\n2\n3\na = -\nC.\n2\n5\na = -\nD.\n3\n5\na = -","answer":"B","answer_text":"Zadanie 10. (0-1)\nI. Wykorzystanie\ni tworzenie informacji.\n4. Funkcje. Zdający wykorzystuje\ninterpretację współczynników we wzorze\nfunkcji liniowej (4.g).\nWersja\nI\nWersja\nII\nB\nC","solution":"## Poprawna odpowiedź: A. \\(-4\\)\n\nFunkcja \\(f(x) = x^2 + 4x\\) ma najmniejszą wartość równą \\(-4\\).\n\n## Sposób 1 - Wyznaczenie wierzchołka paraboli\n\nMamy funkcję kwadratową \\(f(x) = x^2 + 4x\\), gdzie \\(a = 1\\), \\(b = 4\\), \\(c = 0\\).\n\nPonieważ \\(a = 1 > 0\\), parabola jest skierowana **ramionami w górę** - wierzchołek to **minimum** funkcji.\n\n**Krok 1:** Wyznaczamy odciętą wierzchołka:\n\\[p = -\\frac{b}{2a} = -\\frac{4}{2 \\cdot 1} = -2\\]\n\n**Krok 2:** Wyznaczamy rzędną wierzchołka (czyli najmniejszą wartość):\n\\[q = -\\frac{\\Delta}{4a}\\]\n\nNajpierw wyróżnik:\n\\[\\Delta = b^2 - 4ac = 4^2 - 4 \\cdot 1 \\cdot 0 = 16\\]\n\nZatem:\n\\[q = -\\frac{16}{4 \\cdot 1} = -4\\]\n\n**Najmniejsza wartość funkcji to \\(\\boldsymbol{-4}\\), przyjmowana dla \\(x = -2\\).**\n\n## Sposób 2 - Uzupełnienie do pełnego kwadratu (postać kanoniczna)\n\nPrzekształcamy \\(f(x) = x^2 + 4x\\) do postaci kanonicznej:\n\n\\[f(x) = x^2 + 4x = (x^2 + 4x + 4) - 4 = (x+2)^2 - 4\\]\n\nPonieważ \\((x+2)^2 \\geq 0\\) dla wszystkich \\(x \\in \\mathbb{R}\\), mamy:\n\\[f(x) = (x+2)^2 - 4 \\geq 0 - 4 = -4\\]\n\nRówność zachodzi, gdy \\((x+2)^2 = 0\\), czyli dla \\(x = -2\\).\n\n**Zatem minimum funkcji wynosi \\(\\boldsymbol{-4}\\).**\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 7 (Funkcja kwadratowa, s. 7-9)**\n\nWierzchołek paraboli \\(W = (p, q)\\):\n\\[p = -\\frac{b}{2a}, \\qquad q = -\\frac{\\Delta}{4a}, \\qquad \\Delta = b^2 - 4ac\\]\nUżyliśmy w Sposobie 1 do wyznaczenia rzędnej wierzchołka.\n\nPostać kanoniczna:\n\\[f(x) = a(x - p)^2 + q\\]\nUżyliśmy w Sposobie 2 - uzupełnienie do kwadratu to po prostu ręczne wyznaczenie postaci kanonicznej.\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Typowy błąd |\n| **B. \\(-2\\)** | Uczeń oblicza tylko \\(p = -\\frac{b}{2a} = -2\\) i myśli, że to jest **wartość** minimum - a to tylko **argument** (x-owa współrzędna wierzchołka) |\n| **C. 0** | Uczeń podstawia \\(x = 0\\): \\(f(0) = 0 + 0 = 0\\), ale to tylko wartość w punkcie \\(x=0\\), nie minimum funkcji |\n| **D. 4** | Uczeń liczy \\(\\Delta = 16\\) i podaje \\(\\Delta\\) jako odpowiedź, albo myli znak: zamiast \\(-\\frac{\\Delta}{4a}\\) wpisuje \\(\\frac{\\Delta}{4a} = 4\\) |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Odciętą wierzchołka \\(p = -2\\) łatwo pomylić z rzędną wierzchołka \\(q = -4\\). Pamiętaj: \\(p\\) to **argument** (dla jakiego \\(x\\)), a \\(q\\) to **wartość** (ile wynosi \\(f(x)\\)). Pytanie dotyczy **wartości**, więc szukamy \\(q\\).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Sprawdź znak współczynnika \\(a\\)! Gdy \\(a > 0\\) - parabola ma **minimum**. Gdy \\(a < 0\\) - parabola ma **maksimum**. Tu \\(a = 1 > 0\\), więc mówimy o minimum.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** W uzupełnieniu do kwadratu uważaj na znak: \\(x^2 + 4x = (x+2)^2 - 4\\), a **nie** \\((x+2)^2 + 4\\). Dodane \\(+4\\) trzeba od razu odjąć, żeby wyrażenie się nie zmieniło.\n\n**Poprawna odpowiedź: C**\n\n**Rozwiązanie:**\n\nProsta \\(k\\) jest równoległa do \\(y = -3x\\), więc ma ten sam współczynnik kierunkowy \\(a = -3\\).\nPrzechodzi przez \\((0, 6)\\), więc \\(b = 6\\).\n\nRównanie prostej \\(k\\): \\(y = -3x + 6\\)\n\nPunkt przecięcia z osią \\(Ox\\) (\\(y = 0\\)):\n\\(0 = -3x + 6\\)\n\\(3x = 6\\)\n\\(x = 2\\)\n\nPunkt: \\((2, 0)\\)\n\n**Użyte wzory z karty CKE:** Proste równoległe: \\(a_1 = a_2\\); równanie kierunkowe prostej \\(y = ax + b\\)\n\n**Dlaczego inne błędne:**\n- A. \\((-12, 0)\\) - \\(y = -3(-12) + 6 = 42 \\neq 0\\)\n- B. \\((-2, 0)\\) - \\(y = -3(-2) + 6 = 12 \\neq 0\\)\n- D. \\((6, 0)\\) - \\(y = -3(6) + 6 = -12 \\neq 0\\)","image":"img/matematyka-2015-maj-matura-stara-podstawowa/zad-10.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":4,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2015 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"<p>Zadanie 10. (1 pkt)<br>Na rysunku przedstawiono fragment prostej o równaniu<br>y<br>ax<br>b .<br>Współczynnik kierunkowy tej prostej jest równy<br>A.<br>3<br>2<br>a = -<br>B.<br>2<br>3<br>a = -<br>C.<br>2<br>5<br>a = -<br>D.<br>3<br>5<br>a = -</p>","answer_text_html":"<p>Zadanie 10. (0-1)<br>I. Wykorzystanie<br>i tworzenie informacji.</p>\n<ol><li>Funkcje. Zdający wykorzystuje</li></ol>\n<p>interpretację współczynników we wzorze<br>funkcji liniowej (4.g).<br>Wersja<br>I<br>Wersja<br>II<br>B<br>C</p>","solutions":[{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"<h4>Poprawna odpowiedź: A. \\(-4\\)</h4>\n<p>Funkcja \\(f(x) = x^2 + 4x\\) ma najmniejszą wartość równą \\(-4\\).</p>\n<h4>Sposób 1 - Wyznaczenie wierzchołka paraboli</h4>\n<p>Mamy funkcję kwadratową \\(f(x) = x^2 + 4x\\), gdzie \\(a = 1\\), \\(b = 4\\), \\(c = 0\\).</p>\n<p>Ponieważ \\(a = 1 &gt; 0\\), parabola jest skierowana <strong>ramionami w górę</strong> - wierzchołek to <strong>minimum</strong> funkcji.</p>\n<p><strong>Krok 1:</strong> Wyznaczamy odciętą wierzchołka:<br>\\[p = -\\frac{b}{2a} = -\\frac{4}{2 \\cdot 1} = -2\\]</p>\n<p><strong>Krok 2:</strong> Wyznaczamy rzędną wierzchołka (czyli najmniejszą wartość):<br>\\[q = -\\frac{\\Delta}{4a}\\]</p>\n<p>Najpierw wyróżnik:<br>\\[\\Delta = b^2 - 4ac = 4^2 - 4 \\cdot 1 \\cdot 0 = 16\\]</p>\n<p>Zatem:<br>\\[q = -\\frac{16}{4 \\cdot 1} = -4\\]</p>\n<p><strong>Najmniejsza wartość funkcji to \\(\\boldsymbol{-4}\\), przyjmowana dla \\(x = -2\\).</strong></p>\n<h4>Sposób 2 - Uzupełnienie do pełnego kwadratu (postać kanoniczna)</h4>\n<p>Przekształcamy \\(f(x) = x^2 + 4x\\) do postaci kanonicznej:</p>\n<p>\\[f(x) = x^2 + 4x = (x^2 + 4x + 4) - 4 = (x+2)^2 - 4\\]</p>\n<p>Ponieważ \\((x+2)^2 \\geq 0\\) dla wszystkich \\(x \\in \\mathbb{R}\\), mamy:<br>\\[f(x) = (x+2)^2 - 4 \\geq 0 - 4 = -4\\]</p>\n<p>Równość zachodzi, gdy \\((x+2)^2 = 0\\), czyli dla \\(x = -2\\).</p>\n<p><strong>Zatem minimum funkcji wynosi \\(\\boldsymbol{-4}\\).</strong></p>\n<h4>Wzory z karty CKE</h4>\n<p><strong>Dział 7 (Funkcja kwadratowa, s. 7-9)</strong></p>\n<p>Wierzchołek paraboli \\(W = (p, q)\\):<br>\\[p = -\\frac{b}{2a}, \\qquad q = -\\frac{\\Delta}{4a}, \\qquad \\Delta = b^2 - 4ac\\]<br>Użyliśmy w Sposobie 1 do wyznaczenia rzędnej wierzchołka.</p>\n<p>Postać kanoniczna:<br>\\[f(x) = a(x - p)^2 + q\\]<br>Użyliśmy w Sposobie 2 - uzupełnienie do kwadratu to po prostu ręczne wyznaczenie postaci kanonicznej.</p>\n<h4>Dlaczego inne odpowiedzi są błędne</h4>\n<p>| Odp. | Typowy błąd |<br>| <strong>B. \\(-2\\)</strong> | Uczeń oblicza tylko \\(p = -\\frac{b}{2a} = -2\\) i myśli, że to jest <strong>wartość</strong> minimum - a to tylko <strong>argument</strong> (x-owa współrzędna wierzchołka) |<br>| <strong>C. 0</strong> | Uczeń podstawia \\(x = 0\\): \\(f(0) = 0 + 0 = 0\\), ale to tylko wartość w punkcie \\(x=0\\), nie minimum funkcji |<br>| <strong>D. 4</strong> | Uczeń liczy \\(\\Delta = 16\\) i podaje \\(\\Delta\\) jako odpowiedź, albo myli znak: zamiast \\(-\\frac{\\Delta}{4a}\\) wpisuje \\(\\frac{\\Delta}{4a} = 4\\) |</p>\n<h4>Typowe pułapki i uwagi</h4>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Odciętą wierzchołka \\(p = -2\\) łatwo pomylić z rzędną wierzchołka \\(q = -4\\). Pamiętaj: \\(p\\) to <strong>argument</strong> (dla jakiego \\(x\\)), a \\(q\\) to <strong>wartość</strong> (ile wynosi \\(f(x)\\)). Pytanie dotyczy <strong>wartości</strong>, więc szukamy \\(q\\).</blockquote>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Sprawdź znak współczynnika \\(a\\)! Gdy \\(a &gt; 0\\) - parabola ma <strong>minimum</strong>. Gdy \\(a &lt; 0\\) - parabola ma <strong>maksimum</strong>. Tu \\(a = 1 &gt; 0\\), więc mówimy o minimum.</blockquote>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> W uzupełnieniu do kwadratu uważaj na znak: \\(x^2 + 4x = (x+2)^2 - 4\\), a <strong>nie</strong> \\((x+2)^2 + 4\\). Dodane \\(+4\\) trzeba od razu odjąć, żeby wyrażenie się nie zmieniło.</blockquote>\n<p><strong>Poprawna odpowiedź: C</strong></p>\n<p><strong>Rozwiązanie:</strong></p>\n<p>Prosta \\(k\\) jest równoległa do \\(y = -3x\\), więc ma ten sam współczynnik kierunkowy \\(a = -3\\).<br>Przechodzi przez \\((0, 6)\\), więc \\(b = 6\\).</p>\n<p>Równanie prostej \\(k\\): \\(y = -3x + 6\\)</p>\n<p>Punkt przecięcia z osią \\(Ox\\) (\\(y = 0\\)):<br>\\(0 = -3x + 6\\)<br>\\(3x = 6\\)<br>\\(x = 2\\)</p>\n<p>Punkt: \\((2, 0)\\)</p>\n<p><strong>Użyte wzory z karty CKE:</strong> Proste równoległe: \\(a_1 = a_2\\); równanie kierunkowe prostej \\(y = ax + b\\)</p>\n<p><strong>Dlaczego inne błędne:</strong></p>\n<ul><li>A. \\((-12, 0)\\) - \\(y = -3(-12) + 6 = 42 \\neq 0\\)</li><li>B. \\((-2, 0)\\) - \\(y = -3(-2) + 6 = 12 \\neq 0\\)</li><li>D. \\((6, 0)\\) - \\(y = -3(6) + 6 = -12 \\neq 0\\)</li></ul>"}]}