{"id":"matematyka-2015-maj-matura-stara-podstawowa/zad/11","paper_id":"matematyka-2015-maj-matura-stara-podstawowa","number":"11","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2015,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 11. (1 pkt)\nW ciągu arytmetycznym (\n)\nn\na\nokreślonym dla\n1\n≥\nn\ndane są\n4\n1\na\ni\n.2\nr\nKtórym\nwyrazem tego ciągu jest liczba\n?\n156\nA. 81.\nB. 80.\nC. 76.\nD. 77.","answer":"A","answer_text":"Zadanie 11. (0-1)\nIII. Modelowanie\nmatematyczne.\n5. Ciągi liczbowe. Zdający stosuje wzór na\nn-ty wyraz i sumę n początkowych wyrazów\nciągu arytmetycznego i ciągu geometrycznego\n(5.c).\nWersja\nI\nWersja\nII\nA\nC","solution":"## Poprawna odpowiedź: B\n\n\\[g(x) = 2x - 2\\]\n\n## Sposób 1 - Odczytanie \\(f\\) z wykresu + symetria względem osi \\(OX\\)\n\n**Krok 1: Odczytaj wzór funkcji \\(f\\) z wykresu.**\n\nZ rysunku widzimy, że prosta przechodzi przez punkty \\((0, 2)\\) i \\((1, 0)\\).\n\nObliczamy współczynnik kierunkowy:\n\\[a = \\frac{0 - 2}{1 - 0} = -2\\]\n\nWyraz wolny odczytujemy bezpośrednio: \\(b = 2\\).\n\nZatem:\n\\[f(x) = -2x + 2\\]\n\n**Krok 2: Wyznacz wzór funkcji \\(g\\).**\n\nSymetria wykresu względem poziomej osi \\(OX\\) (prostej \\(y = 0\\)) polega na zastąpieniu każdej wartości \\(y\\) przez \\(-y\\):\n\n\\[g(x) = -f(x)\\]\n\nObliczamy:\n\\[g(x) = -(-2x + 2) = 2x - 2\\]\n\n**Wynik: \\(\\boxed{g(x) = 2x - 2}\\)**\n\n## Sposób 2 - Przez punkty charakterystyczne\n\nOdbicie względem osi \\(OX\\) to przekształcenie: każdy punkt \\((x, y)\\) przechodzi w \\((x, -y)\\).\n\nZ wykresu \\(f\\) odczytujemy dwa charakterystyczne punkty:\n- \\((0,\\, 2)\\) - punkt na osi \\(OY\\)\n- \\((1,\\, 0)\\) - miejsce zerowe\n\nPo odbiciu względem \\(OX\\):\n- \\((0, 2) \\;\\longrightarrow\\; (0, -2)\\)\n- \\((1, 0) \\;\\longrightarrow\\; (1, 0)\\) (punkt na osi \\(OX\\) nie zmienia się!)\n\nTeraz wyznaczamy prostą przechodzącą przez \\((0, -2)\\) i \\((1, 0)\\):\n\\[a = \\frac{0 - (-2)}{1 - 0} = 2, \\qquad b = -2\\]\n\n\\[g(x) = 2x - 2 \\checkmark\\]\n\nWynik zgodny z metodą 1.\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 11 (Geometria analityczna, s. 22-25)** - równanie kierunkowe prostej:\n\\[y = ax + b, \\quad \\text{gdzie } a = \\operatorname{tg}\\alpha\\]\n\nUżyliśmy tego do wyznaczenia wzoru \\(f\\) z dwóch punktów oraz do zapisu \\(g\\).\n\nW tym zadaniu nie używamy innych wzorów z karty - wystarczy odczyt z wykresu i znajomość symetrii względem osi.\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Typowy błąd |\n| **A** \\(g = -2x - 2\\) | Uczeń myśli, że symetria względem \\(OX\\) zamienia tylko wyraz wolny na \\(-b\\), a nie cały wzór. Zamiast \\(-f(x)\\) pisze tylko \\(f(x)\\) z negowanym \\(b\\). |\n| **C** \\(g = -2x + 2\\) | Uczeń w ogóle nie zmienia \\(f\\) - przepisuje dokładnie wzór \\(f\\). Mylą symetrię z tożsamością. |\n| **D** \\(g = 2x + 2\\) | Uczeń neguje tylko współczynnik kierunkowy (zmienia \\(a\\) na \\(-a\\)), zamiast nenegować cały wzór. Wynik to \\(-(-2)x + 2\\) bez zmiany znaku wyrazu wolnego - błąd w rozwinięciu \\(-f(x)\\). |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Symetria względem osi \\(OX\\) to \\(g(x) = -f(x)\\) - negujemy **cały** wzór, łącznie z wyrazem wolnym. Błąd: negowanie tylko jednego członu.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Nie myl symetrii względem osi \\(OX\\) z symetrią względem osi \\(OY\\). Odbicie względem \\(OY\\) to \\(g(x) = f(-x)\\), a nie \\(g(x) = -f(x)\\).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Miejsce zerowe (punkt na osi \\(OX\\)) przy symetrii względem \\(OX\\) **nie zmienia się** - to dobry punkt kontrolny. Jeśli \\(f(1) = 0\\), to \\(g(1)\\) też powinno być \\(0\\). Sprawdź: \\(g(1) = 2(1) - 2 = 0\\) ✓\n\n**Poprawna odpowiedź: D**\n\n**Rozwiązanie:**\n\nRozkładamy równanie na czynniki:\n\\(x^2(x+5)(2x-3)(x^2-7) = 0\\)\n\nKażdy czynnik przyrównujemy do zera:\n1. \\(x^2 = 0 \\Rightarrow x = 0\\) - wymierne\n2. \\(x + 5 = 0 \\Rightarrow x = -5\\) - wymierne\n3. \\(2x - 3 = 0 \\Rightarrow x = \\frac{3}{2}\\) - wymierne\n4. \\(x^2 - 7 = 0 \\Rightarrow x = \\sqrt{7}\\) lub \\(x = -\\sqrt{7}\\) - **niewymierne**\n\nLiczba rozwiązań niewymiernych: **2** (\\(\\sqrt{7}\\) i \\(-\\sqrt{7}\\))\n\n**Użyte wzory z karty CKE:** Wzory skróconego mnożenia: \\(a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)\\)\n\n**Dlaczego inne błędne:**\n- A. 0 - są dwa rozwiązania niewymierne: \\(\\pm\\sqrt{7}\\)\n- B. 1 - są dwa, nie jedno\n- C. 5 - łączna liczba rozwiązań to 5, ale niewymiernych jest tylko 2","image":"img/matematyka-2015-maj-matura-stara-podstawowa/zad-11.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":4,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2015 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"

Zadanie 11. (1 pkt)
W ciągu arytmetycznym (
)
n
a
określonym dla
1
≥
n
dane są
4
1
a
i
.2
r
Którym
wyrazem tego ciągu jest liczba
?
156
A. 81.
B. 80.
C. 76.
D. 77.

","answer_text_html":"

Zadanie 11. (0-1)
III. Modelowanie
matematyczne.

\n
  1. Ciągi liczbowe. Zdający stosuje wzór na
\n

n-ty wyraz i sumę n początkowych wyrazów
ciągu arytmetycznego i ciągu geometrycznego
(5.c).
Wersja
I
Wersja
II
A
C

","solutions":[{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"

Poprawna odpowiedź: B

\n

\\[g(x) = 2x - 2\\]

\n

Sposób 1 - Odczytanie \\(f\\) z wykresu + symetria względem osi \\(OX\\)

\n

Krok 1: Odczytaj wzór funkcji \\(f\\) z wykresu.

\n

Z rysunku widzimy, że prosta przechodzi przez punkty \\((0, 2)\\) i \\((1, 0)\\).

\n

Obliczamy współczynnik kierunkowy:
\\[a = \\frac{0 - 2}{1 - 0} = -2\\]

\n

Wyraz wolny odczytujemy bezpośrednio: \\(b = 2\\).

\n

Zatem:
\\[f(x) = -2x + 2\\]

\n

Krok 2: Wyznacz wzór funkcji \\(g\\).

\n

Symetria wykresu względem poziomej osi \\(OX\\) (prostej \\(y = 0\\)) polega na zastąpieniu każdej wartości \\(y\\) przez \\(-y\\):

\n

\\[g(x) = -f(x)\\]

\n

Obliczamy:
\\[g(x) = -(-2x + 2) = 2x - 2\\]

\n

Wynik: \\(\\boxed{g(x) = 2x - 2}\\)

\n

Sposób 2 - Przez punkty charakterystyczne

\n

Odbicie względem osi \\(OX\\) to przekształcenie: każdy punkt \\((x, y)\\) przechodzi w \\((x, -y)\\).

\n

Z wykresu \\(f\\) odczytujemy dwa charakterystyczne punkty:

\n\n

Po odbiciu względem \\(OX\\):

\n\n

Teraz wyznaczamy prostą przechodzącą przez \\((0, -2)\\) i \\((1, 0)\\):
\\[a = \\frac{0 - (-2)}{1 - 0} = 2, \\qquad b = -2\\]

\n

\\[g(x) = 2x - 2 \\checkmark\\]

\n

Wynik zgodny z metodą 1.

\n

Wzory z karty CKE

\n

Dział 11 (Geometria analityczna, s. 22-25) - równanie kierunkowe prostej:
\\[y = ax + b, \\quad \\text{gdzie } a = \\operatorname{tg}\\alpha\\]

\n

Użyliśmy tego do wyznaczenia wzoru \\(f\\) z dwóch punktów oraz do zapisu \\(g\\).

\n

W tym zadaniu nie używamy innych wzorów z karty - wystarczy odczyt z wykresu i znajomość symetrii względem osi.

\n

Dlaczego inne odpowiedzi są błędne

\n

| Odp. | Typowy błąd |
| A \\(g = -2x - 2\\) | Uczeń myśli, że symetria względem \\(OX\\) zamienia tylko wyraz wolny na \\(-b\\), a nie cały wzór. Zamiast \\(-f(x)\\) pisze tylko \\(f(x)\\) z negowanym \\(b\\). |
| C \\(g = -2x + 2\\) | Uczeń w ogóle nie zmienia \\(f\\) - przepisuje dokładnie wzór \\(f\\). Mylą symetrię z tożsamością. |
| D \\(g = 2x + 2\\) | Uczeń neguje tylko współczynnik kierunkowy (zmienia \\(a\\) na \\(-a\\)), zamiast nenegować cały wzór. Wynik to \\(-(-2)x + 2\\) bez zmiany znaku wyrazu wolnego - błąd w rozwinięciu \\(-f(x)\\). |

\n

Typowe pułapki i uwagi

\n
⚠️ Uwaga: Symetria względem osi \\(OX\\) to \\(g(x) = -f(x)\\) - negujemy cały wzór, łącznie z wyrazem wolnym. Błąd: negowanie tylko jednego członu.
\n
⚠️ Uwaga: Nie myl symetrii względem osi \\(OX\\) z symetrią względem osi \\(OY\\). Odbicie względem \\(OY\\) to \\(g(x) = f(-x)\\), a nie \\(g(x) = -f(x)\\).
\n
⚠️ Uwaga: Miejsce zerowe (punkt na osi \\(OX\\)) przy symetrii względem \\(OX\\) nie zmienia się - to dobry punkt kontrolny. Jeśli \\(f(1) = 0\\), to \\(g(1)\\) też powinno być \\(0\\). Sprawdź: \\(g(1) = 2(1) - 2 = 0\\) ✓
\n

Poprawna odpowiedź: D

\n

Rozwiązanie:

\n

Rozkładamy równanie na czynniki:
\\(x^2(x+5)(2x-3)(x^2-7) = 0\\)

\n

Każdy czynnik przyrównujemy do zera:

\n
  1. \\(x^2 = 0 \\Rightarrow x = 0\\) - wymierne
  2. \\(x + 5 = 0 \\Rightarrow x = -5\\) - wymierne
  3. \\(2x - 3 = 0 \\Rightarrow x = \\frac{3}{2}\\) - wymierne
  4. \\(x^2 - 7 = 0 \\Rightarrow x = \\sqrt{7}\\) lub \\(x = -\\sqrt{7}\\) - niewymierne
\n

Liczba rozwiązań niewymiernych: 2 (\\(\\sqrt{7}\\) i \\(-\\sqrt{7}\\))

\n

Użyte wzory z karty CKE: Wzory skróconego mnożenia: \\(a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)\\)

\n

Dlaczego inne błędne:

\n"}]}