{"id":"matematyka-2015-maj-matura-stara-podstawowa/zad/12","paper_id":"matematyka-2015-maj-matura-stara-podstawowa","number":"12","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2015,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 12. (1 pkt)\nW rosnącym ciągu geometrycznym (\n)\nn\na\n, określonym dla\n1\n≥\nn\n, spełniony jest warunek\n4\n1\n3\na\na\n. Iloraz q tego ciągu jest równy\nA.\n1\n3\nq =\nB.\n3\n1\n3\nq =\nC.\n3 3\nq =\nD.\n3\nq =\ny\n1\n2\n3\n4\n5\n6\n-1\n8\n7\n6\n0\n-1\n1\n2\n3\n4\n5\n7\n8\n9\n10\nx\nP = (2, 5)\nQ = (5, 3)\n\nPoziom podstawowy\nMMA_1P\nBRUDNOPIS (nie podlega ocenie)\n\nPoziom podstawowy\nMMA_1P","answer":"C","answer_text":"Zadanie 12. (0-1)\nIII. Modelowanie\nmatematyczne.\n5. Ciągi liczbowe. Zdający stosuje wzór na\nn-ty wyraz i sumę n początkowych wyrazów\nciągu arytmetycznego i ciągu geometrycznego\n(5.c).\nWersja\nI\nWersja\nII\nC\nD","solution":"## Poprawna odpowiedź: C (10 000)\n\n## Sposób 1 - Wzór na sumę ciągu arytmetycznego\n\n**Identyfikujemy parametry ciągu:**\n\nWzór ogólny: \\(a_n = 2n - 1\\)\n\n- Pierwszy wyraz: \\(a_1 = 2 \\cdot 1 - 1 = 1\\)\n- Setny wyraz: \\(a_{100} = 2 \\cdot 100 - 1 = 199\\)\n- Różnica: \\(r = 2\\) (bo \\(a_{n+1} - a_n = 2(n+1)-1-(2n-1) = 2\\))\n\n**Stosujemy wzór na sumę \\(n\\) wyrazów:**\n\\[S_n = \\frac{a_1 + a_n}{2} \\cdot n\\]\n\n\\[S_{100} = \\frac{a_1 + a_{100}}{2} \\cdot 100 = \\frac{1 + 199}{2} \\cdot 100 = \\frac{200}{2} \\cdot 100 = 100 \\cdot 100\\]\n\n\\[\\boxed{S_{100} = 10\\ 000}\\]\n\n## Sposób 2 - Bezpośrednie podstawienie do wzoru z różnicą\n\nZamiast wyznaczać \\(a_{100}\\), używamy postaci z różnicą \\(r\\):\n\n\\[S_n = \\frac{2a_1 + (n-1)r}{2} \\cdot n\\]\n\n\\[S_{100} = \\frac{2 \\cdot 1 + 99 \\cdot 2}{2} \\cdot 100 = \\frac{2 + 198}{2} \\cdot 100 = \\frac{200}{2} \\cdot 100 = 10\\ 000\\]\n\n**Wynik identyczny - odpowiedź C.**\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 8 (Ciągi, s. 9-10)** - wzór na sumę ciągu arytmetycznego:\n\n\\[S_n = \\frac{a_1 + a_n}{2} \\cdot n = \\frac{2a_1 + (n-1)r}{2} \\cdot n\\]\n\nUżyliśmy obu postaci - w Sposobie 1 i Sposobie 2. Na karcie znajdziesz też wzór na wyraz ogólny \\(a_n = a_1 + (n-1)r\\), którym wyznaczyliśmy \\(a_{100} = 199\\).\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Błąd | Skąd się bierze |\n| A - 9900 | Użycie \\(n = 99\\) zamiast \\(n = 100\\) | \\(\\frac{1+199}{2} \\cdot 99 = 9900\\) - pomylono \"100 wyrazów\" z \"do setnego wyrazu wyłącznie\" |\n| B - 9950 | Wzięcie \\(a_{100} = 199\\), ale zapomnienie o \\(a_1\\) | \\(\\frac{199 \\cdot 100}{2} = 9950\\) - jakby zsumowano wyrazy od 0 do 99 zamiast od 1 do 100 |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Najczęstszy błąd to pomylenie liczby wyrazów z indeksem ostatniego. \"100 wyrazów\" oznacza \\(n = 100\\) we wzorze - zawsze sprawdź, czy twoje \\(n\\) i \\(a_n\\) są spójne.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Ciąg \\(a_n = 2n - 1\\) to ciąg nieparzystych liczb naturalnych. Suma \\(n\\) pierwszych liczb nieparzystych wynosi zawsze \\(n^2\\) - zatem \\(S_{100} = 100^2 = 10\\ 000\\). Warto zapamiętać ten fakt jako szybką weryfikację!\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Przed użyciem wzoru zawsze wyznacz \\(a_1\\) i \\(a_{100}\\) z podanego wzoru ogólnego - nie zakładaj, że \\(a_1 = 1\\) bez sprawdzenia.\n\n**Poprawna odpowiedź: B**\n\n**Rozwiązanie:**\n\nZ opisu wykresu: funkcja ma minimum w okolicy \\(x = 1\\) i rośnie od \\(x = 1\\) do około \\(x = 5\\).\n\nFunkcja jest rosnąca w przedziale \\((1, 5)\\).\n\n**Użyte wzory z karty CKE:** Definicja funkcji rosnącej - odczyt z wykresu\n\n**Dlaczego inne błędne:**\n- A. \\((-1, 1)\\) - w tym przedziale funkcja maleje (zbliża się do minimum)\n- C. \\((5, 6)\\) - w tym przedziale funkcja zaczyna maleć\n- D. \\((6, 8)\\) - w tym przedziale funkcja maleje","image":"img/matematyka-2015-maj-matura-stara-podstawowa/zad-12.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":4,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2015 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"

Zadanie 12. (1 pkt)
W rosnącym ciągu geometrycznym (
)
n
a
, określonym dla
1
≥
n
, spełniony jest warunek
4
1
3
a
a
. Iloraz q tego ciągu jest równy
A.
1
3
q =
B.
3
1
3
q =
C.
3 3
q =
D.
3
q =
y
1
2
3
4
5
6
-1
8
7
6
0
-1
1
2
3
4
5
7
8
9
10
x
P = (2, 5)
Q = (5, 3)

\n

Poziom podstawowy
MMA_1P
BRUDNOPIS (nie podlega ocenie)

\n

Poziom podstawowy
MMA_1P

","answer_text_html":"

Zadanie 12. (0-1)
III. Modelowanie
matematyczne.

\n
  1. Ciągi liczbowe. Zdający stosuje wzór na
\n

n-ty wyraz i sumę n początkowych wyrazów
ciągu arytmetycznego i ciągu geometrycznego
(5.c).
Wersja
I
Wersja
II
C
D

","solutions":[{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"

Poprawna odpowiedź: C (10 000)

\n

Sposób 1 - Wzór na sumę ciągu arytmetycznego

\n

Identyfikujemy parametry ciągu:

\n

Wzór ogólny: \\(a_n = 2n - 1\\)

\n\n

Stosujemy wzór na sumę \\(n\\) wyrazów:
\\[S_n = \\frac{a_1 + a_n}{2} \\cdot n\\]

\n

\\[S_{100} = \\frac{a_1 + a_{100}}{2} \\cdot 100 = \\frac{1 + 199}{2} \\cdot 100 = \\frac{200}{2} \\cdot 100 = 100 \\cdot 100\\]

\n

\\[\\boxed{S_{100} = 10\\ 000}\\]

\n

Sposób 2 - Bezpośrednie podstawienie do wzoru z różnicą

\n

Zamiast wyznaczać \\(a_{100}\\), używamy postaci z różnicą \\(r\\):

\n

\\[S_n = \\frac{2a_1 + (n-1)r}{2} \\cdot n\\]

\n

\\[S_{100} = \\frac{2 \\cdot 1 + 99 \\cdot 2}{2} \\cdot 100 = \\frac{2 + 198}{2} \\cdot 100 = \\frac{200}{2} \\cdot 100 = 10\\ 000\\]

\n

Wynik identyczny - odpowiedź C.

\n

Wzory z karty CKE

\n

Dział 8 (Ciągi, s. 9-10) - wzór na sumę ciągu arytmetycznego:

\n

\\[S_n = \\frac{a_1 + a_n}{2} \\cdot n = \\frac{2a_1 + (n-1)r}{2} \\cdot n\\]

\n

Użyliśmy obu postaci - w Sposobie 1 i Sposobie 2. Na karcie znajdziesz też wzór na wyraz ogólny \\(a_n = a_1 + (n-1)r\\), którym wyznaczyliśmy \\(a_{100} = 199\\).

\n

Dlaczego inne odpowiedzi są błędne

\n

| Odp. | Błąd | Skąd się bierze |
| A - 9900 | Użycie \\(n = 99\\) zamiast \\(n = 100\\) | \\(\\frac{1+199}{2} \\cdot 99 = 9900\\) - pomylono "100 wyrazów" z "do setnego wyrazu wyłącznie" |
| B - 9950 | Wzięcie \\(a_{100} = 199\\), ale zapomnienie o \\(a_1\\) | \\(\\frac{199 \\cdot 100}{2} = 9950\\) - jakby zsumowano wyrazy od 0 do 99 zamiast od 1 do 100 |

\n

Typowe pułapki i uwagi

\n
⚠️ Uwaga: Najczęstszy błąd to pomylenie liczby wyrazów z indeksem ostatniego. "100 wyrazów" oznacza \\(n = 100\\) we wzorze - zawsze sprawdź, czy twoje \\(n\\) i \\(a_n\\) są spójne.
\n
⚠️ Uwaga: Ciąg \\(a_n = 2n - 1\\) to ciąg nieparzystych liczb naturalnych. Suma \\(n\\) pierwszych liczb nieparzystych wynosi zawsze \\(n^2\\) - zatem \\(S_{100} = 100^2 = 10\\ 000\\). Warto zapamiętać ten fakt jako szybką weryfikację!
\n
⚠️ Uwaga: Przed użyciem wzoru zawsze wyznacz \\(a_1\\) i \\(a_{100}\\) z podanego wzoru ogólnego - nie zakładaj, że \\(a_1 = 1\\) bez sprawdzenia.
\n

Poprawna odpowiedź: B

\n

Rozwiązanie:

\n

Z opisu wykresu: funkcja ma minimum w okolicy \\(x = 1\\) i rośnie od \\(x = 1\\) do około \\(x = 5\\).

\n

Funkcja jest rosnąca w przedziale \\((1, 5)\\).

\n

Użyte wzory z karty CKE: Definicja funkcji rosnącej - odczyt z wykresu

\n

Dlaczego inne błędne:

\n"}]}