{"id":"matematyka-2015-maj-matura-stara-podstawowa/zad/14","paper_id":"matematyka-2015-maj-matura-stara-podstawowa","number":"14","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2015,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 14. (1 pkt)\nKąt α jest ostry i\n2\nsin\n5\nα =\n. Wówczas\nα\ncos\njest równy\nA.\n5\n2\nB.\n21\n4\nC. 3\n5\nD.\n21\n5","answer":"D","answer_text":"Zadanie 14. (0-1)\nIV. Użycie i tworzenie\nstrategii.\n6. Trygonometria. Zdający, znając wartość\njednej z funkcji trygonometrycznych,\nwyznacza wartości pozostałych funkcji tego\nsamego kąta ostrego (6.d).\nWersja\nI\nWersja\nII\nD\nB","solution":"## Poprawna odpowiedź: C\n\n\\(2\\sin\\alpha = 1\\)\n\n## Sposób 1 - Identyfikacja kąta i obliczenie wartości trygonometrycznych\n\n**Krok 1: Sprawdź, który trójkąt to jest.**\n\nMamy boki \\(1, \\sqrt{3}, 2\\). Sprawdzamy twierdzenie Pitagorasa:\n\\[1^2 + (\\sqrt{3})^2 = 1 + 3 = 4 = 2^2\\]\n\n**To trójkąt prostokątny** - przyprostokątne to \\(1\\) i \\(\\sqrt{3}\\), a przeciwprostokątna to \\(2\\).\n\n**Krok 2: Wskaż kąt \\(\\alpha\\).**\n\nKąt \\(\\alpha\\) to **najmniejszy** kąt trójkąta. Mniejszy kąt leży naprzeciwko krótszego boku - a najkrótszy bok to \\(1\\).\n\nZatem \\(\\alpha\\) jest kątem naprzeciwko boku \\(1\\).\n\n**Krok 3: Oblicz \\(\\sin\\alpha\\) i \\(\\cos\\alpha\\).**\n\n\\[\\sin\\alpha = \\frac{\\text{przeciwprostokątna do } \\alpha}{\\text{przeciwprostokątna trójkąta}} = \\frac{1}{2}\\]\n\n\\[\\cos\\alpha = \\frac{\\text{przyległa do } \\alpha}{\\text{przeciwprostokątna}} = \\frac{\\sqrt{3}}{2}\\]\n\n(Rozpoznajemy: to trójkąt o kątach \\(30°\\text{-}60°\\text{-}90°\\), więc \\(\\alpha = 30°\\).)\n\n**Krok 4: Oblicz każdą z odpowiedzi.**\n\n\\[A:\\quad \\cos\\alpha = \\frac{\\sqrt{3}}{2}\\]\n\\[B:\\quad \\sin\\alpha = \\frac{1}{2}\\]\n\\[C:\\quad 2\\sin\\alpha = 2 \\cdot \\frac{1}{2} = \\mathbf{1}\\]\n\\[D:\\quad \\cos 2\\alpha = \\cos 60° = \\frac{1}{2}\\]\n\nTylko \\(C\\) daje wynik \\(1\\) - czyli całkowitą liczbę równą długości najkrótszego boku. **Odpowiedź C.**\n\n## Sposób 2 - Bezpośrednio przez definicję (bez zapamiętywania kąta)\n\nNie musimy wiedzieć, że \\(\\alpha = 30°\\) - wystarczy definicja.\n\n\\(\\alpha\\) leży przy przyprostokątnej \\(\\sqrt{3}\\), naprzeciwko przyprostokątnej \\(1\\), przy przeciwprostokątnej \\(2\\).\n\n\\[\\sin\\alpha = \\frac{1}{2}\\]\n\nTeraz sprawdzamy odpowiedź C:\n\\[2\\sin\\alpha = 2 \\cdot \\frac{1}{2} = 1 \\checkmark\\]\n\nSprawdzamy pozostałe:\n- \\(\\cos\\alpha = \\frac{\\sqrt{3}}{2} \\neq 1\\)\n- \\(\\sin\\alpha = \\frac{1}{2} \\neq 1\\)\n- \\(\\cos 2\\alpha = 1 - 2\\sin^2\\alpha = 1 - 2 \\cdot \\frac{1}{4} = \\frac{1}{2} \\neq 1\\)\n\nJedynie C daje \\(1\\). **Weryfikacja potwierdza: C.**\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 9 (Trygonometria, s. 11-12)** - definicja funkcji trygonometrycznych w trójkącie prostokątnym:\n\\[\\sin\\alpha = \\frac{\\text{bok naprzeciwko}}{\\text{przeciwprostokątna}}, \\quad \\cos\\alpha = \\frac{\\text{bok przyległy}}{\\text{przeciwprostokątna}}\\]\nUżyliśmy w obu sposobach do wyznaczenia \\(\\sin\\alpha = \\frac{1}{2}\\).\n\n**Dział 10 (Planimetria - trójkąt prostokątny, s. 16)** - twierdzenie Pitagorasa:\n\\[a^2 + b^2 = c^2\\]\nUżyliśmy w Sposobie 1 do potwierdzenia, że \\(2\\) jest przeciwprostokątną.\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Wartość | Typowy błąd |\n| A | \\(\\cos\\alpha = \\frac{\\sqrt{3}}{2}\\) | Uczeń oblicza \\(\\cos\\alpha\\) zamiast \\(2\\sin\\alpha\\) - myli kąt lub funkcję |\n| B | \\(\\sin\\alpha = \\frac{1}{2}\\) | Poprawna wartość \\(\\sin\\alpha\\), ale nie przemnożona przez 2 - czyta odpowiedź bez sprawdzenia czynnika |\n| D | \\(\\cos 2\\alpha = \\frac{1}{2}\\) | To ta sama wartość co \\(\\sin\\alpha\\) - mylenie podwojonego kąta z podstawowym |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Zawsze sprawdź twierdzeniem Pitagorasa, który bok jest przeciwprostokątną - tu to \\(2\\), nie \\(\\sqrt{3}\\)! Wiele osób błędnie zakłada, że \\(\\sqrt{3}\\) jest największy.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Kąt \\(\\alpha\\) leży **naprzeciwko** boku \\(1\\) (najkrótszego), więc \\(\\sin\\alpha = \\frac{1}{2}\\), a nie \\(\\frac{\\sqrt{3}}{2}\\).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Przy odpowiedzi D - \\(\\cos 2\\alpha\\) to nie to samo co \\(\\cos\\alpha\\). Kąt jest podwojony, co zmienia wartość: \\(\\cos 2\\alpha = \\frac{1}{2}\\), nie \\(\\frac{\\sqrt{3}}{2}\\).\n\n**Poprawna odpowiedź: 15**\n\n**Rozwiązanie:**\n\nW ciągu arytmetycznym zachodzi własność: jeśli suma indeksów dwóch wyrazów jest taka sama, to sumy tych wyrazów są równe:\n\\(a_i + a_j = a_k + a_l\\) gdy \\(i + j = k + l\\)\n\nJeśli ciąg jest sześciowyrazowy (\\(n = 6\\)), to:\n\\(a_1 + a_6 = 15\\)\n\nPonieważ \\(1 + 6 = 3 + 4 = 7\\), mamy:\n\\(a_3 + a_4 = a_1 + a_6 = 15\\)\n\n**Dowód algebraiczny:**\n\\(a_3 + a_4 = (a_1 + 2r) + (a_1 + 3r) = 2a_1 + 5r\\)\n\\(a_1 + a_6 = a_1 + (a_1 + 5r) = 2a_1 + 5r = 15\\)\n\nZatem \\(a_3 + a_4 = 15\\).\n\n**Użyte wzory z karty CKE:** Ciąg arytmetyczny: \\(a_n = a_1 + (n-1)r\\)","image":"img/matematyka-2015-maj-matura-stara-podstawowa/zad-14.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":6,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2015 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"

Zadanie 14. (1 pkt)
Kąt α jest ostry i
2
sin
5
α =
. Wówczas
α
cos
jest równy
A.
5
2
B.
21
4
C. 3
5
D.
21
5

","answer_text_html":"

Zadanie 14. (0-1)
IV. Użycie i tworzenie
strategii.

\n
  1. Trygonometria. Zdający, znając wartość
\n

jednej z funkcji trygonometrycznych,
wyznacza wartości pozostałych funkcji tego
samego kąta ostrego (6.d).
Wersja
I
Wersja
II
D
B

","solutions":[{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"

Poprawna odpowiedź: C

\n

\\(2\\sin\\alpha = 1\\)

\n

Sposób 1 - Identyfikacja kąta i obliczenie wartości trygonometrycznych

\n

Krok 1: Sprawdź, który trójkąt to jest.

\n

Mamy boki \\(1, \\sqrt{3}, 2\\). Sprawdzamy twierdzenie Pitagorasa:
\\[1^2 + (\\sqrt{3})^2 = 1 + 3 = 4 = 2^2\\]

\n

To trójkąt prostokątny - przyprostokątne to \\(1\\) i \\(\\sqrt{3}\\), a przeciwprostokątna to \\(2\\).

\n

Krok 2: Wskaż kąt \\(\\alpha\\).

\n

Kąt \\(\\alpha\\) to najmniejszy kąt trójkąta. Mniejszy kąt leży naprzeciwko krótszego boku - a najkrótszy bok to \\(1\\).

\n

Zatem \\(\\alpha\\) jest kątem naprzeciwko boku \\(1\\).

\n

Krok 3: Oblicz \\(\\sin\\alpha\\) i \\(\\cos\\alpha\\).

\n

\\[\\sin\\alpha = \\frac{\\text{przeciwprostokątna do } \\alpha}{\\text{przeciwprostokątna trójkąta}} = \\frac{1}{2}\\]

\n

\\[\\cos\\alpha = \\frac{\\text{przyległa do } \\alpha}{\\text{przeciwprostokątna}} = \\frac{\\sqrt{3}}{2}\\]

\n

(Rozpoznajemy: to trójkąt o kątach \\(30°\\text{-}60°\\text{-}90°\\), więc \\(\\alpha = 30°\\).)

\n

Krok 4: Oblicz każdą z odpowiedzi.

\n

\\[A:\\quad \\cos\\alpha = \\frac{\\sqrt{3}}{2}\\]
\\[B:\\quad \\sin\\alpha = \\frac{1}{2}\\]
\\[C:\\quad 2\\sin\\alpha = 2 \\cdot \\frac{1}{2} = \\mathbf{1}\\]
\\[D:\\quad \\cos 2\\alpha = \\cos 60° = \\frac{1}{2}\\]

\n

Tylko \\(C\\) daje wynik \\(1\\) - czyli całkowitą liczbę równą długości najkrótszego boku. Odpowiedź C.

\n

Sposób 2 - Bezpośrednio przez definicję (bez zapamiętywania kąta)

\n

Nie musimy wiedzieć, że \\(\\alpha = 30°\\) - wystarczy definicja.

\n

\\(\\alpha\\) leży przy przyprostokątnej \\(\\sqrt{3}\\), naprzeciwko przyprostokątnej \\(1\\), przy przeciwprostokątnej \\(2\\).

\n

\\[\\sin\\alpha = \\frac{1}{2}\\]

\n

Teraz sprawdzamy odpowiedź C:
\\[2\\sin\\alpha = 2 \\cdot \\frac{1}{2} = 1 \\checkmark\\]

\n

Sprawdzamy pozostałe:

\n\n

Jedynie C daje \\(1\\). Weryfikacja potwierdza: C.

\n

Wzory z karty CKE

\n

Dział 9 (Trygonometria, s. 11-12) - definicja funkcji trygonometrycznych w trójkącie prostokątnym:
\\[\\sin\\alpha = \\frac{\\text{bok naprzeciwko}}{\\text{przeciwprostokątna}}, \\quad \\cos\\alpha = \\frac{\\text{bok przyległy}}{\\text{przeciwprostokątna}}\\]
Użyliśmy w obu sposobach do wyznaczenia \\(\\sin\\alpha = \\frac{1}{2}\\).

\n

Dział 10 (Planimetria - trójkąt prostokątny, s. 16) - twierdzenie Pitagorasa:
\\[a^2 + b^2 = c^2\\]
Użyliśmy w Sposobie 1 do potwierdzenia, że \\(2\\) jest przeciwprostokątną.

\n

Dlaczego inne odpowiedzi są błędne

\n

| Odp. | Wartość | Typowy błąd |
| A | \\(\\cos\\alpha = \\frac{\\sqrt{3}}{2}\\) | Uczeń oblicza \\(\\cos\\alpha\\) zamiast \\(2\\sin\\alpha\\) - myli kąt lub funkcję |
| B | \\(\\sin\\alpha = \\frac{1}{2}\\) | Poprawna wartość \\(\\sin\\alpha\\), ale nie przemnożona przez 2 - czyta odpowiedź bez sprawdzenia czynnika |
| D | \\(\\cos 2\\alpha = \\frac{1}{2}\\) | To ta sama wartość co \\(\\sin\\alpha\\) - mylenie podwojonego kąta z podstawowym |

\n

Typowe pułapki i uwagi

\n
⚠️ Uwaga: Zawsze sprawdź twierdzeniem Pitagorasa, który bok jest przeciwprostokątną - tu to \\(2\\), nie \\(\\sqrt{3}\\)! Wiele osób błędnie zakłada, że \\(\\sqrt{3}\\) jest największy.
\n
⚠️ Uwaga: Kąt \\(\\alpha\\) leży naprzeciwko boku \\(1\\) (najkrótszego), więc \\(\\sin\\alpha = \\frac{1}{2}\\), a nie \\(\\frac{\\sqrt{3}}{2}\\).
\n
⚠️ Uwaga: Przy odpowiedzi D - \\(\\cos 2\\alpha\\) to nie to samo co \\(\\cos\\alpha\\). Kąt jest podwojony, co zmienia wartość: \\(\\cos 2\\alpha = \\frac{1}{2}\\), nie \\(\\frac{\\sqrt{3}}{2}\\).
\n

Poprawna odpowiedź: 15

\n

Rozwiązanie:

\n

W ciągu arytmetycznym zachodzi własność: jeśli suma indeksów dwóch wyrazów jest taka sama, to sumy tych wyrazów są równe:
\\(a_i + a_j = a_k + a_l\\) gdy \\(i + j = k + l\\)

\n

Jeśli ciąg jest sześciowyrazowy (\\(n = 6\\)), to:
\\(a_1 + a_6 = 15\\)

\n

Ponieważ \\(1 + 6 = 3 + 4 = 7\\), mamy:
\\(a_3 + a_4 = a_1 + a_6 = 15\\)

\n

Dowód algebraiczny:
\\(a_3 + a_4 = (a_1 + 2r) + (a_1 + 3r) = 2a_1 + 5r\\)
\\(a_1 + a_6 = a_1 + (a_1 + 5r) = 2a_1 + 5r = 15\\)

\n

Zatem \\(a_3 + a_4 = 15\\).

\n

Użyte wzory z karty CKE: Ciąg arytmetyczny: \\(a_n = a_1 + (n-1)r\\)

"}]}